与“解三角形”相关的综合问题探析

严华

[摘  要] “解三角形”是高中数学的重点模块，涵盖了几何与代数的相关知识，在高考中常以综合题的形式出现，用以考查学生的综合思维，因此对其问题类型开展解题探析是十分必要的，文章探究解三角形的几类常见综合题，并开展解后反思总结.

[关键词] 解三角形;综合;方程;函数;向量;几何

“解三角形”是初中直角三角形知识的延伸，也是高考数学重要的考查内容，其中涉及众多的公式定理和直角三角形模型的构建思路，解题时需要灵活运用. 而在高考中解三角形一般与其他知识点相结合，以综合题的形式出现，一般具有考查程度深、变化多样等特点，下面将对其交汇问题分类探析.

解三角形与代数方程

解三角形的一般思路是基于解题模型，将复合问题转化为单纯的代数问题，然后通过代数运算来破解，因此常见的综合类型为解三角形与代数方程综合，即在解三角形中渗透方程思想，设未知，列等式，通过解未知的方式来实现突破. 考虑到所设未知量对方程模型的影响很大，因此在设未知量时要充分考虑几何模型的特点，简化代数式.

例1：已知△ABC中边长AB=4，AC=7，AD为边BC上的中线，若AD= ，试求BC的长.

解析：已知△ABC的结构和性质，求BC的长，首先可以绘制相应的几何图形，如图1所示，求线段长可以基于几何定理构建代数方程. 设BD=x，在△ABD中使用余弦定理，则cosB= = = ，然后在△ABC中使用余弦定理，可得cosB= = ，因此 = ，解得x= ，而BC=2BD=9，即边长BC为9.

评析：本题在求解时采用了构建方程的解题思路，即以余弦定理为切入点，在不同的三角形中构建角B的余弦模型，从而构建了相应的代数方程. 解题的关键有两个：一是基于问题条件构建对应的三角形;二是基于方程思想，在几何三角形中构建对应的等量关系.

解三角形与函数知识

解三角形与函数知识的交汇点一般为三角函数，即以三角形为问题背景，设置与解三角形相关的问题，其中涉及函数的转化变形，正弦、余弦定理等变形公式.求解时需要紧密结合函数性质对函数的取值进行定义，确保结果的准确合理.

例2：设函数f（x）=cos2x+ +sin2x.

（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期;

（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB= ，f =- ，且C为锐角，试求sinA.

解析：（1）该问求函数f（x）的最大值和最小正周期，该函数包含有余弦型函数和正弦型函数，需要通过变换将其融合，通过三角变换有f（x）= - sin2x，分析可知最大值为 + ，最小正周期为π.

（2）根据函数求sinA的值，首先需要借助函数将问题转化为解三角形问题，然后利用对应的公式定理来构建模型，f = - sinC=- ，解得sinC= ，即C= . 已知在△ABC中，cosB= ，所以sinB=  ，则sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC= .

评析：本题目属于以函数为背景解三角形的综合题，题干给出了所求函数和对应关系，并构建了相应的三角形，因此求解时首先需要基于函数的性质对问题进行转化，从中提炼与三角形内角相关的条件，然后利用三角形中的元素关系及定理来破解.

解三角形与平面向量

向量是高中数学较为特殊的知识，具有几何与代数的双重特性，向量与解三角形的融合点同样为几何三角形. 理解向量的几何定义，并能利用向量的相关公式对条件进行转化是解该类综合题的关键，因此在解题时需要提炼向量条件，完善三角形模型.

例3：已知△ABC为锐角三角形，设三角形的三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，b

（1）试求角A的值;

（2）如果 · =12，a=2 ，试求b和c的值.

解析：（1）已知内角所对边和对应的等式，需要利用cos2B+sin2B=1对其进行化简，从而将其转化为与角A相关的等式，sin2A= sin -Bsin +B+sin2B= cosB- sinB cosB+ sinB+sin2B= （cos2B+sin2B）= ，所以sinA= ，已知△ABC为锐角三角形，则A= .

（2）该问已知 · =12，根据向量积的数量积公式可得bc·cosA=12，结合（1）问可得bc=24，利用余弦定理的展开式可得a2=b2+c2-2bc·cosA=（b+c）2-3bc，所以b+c=10. 又b

评析：本题目涉及解三角形与平面向量的综合，考查向量积的几何定义及三角函数的余弦定理. 对于该类综合问题，破解的关键是利用向量的概念与定理将向量条件向代数转化，因此理解向量的几何定义是解题的基础，必要时可以借助三角形模型，结合几何知识来构建思路.

解三角形与平面几何

解三角形的过程含有众多的解题思维，其中数形结合是最为常见的一种，也是高考考查的重点，衍生了众多的与平面几何相融合的综合题.该类问题的图形一般較为复杂，解题时需要结合条件充分提炼解题模型，把握其中的特殊图形，借助图形的特殊性质来构建解题思路.

例4：在图2所示的图形中，△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知a=b（sinC+cosC）.

（1）试求∠ABC;

（2）若∠A= ，点D位于△ABC的外面，线段DB和DC之长分别为2和1，试求四边形ABCD面积的最大值.

解析：（1）给出了相应的图形，需要结合对应的关系式来分析图形特点，由a=b（sinC+cosC）可知sinA=sinB（sinC+cosC），变形可得cosBsinC=sinBsinC. 又C为△ABC的内角，则取值范围为（0，π），结合sinC≠0，可得cosB=sinB，即tanB=1，则B= ，即∠ABC= .

（2）点D位于△ABC的外面，给出了相应的条件，求四边形的面积，可以采用面积割补法，即S四边形ABCD=S△ABC+S△BCD，因此关键是求三角形的面积. 在△BCD中利用余弦定理可得BC2=5-4cos∠D. 分析可知△ABC为等腰三角形，则S△ABC= BC2= ，而S△BCD= BD·DC·sinD=sinD，所以S四边形ABCD= + sin∠D- ，当∠D= 时，四边形ABCD的面积可取得最大值，且最大值为 + .

评析：上述题目以分析几何图形的形式考查解三角形知识，其知識交汇点在于两部分内容的知识本质是一致的，即均是对几何图形的内在分析. 求解问题时也相应地采用了数形结合的策略，即根据问题条件来分析图形特点，然后对图形进行深层探索，从而获得了问题突破的关键条件.

问题求解的反思与归纳

解三角形是高中数学需要学生掌握的重点知识，从上述问题可以看出其一般以综合题的形式出现，这是基于解三角形与其他众多知识交汇. 无论是求解方程、函数类问题，还是分析平面向量、平面几何类问题，其中都存在一定的解题策略，下面对其进一步探讨.

1. 关注问题条件，灵活变形转化

解三角形综合问题一般都会给出相应的关系式或几何条件，而对条件的灵活转化是解题的关键. 一般解三角形多为求值类问题，在分析时需要活用正弦、余弦定理对其中的边角关系进行转化变形，以达到解题的目的，可以按照“定模型→定工具→求结果”的策略，即首先根据条件构建几何模型，确立转化的方向，然后选定转化公式来对关系式进行转化，从中提炼与三角形边、角相关的条件，最后结合问题求解. 而在求解综合题的第一步（定模型）时还需要基于知识的交汇点开展问题分析，如与函数相关的问题需要利用函数的性质来提炼条件，而与向量相关的问题需要借助向量的几何定义来提炼关系式.

2. 基于知识交汇，发展解题思维

对知识交汇点的分析是解三角形综合题的难点所在，也是该类问题考查的重点，因此在开展问题总结时特别需要对模块知识的联系点进行归纳，如解三角形与代数方程的联系点为正弦、余弦定理的特性，与函数的联系点为三角形函数的特性. 对应的综合类问题的求解过程需要借助解题思想，常用的数学思想包括转化思想、方程思想、数形结合思想. 通用的解题思路是基于问题条件分析或构建解题模型，结合模型来对已知条件进行适当转化，通过数形结合的策略来破解. 其中的数学思想在无形中引导问题分析，简化问题条件，指明解题方向，是问题高效求解的思想保障，因此开展解三角形综合题的反思教学，需要教师着重讲解其中的思想方法，将学生的思维发展和综合能力提升作为教学的重点.