例谈圆锥曲线中两组过定点的基本模型

张志华 周珊杉

[摘  要] 解析几何是高中数学的主干知识，而直线与椭圆的位置关系更是高考考查的重中之重.如何有效地掌握好解析几何的相关知识？如何在这一部分高效得分？文章认为一些基本的二级结论还是有必要了解，因为这样可以有效延伸我们思考问题的“跨越度”，快速找到已知条件与所求结论之间的内在联系，进而让我们对问题的本质理解更加透彻，甚至对命题者的命题角度、意图、途径都得窥门径.

[关键词] 圆锥曲线;过定点;基本模型

解析几何是高中数学的主干知识，而直线与椭圆的位置关系更是高考考查的重中之重，历来是学生数学学习的梦魇，也是教师数学教学的痛点. 如何有效地掌握好解析几何的相关知识？如何在这一部分高效得分？始终是每一位教师和学生思考的问题. 除了大家耳熟能详的解析几何的翻译与转化能力、运算能力（尤其是字符化简能力）有较高要求之外，笔者觉得一些基本的二级结论或基本的模型性质还是有必要了解并熟悉，当然能够达到理解并记忆的水平自然更佳. 因为这样可以有效延伸我们思考问题的“跨越度”，快速找到已知条件与所求结论之间的内在联系，进而让我们对问题的本质理解更加透彻，甚至可以对命题者的命题角度、意图、途径都得窥门径.

以下就以两道具体的解析几何问题为例，探索其背后所蕴含的基本模型，進而探索这种模型有哪些基本性质或二级结论，最终得以窥视命题者命题的数学来源与本质.

例题展示与评析

例1：（重庆市高2018级二诊理数20（2））

已知F1（-1，0），F2（1，0）是椭圆 + =1的左、右焦点.

（2）过F2作两条互相垂直的直线l1与l2（均不与x轴重合），分别与椭圆交于A，B，C，D四点，线段AB，CD的中点分别是M，N，求证：直线MN过定点，并求出该定点坐标.

解析：设直线AB：y=k（x-1），联立椭圆方程3x2+4y2=12得：

（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，则xA+xB= ，故

xM= · = ，yM= · = . 将k用- 代替得

xN= = ，yN= .

由题意，若直线AB关于x轴对称后得到直线A′B′，则得到的直线M′N′与MN关于x轴对称，所以若直线MN经过定点，则该定点一定是直线M′N′与MN的交点，该点必在x轴上.

设该定点坐标P（s，0）， =（s-xM，-yM）， =（xM-xN，yM-yN），由 = 得：s= ，代入M，N坐标化简得s= .所以直线MN过定点 ，0.

评注：此题属于解析几何中的定点问题，按照通常的“由特殊到一般”的思路先猜后证，从思维要求上说应该不太难. 但是，从实际考场上的得分结果反馈，除去一部分学生的心理因素和时间因素之外，此题对运算能力特别是字符化简能力的要求提出了较高的挑战，因此得分率并不太理想. 所以，我们有必要深入研究问题的背景和本质，使得学生能够做到对此问题心中有数、高屋建瓴、统揽全局，最后再从容不迫计算，甚至只是验证心中所想的基本结论而已.

其实，此题的本质就属于椭圆中互相垂直的弦中点过定点的基本模型. 以下就给出一些基本的结论与证明.

基本结论与证明

结论1：过椭圆 + =1的右焦点F（c，0）作两条互相垂直的弦AB，CD. 若弦AB，CD的中点分别为M，N，那么直线MN恒过定点 ，0.

结论2：过椭圆 + =1的长轴上任意一点S（s，0）（-a

证明：设AB的直线为x=my+s，则CD的直线方程为x=- y+s，

x=my+s，b2x2+a2y2-a2b2=0，（m2b2+a2）y2+2b2msy+b2（s2-a2）=0，

Δ=4a2b2（m2b2+a2-s2）>0，y1+y2= ，y1·y2= ，

由中点公式得M ， ，

将m用 代换，得到N的坐标 ，

MN的直线方程为y+ = x- ，

令y=0，得x= . 所以直线MN恒过定点 ，0.

结论3：过椭圆 + =1的短轴上任意一点T（0，t）（-b

结论4：过椭圆 + =1内的任意一点Q（s，t） + <1作两条互相垂直的弦AB，CD. 若弦AB，CD的中点分别为M，N，那么直线MN恒过定点 ， .

注：回到开头的例题，其实此问题的本质就属于椭圆中互相垂直的弦中点过定点的基本模型，若套用我们前面的结论1：直线MN恒过定点 ，0，即 ，0，问题瞬间秒杀.正所谓“问渠那得清如许，为有源头活水来”.

相关结论与拓展

拓展结论（1）：其实，双曲线中互相垂直的弦中点过定点也有类似的结论.

结论5：过双曲线 - =1的右焦点F（c，0）作两条互相垂直的弦AB，CD.若弦AB，CD的中点分别为M，N，那么直线MN恒过定点 ，0.

结论6：过双曲线 - =1的实轴上任意一点S（s，0）（s<-a或s>a）作两条互相垂直的弦AB，CD. 若弦AB，CD的中点分别为M，N，那么直线MN恒过定点 ，0.

结论7：过双曲线- + =1的虚轴上任意一点T（0，t）（t<-b或t>b）作两条互相垂直的弦AB，CD.若弦AB，CD的中点分别为M，N，那么直线MN恒过定点 ，0.

结论8：过双曲线 - =1外的任意一点Q（s，t） - >1作两条互相垂直的弦AB，CD.若弦AB，CD的中点分别为M，N，那么直线MN恒过定点 ， .

其证明读者可以类比椭圆的相关结论进行，略.

拓展结论（2）：与之相关的圆锥曲线上的直角弦过定点的结论.

结论9：椭圆 + =1上一點P（x0，y0），椭圆上存在不同于点P的两点A，B，且满足PA⊥PB，那么直线AB恒过定点 x0，- y0.

等价说法：以（x0，y0）为直角顶点的椭圆 - =1内接直角三角形的斜边必过定点 x0，- y0.

结论10（1）：双曲线 + =1上一点P（x0，y0），双曲线上存在不同于点P的两点A，B，且满足PA⊥PB，那么直线AB恒过定点 x0，- y0.

等价说法：以（x0，y0）为直角顶点的双曲线 - =1内接直角三角形的斜边必过定点 x0，- y0.

结论10（2）：双曲线- + =1上一点P（x0，y0），双曲线上存在不同于点P的两点A，B，且满足PA⊥PB，那么直线AB恒过定点 x0， y0.

结论11：抛物线y2=2px（p>0）上一点P（x0，y0），抛物线上存在不同于点P的两点A，B，且满足PA⊥PB，那么直线AB恒过定点（x0+2p，-y0）.

等价说法：以（x0，y0）为直角顶点的抛物线y2=2px内接直角三角形的斜边必过定点（x0+2p，-y0）.

注：其证明读者可以类比椭圆的相关结论进行，略.

例题运用与评析

例2：（重庆市高2018级文科二诊20（2））

已知F1（-1，0），F2（1，0）是椭圆 + =1的左、右焦点，B为椭圆的上顶点.

（2）过点B作两条互相垂直的直线与椭圆交于S，T两点（异于点B），证明：直线ST过定点，并求该定点的坐标.

解析：设S（x1，y1），T（x2，y2），直线BS：y=kx+ ，联立椭圆方程得：

（4k2+3）x2+8 kx=0，x1= ，x = = ，

由题意，若直线BS关于y轴对称后得到直线B′S′，直线BT关于y轴对称后得到直线B′T′，则得到的直线S′T′与ST关于y轴对称，所以若直线ST经过定点，则该定点一定是直线S′T′与ST的交点，该点必在y轴上.

设该定点坐标（0，t），

= ？圯t= = ，

代入x1，x2化简得t=- ，所以过定点0，- .

评析：其实此问题的本质就属于圆锥曲线上的直角弦过定点的基本模型，若套用我们前面的结论9：直线AB恒过定点 x0，- y0（其中a2=4，b2=3，x =0，y = ），即直线AB恒过定点 ×0，- × =0，- . 问题被瞬间秒杀，这种感觉真叫人拍案叫绝，正所谓“会当凌绝顶，一览众山小”.

教学反思与启示

通过这两道典型问题的分析，给了我们很多有益的启示. 要彻底洞察解析问题的本质，必须要有“清澈的源头”，才能做到高屋建瓴，一语中的. 只有掌握好了一些基本的模型、套路、方法，解析几何问题才会变得温驯且可控.因此，我们在日常教学中，应坚持“学生的精彩才是教师的出彩”的原则，启发学生的思维，提升学生的探究能力，培养学生对复杂问题的钻研精神，使学生在问题的发现、提出、分析、解决、反思过程中，不断发现并总结出一些套路模型与二级结论，进而不断提升数学思维能力与核心素养.