高中数学函数单调性的解法探讨
2019-10-23许家睿
许家睿
【摘 要】 作为函数的一种重要性质，单调性常常是某些函数问题求解的突破口，所以高中生要对函数单调性及其应用技巧进行深入学习和掌握。本文立足于高中数学问题求解视角，对函数单调性的常用解法进行了深入探讨，以期不断提升高中生运用函数单调性解决数学问题的能力。
【关键词】 高中数学;函数单调性;解题方法
在高考数学试卷中，函数方面类型题的考察占比比较大，尤其是其中考察学生函数单调性掌握情况方面的题目非常多，相应的考察样式也比较多，增加了高中生求解的难度。为了使高中生更好地解决函数单调性方面的数学问题，就必须要强化他们对于相关函数性质的理解和认识，掌握必要的问题求解方法与技巧，借此来不断地提升高中生解决函数类型题的能力。
一、巧借定义法，解决函数单调性问题
首先要从某一单调区间内任意选择两个自变量参数x1和x2，之后求出并比较分析两个参数所对应的函数值f（x1）和f（x2），确定二者之间的大小关系。然后在对函数单调性概念进行认真遵从的基础上，确定相应函数的单调区间，并得出相应的结论。在实际的函数单调性问题求解中，可以基于相应的单调性定义来确定解题突破口。
例1 已知函数法f（x）=x3+sinx，-1≤x≤1，假定f（1-m）-f（m2-1）
<0。试求参数m的对应取值区间。
解析：该道题是一道考察函数单调性的典型例题，通过基于函数单调性定义及性质，可以快速找到解题突破口。如果函数y=f（x）在区间I上为单调增函数，且f（x1） 二、巧借导数知识，解决函数单调性问题 假定D为函数f（x）的区间，如果f（x）在该区间内为可导函数，且如果可知f（x）=0，那么就表明函数f（x）为常函数;如果f（x）>0，那么就表明函数f（x）为增函数;如果f（x）<0，那么就表明函数f（x）为减函数。同理，假定函数f（x）在某特定区间D中是可导的且为减函数，那么可以推测f（x）<0;如果函数f（x）在某特定区间D中是可导的且为增函数，那么可以推测f（x）>0，这实际上就是函数及其导数的关系，需要判断函数f（x）和0之间的关系来进行确定。在对某函数导数值进行求解后，再进行单调性判断，那么有助于简化某些抽象、繁杂的数学问题，尤其适用于高次函数或带有参数的函数单调性问题求解中。 例2 假定函数f（x）=lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中参数a为实数。假定f（x）在区间（1，+∞）上为单调减函数，且函数g（x）在区间（1，+∞）上存在最小值，试求参数a的取值范围。 解析：该道题涉及到未知参数，且函数本身比较复杂，所以如果直接进行函数分析，那么解题过程比较繁杂，这时候如果可以运用导数方面的知识，那么可以降低解题的难度。因为函数f（x）的导数f（x）=（1/x）-a=（1-ax）/x，相应的定义域为（0，+∞），且在区间（1，+∞）上f（x）为单调减函数，所以可知参数a必然大于0。令f（x）<0，可得x>1/a，那么可知函数f（x）在区间（1/a，+∞）上呈现为单调减函数。由于函数f（x）在区间（1，+∞）上f（x）为单调减函數，所以可以得出：（1，+∞）∈（1/a，+∞），即1/a≤1，故可得a大于等于1。令g（x）=ex-a=0，可得x=lna。如果x 三、巧借复合函数，解决函数单调性问题 复合函数也是高中生学习函数知识中重要的学习内容，具体就是将函数y=f（t）和函数t=g（x）融合在一起，构成复合函数y=f[g（x）]，这个复合函数本质上是由外层函数y=f（t）和内层函数t=g（x）组合构成。在对复合函数单调性进行判断的过程中，需要对内层函数和外层函数的单调性进行全面分析，之后即可判断出复合函数的单调性情况，具体表现为：复合函数为增函数的时候，内外层函数的增减单调性是一致的，即都为增函数或减函数;复合函数为减函数的时候，那么可知内外层函数的增减单调性是不一致的。在实际的学习过程中，可以按照“增增或减减为增;增减或减增为减”的口诀来进行记忆。如此一来，就可以快速判断出复杂复合函数的单调性情况。 例3 试判断函数f（x）=4 的单调性。 解析：该道题目是一道典型的判断复合函数单调性的类型题，实际的分析过程中，适宜采用分解法来进行判断，那么可以便捷地求出相应的问题，具体就是先将待求函数f（x）划分成内层函数t=x2+1和外层函数f（t）=4t，其中内层函数是关于x轴对称的偶函数，其在左半轴和右半轴上分别为递减函数和递增函数;外层函数在数轴上均表现为递增函数。根据复合函数单调性的判断依据，即“同增异减”的判定原则或特性来求出f（x）=4 的单调性，具体就是在区间（-∞，0）上为递减函数;在区间（0，+∞）上为递增函数。如此一来，就可以使高中生快速地求解该道复合函数。 总之，三角函数是高中生数学学习的重要内容，其学习情况直接关乎高中生能否解决三角函数类型题。为了顺利地解决三角函数单调性方面的问题，高中生需要巧妙地运用定义法、导数知识和复合函数等来加以解决，同时需要注意不断夯实自己的理论功底，确保可以有效地提升自身解决数学问题的能力。
