浅析“理解”意义上的高中数学教学

张娟

[摘  要] 基于数学“理解”含义与特征的高中数学教学能够有效帮助学生增加新旧知识间的联结数量并增强联结牢固程度，教师应着眼于提升学生的理解能力而创造出广泛联结的时空与固化联结的时机，帮助学生有效建立、增加新旧联结数量并使学生在应用实践中提升理解水平.

[关键词] 理解;联结数量;牢固程度;教学特征

很多学生在平时的数学学习中都无法将“1”生成为“1+1”，事实上，这是学生在无法获得生成性知识、可持续性学习方法中造成的，学生在“冰冷、美丽”的知识积累中，往往无法生成长效的心理结构并产生“火热”的思维与探索，学生的知识掌握也就停留于机械、模仿的简单层面了. 要改变这种局面，教师必须立足于学生已有的知识结构并为学生创造出基于理解的学习平台以帮助学生实现数学学习的提升.

何为“理解”

1. 理解的含义

从字面上对“理解”进行解释就是“了解、理会”的意思，事实上，“理解”就是在揭露事物间联系的同时对新事物认知的过程. 学习者借助信息的传输与编码并结合已有的信息建构内部的心理表征以获得心理意义这一过程是认知主义对“理解”的解释[1]. 建立新旧联结是“理解”的实质，理解的水平在联结的数量与牢固程度上获得具体的体现.

2. 数学理解的特征

研究结构、形式的数学学科其实是模式的科学，蕴含着一系列产生式及相互间逻辑关系的数学知识是静态呈现的，斯根普基对数学知识的特殊性进行研究并将理解分成了工具性理解与关系性理解这两种类型.

数学符号所指代的事物或某规则所指定的每个步骤是对工具性理解的具体解释. 比如，对复数概念的理解具体讲来就是包含什么是复数、表示形式是什么、包含了哪些运算规律等内容的解释. 关系性理解则应建立在工具性理解的基础之上，包含了认识符号意义、替代物结构、指代物意义的获得等方面的内容. 比如，从工具性理解和关系性理解这两个方面对“直线与平面平行”这一内容进行分析，前者关注的是直线和平面之间没有公共点、直线与平面平行可以获得直线与直线平行等内容，后者关注的则是线线、线面、面面之间的关系以及获取定理过程中的有效构建[2].

3. 理解的水平

理解是由不知到知、知到会、会到通、通到用、简单应用到应用自如的过程. 以对函数单调性的认识为例，就是直观感知一次函数、二次函数、反比例函数并随着自变量、函数值的变化建立函数单调性的意义，继而学会应用. 实践操作和理性概括是实现理解的有效手段. 不同阶段与水平的理解也决定了理解的层次.

比如学生在基本不等式 ≥ （a，b∈R+）上的理解，起点（a-b）2≥0，到a2+b2≥2ab，再到a+b≥2  =2 ，结合图1往往可以增加新旧联结的数量并使学生的理解层次得以提升;如果再能用 ， 分别代替a，b，可得 ≤ ，再变形为 ≤ ，联结两个不等式可得 ≤ ≤ ，这是理解又进一步的具體体现.

“理解”的数学教学特征

1. 教学设计具有系统性高度

知识生成有自下而上概括形成和自上而下演绎形成这两种常见方式，教师在设计教学时应站在系统的高度并找准知识的逻辑起点和生长点，把握知识间的联系并设计出科学合理的教学方法，帮助学生规划好知识理解的路线并促进学生的理解向纵横发展.

比如三角函数这一内容的教学，三角函数的定义是学生学习、理解这一知识的起点，同角三角函数的关系、三角函数的诱导公式与图像等知识都是在三角函数的定义上发展起来的. 因此，教师在三角函数这一内容的教学设计上应抓住其代数和几何的双重意义并理顺其间的关系，帮助学生有效建立彼此间的联结并获得新知识的构建、旧知识的巩固和理解[3].

站在一定高度并系统设计的教学能够更好地把握知识间的逻辑联系并帮助学生建构新知、实现知识的迁移应用.

2. 注重知识的形成教学

教师在纵横交错的知识网络中找准逻辑起点，注重知识形成的过程并理顺知识间的关系才能帮助学生更好地建立结构良好的认知图式.

比如复数概念这一内容的教学，教师首先应找准实数的运算性质这一逻辑起点，凸显复数a+bi（a，b∈R）的形成这一教学的关键点，引导学生在具体的操作中（如2×i-1， +（-2×i）， +3×i）体验、比较、分析、综合、概括，生成复数a+bi（a，b∈R）的形式，引导学生比较复数集和实数集并体会两者的关系以实现复数二元性的概括.

注重知识形成过程而进行的教学才能帮助学生在有径可循、有法可依的学习过程中知其然并知其所以然.

3. 教学中渗透数学思想方法

教学中注重数学思想方法的渗透才能帮助学生将庞大的数学大厦压缩成芯片并贮存在大脑中，帮助学生有效增大大脑容量并获得数学知识、技能、思想方法的真正理解.

比如教师在基本不等式的教学中就可以利用数形结合思想进行统摄，帮助学生真正理解“和定积有最大值”，意思是直线x+y=a（a为常数）和坐标轴正半轴相交于A，B两点，则Rt△OAB内接矩形面积有最大值，如图2所示，当且仅当矩形为正方形时可获得最大面积. “积定和有最小值”则可应用双曲线xy=b（b为非零常数）上动点M向两坐标轴作垂线得到矩形OAMB，如图3所示，矩形周长值最小.

数形结合思想方法在不等式教学中的应用，有效搭建起了基本不等式、函数、解析几何、三角等知识间的桥梁，求最值方法的整合也帮助学生更好地理解了基本不等式的相关内容，帮助学生完善知识结构的同时也令其理解水平大力提升[4].

促进“理解”的教学方法

1. 建立多元表征

联系知识概念并帮助学生建立多元心理表征能够有效提升知识联结的数量，帮助学生强化新知和旧知的联结度以促进理解的加深.

比如，等差数列这一概念的教学，教师可以建立文字形式的表征;可以建立an-an-1=d（n≥2，d为常数），或2an=an-1+an+1（n≥2），或an=kn+b（k，b为常数）表征;或是Sn=An2+Bn（A，B为常数），建立点（n，Sn）在过原点的抛物线上等表征.

将不同表征结成图式并帮助学生理解，等差数列的联结数量与强度都得到了增强.

2. 设计变式练习

比如，“已知a+b=1（a，b>0），求ab的最大值”与“已知ab=1（a，b>0），求a+b的最小值”是利用基本不等式求最值的起点，教师在设计变式练习时可以将字母改变成“ + =1，求ab的最大值”，或者变成“已知a+b=1（a，b>0），求3a+3b的最小值”，或者变成“已知lna+lnb=1，求a+b的最小值”，或者变成“已知（a-1）·（b-1）=1，求a+b的最小值”，或者“已知x>0，求x+ 的最小值”“已知0

3. 应用反思认知

学生在经历与体验中并不会将知识的认知直接转化成理解，自我反省是形成理解這一过程中不可或缺的认知阶段，一次反省往往还无法令学生将知识内化成内部的心理结构，而且对知识的简单回顾并不意味着就是反思，反思必须建立在重新审视自身经历的基础上进行，提炼经历、体验过程中的精华并完善知识结构以促成新的网络结构的形成. 这是扩大联结数量并提升彼此间联结度的有效手段.

总之，教师应着眼于提升学生的理解能力而设计出有意义的实践操作活动，创造出广泛联结的时空与固化联结的时机，帮助学生有效建立、增加新旧联结数量并使学生在应用实践中提升理解水平.

参考文献：

[1]  张奠宙，张荫南. 新概念：用问题驱动的数学教学（续）[J]. 高等数学研究，2004（05）：10.

[2]  匡继昌. 如何理解和掌握数学概念的教学实践与研究[J]. 数学教育学报，2013（06）：74-78.

[3]  叶立军，胡琴竹，斯海霞. 录像分析背景下的代数课堂教学提问研究[J]. 数学教育学报，2010（03）：32-34.

[4]  张诗亚. 教学中的以“惑”为诱[C]. 南京：南京师范大学出版社，2010.