例谈有关晶胞的计算类型与方法

李宗来 李小娟

(江苏省响水中学 224600)

作为选考《物质结构与性质》的固定考点-有关晶胞的计算是学生感觉最为头疼、棘手的一个难点，它体现了高考考试说明中提出的“将化学问题抽象为数学问题，利用数学工具，通过计算和推理解决化学问题的能力”的要求，因此掌握融合化学晶体知识的数学推算方法与技巧，进行重难点的有效突破是当务之急，本文例析晶胞计算的基本类型，回顾有关晶体的重要考点，探寻命题的规律与方向，形成一定的解题思路、方法和技巧，同时也希望能够消解同学们对此类试题的畏惧心理，从而提高得分率.

一、有关晶胞中的微粒个数的计算

例1(2017江苏卷)某FexNy的晶胞如图1所示，Cu可以完全替代该晶体中a位置Fe或者b位置Fe，形成Cu替代型产物Fex-n)CunNy.FexNy转化为两种Cu替代型产物的能量变化如图2所示，其中更稳定的Cu替代型产物的化学式为____.

解析由图2可知，Cu替代a位置的Fe时能量较低，更稳定，则Cu位于顶点，N(Cu)=8×1/8=1，Fe位于面心，N(Fe)=6×1/2=3，N位于体心，则只有1个N，其化学式为Fe3CuN.

点评本题新颖之处将晶胞的微粒的计算与转化过程中能量变化图有机融合，考查考生对图形图像信息整合、吸收应用的能力，解题时要精准解读题干信息，联系并应用相关化学知识原理、规律，如能量越低越稳定、化合物的正负化合价的代数和为0等，复习时打通不同模块间的界定，注重知识点间的融合贯通、发散延伸至关重要，这也是未来高考命题的一种趋势.

变式练习：1.(2016四川卷)M、R为原子序数依次增大的短周期主族元素，M基态原子L层中p轨道电子数是s电子的2倍，R是同周期元素中最活泼的金属元素，M和R所形成的一种离子化合物R2M晶体的晶胞如图3所示，则图中黑球代表的离子是____(填离子符号).

解析根据信息推断出M基态原子电子排布为1s22s22p4，是O；R是Na，离子化合物为Na2O，通过晶胞计算白球=8×1/8+6×1/2=4，在晶胞内部黑球=8，因此黑球代表Na+.

2. (2019泰州一模) 红镍矿是一种重要的含镍矿物，其主要成分的晶胞如图4所示，则每个Ni原子周围与之紧邻的As原子数为____.

解析根据晶胞图可得N(Ni)=8×1/8+4×1/4=2，As在晶胞内部N(As)=2，N(Ni)∶N(As)=1∶1，原子周围紧邻原子的数目(配位数)=晶胞内原子的比值的反比，由图可得As原子周围与之紧邻Ni原子为6，故每个Ni原子周围与之紧邻的As原子数也为6.

方法总结晶胞中粒子的计算应用均摊法，立方体晶胞计算：顶点贡献1/8、棱边1/4、面心1/2、体心1；六棱柱晶胞计算顶点贡献1/6、侧棱边1/3、其它棱边1/4、面心1/2、体心1，三棱柱晶胞顶点贡献1/12，侧棱边为1/6，上下棱上为1/4，面上的算为1/2，如果是分子簇团，就不能按照晶胞来计算，应该作为一个整体进行计数，解题时仔细审题，看清每个粒子的所代表的图形符号及在晶胞中所处的位置.有关晶胞中的微粒个数的计算考查设问角度有：

(1)写化学式：要按照习惯要求来写，金属元素在前，非金属在后，写出原子的最简整数比；

(2)根据化学式再结合化合价的代数和为0进行简单推算；

(3)判断晶胞图中特定符号所代表的微粒及个数；

(4)判断晶胞中某粒子周围紧邻且等距其它粒子数(配位数)，要根据晶胞图结合一定的空间拓展想象能力， NaCl型晶胞的配位数为6，CsCl型为8，六方最密堆积和面心立方最密堆积的配位数都是12，当晶胞图不好辨别时，可以通过计算晶胞内原子间的比值，原子间配位数的比值的与晶胞内原子间的比值成反比，加以推算得出.

二、有关晶体的密度计算

例2 (2018年全国Ⅲ卷)金属Zn晶体中的原子堆积方式如图5所示，这种堆积方式称为____.六棱柱底边边长为acm，高为ccm，阿伏加德罗常数的值为NA，Zn的密度为____g·cm-3(列出计算式).

点评有关晶体的密度计算是每年全国卷必考的内容之一，契合了考试说明中“能根据晶胞确定晶体的组成并进行相关的计算”的要求，本题是在选考《物质结构与性质》中比较常规的综合习题，侧重于核心重点知识的考查，本题的解答过程中选择六棱柱作为计算单元是创新之举，但要注意六棱柱并不是该晶体的晶胞(晶胞一定是平行六面体)，但是作为一个计算晶体密度的单元是可以的.全国卷注重于晶体密度的计算的拓展延伸，如涉及不同类型的晶体晶胞的计算、由密度求晶胞参数等设问角度的也在不断变换.

变式练习：

4.(2018全国Ⅰ卷)Li2O具有反萤石结构，晶胞如图7所示.已知晶胞参数为0.4665 nm，阿伏加德罗常数的值为NA，则Li2O的密度为____g·cm-3(列出计算式).

5.(2017全国Ⅱ卷)R的晶体密度为dg·cm-3，其立方晶胞参数为anm，晶胞中含有y个[(N5)6(H3O)3(NH4)4Cl]单元，该单元的相对质量为M，则y的计算表达式为____.

方法总结计算晶体密度的一般思维模型是：(1)求晶胞的质量m，根据摩尔质量(以g·mol-1为单位时在数值与相对分子质量相同)除以阿伏伽德罗常数计算出每个微粒的质量，再根据计算出晶胞中所含微粒的个数，从而得出晶胞的总质量=晶胞中所含粒子的个数×每个微粒的质量；(2)求晶胞的体积V，应用立体几何知识，根据提供的晶胞参数(边长)求出晶胞的体积，如常见的立方晶胞、六棱柱、三棱柱晶体结构单元的体积计算，注意单位的换算如1nm(纳米)=1×10-9m=1×10-7cm，1pm(皮米)=1×10-12m=1×10-10cm；(3)再由ρ=m/V，得出其密度，因此晶胞中粒子计算是基础，晶胞体积的计算是关键，注意单位的换算是要留意的细节，同时要注意密度、晶胞参数、晶胞中粒子个数的之间相互换算的考查，结合阿伏加德罗常数、晶胞体积、密度的计算，可以把微观的晶胞结构和宏观物质的密度、摩尔质量等联系起来，体现高考中“宏观辨识”与“微观探析”的化学学科核心素养的要求，也贯彻了必备知识与关键能力的考查要求，因此要引起足够的重视.

三、有关晶胞参数的计算

例3(2016全国Ⅱ卷)某镍白铜合金的立方晶胞结构如图8所示.

(1)晶胞中铜原子与镍原子的数量比为____.

(2)若合金的密度为dg/cm3，晶胞参数a=____nm.

解析(1)应用均摊法可得晶胞中含N(Cu) =6×1/2=3，N(Ni) =8×1/8=1，N(Cu)∶N(Ni)=3∶1，

变式练习：6.(2017全国Ⅰ卷)KIO3晶体是一种性能良好的非线性光学材料，具有钙钛矿型的立体结构，边长为a=0.446nm，晶胞中K、I、O分别处于顶角、体心、面心位置，如图9所示.(1)K与O间的最短距离为____nm，与K紧邻的O个数为____.

(2)在KIO3晶胞结构的另一种表示中，I处于各顶角位置，则K处于____位置，O处于____位置.

7.(2017全国Ⅲ卷)MgO具有NaCl型结构(如图10)，其中阴离子采用面心立方最密堆积方式， X射线衍射实验测得MgO的晶胞参数为a=0.420nm，则r(O2-)为____nm.MnO也属于NaCl型结构，晶胞参数为a′=0.448 nm，则r(Mn2+)为____nm.

8．(2016全国Ⅰ卷)晶胞有两个基本要素：

(2)晶胞参数，描述晶胞的大小和形状，已知Ge单晶的晶胞参数a=565.76 pm，其密度为____g·cm-3(列出计算式即可).

方法总结晶胞是能完整反映晶体内部原子或离子在三维空间分布结构特征的最小单元的平行六面体.用来表示晶胞的形状和大小的6个特征参数，简称晶胞参数，包括晶胞的3组棱长(即晶体的轴长)a、b、c和3组棱相互间的夹角(即晶体的轴角)α、β、γ.高考中晶胞参数a指的是正四面体的边长，通过晶体密度求解晶胞参数a的基本思路是：通过摩尔质量、阿伏伽德罗常数、晶胞所含微粒数计算出晶胞质量，建立已经密度与体积的关系，而体积可以通过晶胞参数a进行求解，从而求出a值，同时注意晶胞参数的计算可以延伸到晶胞中原子坐标、原子间距离、原子半径的考查，因此这不仅仅是化学知识的简单考查，而是要具备利用数学工具，通过计算和推理解决化学问题的能力要求，高考试题不仅是不同知识点的融合，更是跨越不同学科间的相互渗透.

四、有关晶胞中原子占体积百分率的计算

例4 (2016全国Ⅲ卷)GaAs(砷化镓)的熔点为1238℃，密度为ρg·cm-3，其晶胞结构如图12所示.该晶体的类型为____,Ga与As以____键键合.Ga和As的摩尔质量分别为MGag·mol-1和MAsg·mol-1，原子半径分别为rGapm和rAspm，阿伏加德罗常数值为NA，则GaAs晶胞中原子的体积占晶胞体积的百分率为____.

方法总结晶胞中原子的体积占晶胞体积的百分率也称为空间利用率，指构成晶体的原子、离子或分子在整个晶体空间中所占有的体积百分比.晶胞都是平行六面体，整块晶体可以看成是无数晶胞无隙并置而成的，空间利用率=晶胞中原子的体积之和÷晶胞的总体积×100%，因此计算的关键是：

(1)把原子当成球体，根据原子半径r计算体积为4/3πr3，计算出晶胞中原子的体积之和=晶胞中所含原子个数×4/3πr3；

(2)计算晶胞的总体积，可以通过晶胞参数a进行求解，如立方晶胞时V=a3，其它晶体结构单元结合几何知识求解，也可以通过晶胞的质量÷晶体密度求解.同时也要注意已知晶胞中原子的空间利用率，然后反推出原子的半径或者晶胞参数的表达式.

综上所述，涉及晶胞的相关计算，计算晶胞中粒子个数是基础，计算体积是关键，计算密度是高频考点，因此在备考中夯实基础、总结规律、消除恐惧、树立信心定会起到“事半功倍”的效果.