高中数学“自生型探究”教学的实践与感悟

牛云芳

[摘  要] 学生在学习中自发产生的质疑与探究能令课堂教学更加熠熠生辉，教师应善于利用学生在课堂上产生的“意外”并引导学生展开自主探究和讨论，使学生自研自探能力不断提升的同时获得更加灵活而具深度的思维发展.

[关键词] 自生型探究;质疑;意外生成;自发性

教师往往会在课堂教学之前进行质疑与探究活动的预设以期促进学生质疑能力与探究能力的提升，除此以外，学生在自主学习与小组合作学习中也会自主生成质疑与探究，这些出乎教师预期的质疑与探究都属于“自生型探究”，这是学生在提出问题、分析问题、解决问题、总结体验与拓展思维的过程中所产生的一种自发性的思考. 文章结合试卷评讲中的某一片段，对课堂教学中的“自生型探究”做出了一定的思考.

题目：如图1，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 + =1（a>b>0）的左、右焦点分别是F1，F2，顶点B的坐标是（0，b），△BF1F2是边长等于2的等边三角形.

（1）求椭圆的方程;

（2）过右焦点F2的直线和椭圆相交于点A和点C，若将△ABF2，△BCF2的面积分别记作S1，S2，且S1=2S2，则直线斜率应为多少？

笔者任教班级的学生全都完整回答出了第（1）问，答案是 + =1，但第（2）问的解答情况就不太理想了，全班有一半以上的学生没有回答出来，因此笔者在试卷讲评中对第（2）问进行了重点分析.

笔者首先请每位学生结合自己的答题情况进行了新的思考，然后请每位学生在各学习小组内对第（2）问的解决途径进行了讨论，最后请各小组代表将本组的讨论结果进行了展示.

生1：根据题意与图形可知，两三角形等高但底不等，因此对于面积关系的思考也直接转化成了对两个线段长度关系的思考，然后开始解题. 设B到直线AC的距离是h，因为S1=2S2，所以 AF2·h=2× F2C·h，即AF2=2F2C，因此 =2 . 设A（x1，y1），C（x2，y2），又F2（1，0），所以（1-x1，-y1）=2（x2-1，y2），则x1=3-2x2，y1=-2y2，代入椭圆方程有 + =1， + =1，解得x2= ，y2=± .因此该直线的斜率为k= =± .

生1继续评价：（1）联想向量在解析几何中所起的作用并因此获得A，C之间的关系;（2）将x1，y1用x2，y2表示也可以構建方程并解决问题.

生2：我在解题时一样用到了向量，不过代入椭圆方程这一环节我没有做，我是利用圆锥曲线的统一定义来解题的.

从生1的解法上可知，x1=3-2x2. 设点A（x1，y1），C（x2，y2）到椭圆 + =1右准线x=4的距离是d1，d2，则 = ， = ，由AF2=2F2C得2- x1=22- x2，化简为x2=2+ x1，结合x1=3-2x2，解得x2= （以下同生1的解法）.

生2继续评价：（1）我根据题中出现的焦点弦想到了圆锥曲线的统一定义;（2）在统一定义中找横坐标或纵坐标的直接关系是可行的.

生3：我是通过构建直角三角形来解题的. 如图2，分别过A，C两点作准线的垂线，垂足分别记作A′，C′，过点C作CH⊥AA′，垂足记作H，根据统一定义可知 = = . 又AF2=2CF2，在Rt△CAH中，AC=3CF2，AH=2CF2，因此CH= CF2，因此tan∠CAH= ，因此直线的斜率为k= ，结合椭圆的对称性可知k=- 同样符合题意.

生3继续评价：（1）由统一定义可实现焦半径的转化并因此解题;（2）利用直角三角形求解能使解题过程更为优化.

笔者看到以上三位学生的答题思路与过程之后，深感欣慰并及时给予了高度评价，正想继续后面内容的讲解之时，“意外”却在此时产生了.

生4：我对生3的想法表示赞同，不过我也有这样一个疑问：在Rt△CAH中，懂得焦点分弦的比之后即可求得直线的斜率，那么，知道直线的斜率即可求得焦点分弦的比这一观点是否成立呢？

笔者面对这一问题并没有立即做出解答，而是将生4的这一疑问抛给了全班学生，给自己思考空间的同时也给了学生足够的空间来解决这一意外生成. 各小组学生在一定的思考之后开始了讨论，笔者在学生的讨论中也进行了关注与了解并适时加入了探讨，学生的思考与讨论展示如下.

生5：我认为生4所提出的问题应该有肯定的答案，比如直线的斜率是1， = = ，在Rt△CAH中，AC= AH= （AA′-CC′）= （2AF2-2CF2），而AC=AF2+CF2，因此（2 -1）AF2=（2 +1）CF2，继而得出了 = .

师：非常好！生5在圆锥曲线的定义与Rt△CAH之间进行了灵活的转化.

生5（继续提问）：老师，直线的斜率与焦点分弦的比值求出以后，我们是否还可以求出椭圆的离心率呢？

学生纷纷议论起来.

生6：我觉得是能求出的，因为在Rt△CAH中涉及了直线的斜率、椭圆的离心率以及焦点分弦的比值这三个量，因此我认为根据统一定义，知道其中两个量以后，求解第三个量也就不难了. 比如，如果知道了直线的斜率为1以及AF2=2F2C，则有如下过程： = =e，又AF2=2CF2，在Rt△CAH中，AC=3CF2，AH=AA′-CC′= CF2，cos∠CAH= ，因此 = = ，因此e= .

生6又问：（1）双曲线、抛物线等情况下是否也会存在与上述类似的结论呢？求离心率、比值、斜率等问题是否存在通式呢？

（2）如果有过左焦点F1的直线和椭圆相交于点A和点C，还会存在一样的结论吗？

（3）如果焦点在y轴上，还会产生怎样的结论呢？

笔者对于生6的这些提问感到意外与惊喜，赶紧引导各学习小组对以上问题进行了讨论，最终获得了如下成果：

成果1：若有标准圆锥曲线且其焦点在x轴上，离心率是e，过焦点F的弦AB分得两个焦半径的比是λ（λ>1），直线和x轴形成的夹角是α，则有cosα= .

成果2：若有标准圆锥曲线且其焦点在y轴上，离心率是e，过焦点F的弦AB分得两个焦半径的比是λ（λ>1），直线和x轴形成的夹角是α，则有sinα= .

学生刚刚展示完讨论的成果，下课铃声就响了，笔者原本预设的教学任务因为学生在课堂学习中产生的种种“意外”而被耽误了，然而笔者并未因此而焦急. 相反，笔者因为学生在课堂学习中能够如此积极动脑并产生诸多的自主质疑而感到惊喜万分，也因为学生因此做出的探索而感到欣慰，课堂教学虽未完成预设的任务，但学生学习中形成的“自生型探究”却令本堂课的教学更加熠熠生辉.

建设探究型课堂是新课程改革最为显著的一个特点，对于教师来说，这是一种新的挑战. 教师在实际教学中应能为学生的“自生型探究”创造平台，使学生能够在学习中产生质疑并因此展开主动的探究. 值得教师注意的是，怎样在探究型课堂教学中唤醒学生的自主性并引领学生展开探究是最为重要的问题. 因此，教师应在实际教学中设置具备生成性、表现性与差异性的课堂目标，在课堂教学中善于运用交互式、对话式等多种教学方法以促进学生学习自主性的激发，不断优化学生的探究环境并因此使学生获得自主探究的广阔空间，使学生的想象与思维更加自由并因此获得更多的质疑与发现.

总之，教师在数学课堂教学中应敢于放手、善于放手，为学生创造更多的空间并鼓励学生大胆质疑，使学生能够利用互助学习的能量并因此获得自研自探能力的不断提升，引导学生的思维更加优化并走向深处，使学生能够逐步习惯“自生型探究”并因此在质疑与探究中获得更为游刃有余的学习体验与感受，并最终获得最大化的学习收益.