立体几何中等体积法的运用探究

林绍镓

(广东省肇庆市百花中学 526000)

一、命题规律的探讨

等体积法在高考中体现的原则是源于教材，高于教材的特点，在高考中主要考查学生能换角度看几何体的高以及熟悉求锥体底面几何形的面积.针对全国高考命题的特点，笔者认为有必要在选择几何体的底面上下功夫，帮助学生认识解题的一般规律性，熟悉立体几何命题技巧，才能使我们的备考会有方向性和针对性.

1.问题溯源，回归教材，熟悉原理

例1 (人教版教材必修2P28页习题1.3A组3题改编)在正方体ABCD-A′B′C′D′中，棱长为a，

(1)求三棱锥A′-AB′D′,A′-AB′C′的体积；

(2)求点A′到平面AB′D′的距离h；

(3)求AA′与面AB′D′所成角θ的正弦值.

二、剖析等体积法难点—贵在理解熟悉模型

纵观很多资料发现，对等体积法的求解分析很多都停留在求解点到平面的距离、锥体体积的求法上，却没有在面积、高等细节上分析考生做题时出现的错误，下面将分析等体积法的难点，逐一攻破.

1.熟悉求三角形的面积，学会信手拈来

求三棱锥的体积，当然免不了求底面三角形的面积，从学生的测试反馈结果看，学生在求三角形面积时出现思维障碍，故此，我们应该熟悉求底面三角形面积的常用方法，在教学中教师可以训练学生具备解三角形面积的方法意识，下面列举几种求三角形面积的方法.

例2根据图中线段长度，求以下各三角形的面积：

S1=____S2=____S3=____S△BCO=____

2.熟练应用空间垂直关系，懂得寻找几何体的高

求三棱锥的体积第二个关键问题是要求考生能寻找出几何体的高，在等体积法求解上，关键字是等体积.诚然在选择哪个面做底面来计算体积，往往看的是哪个高比较好证明，实际问题要看题上相关的已知条件，具体问题具体分析.为了教会学生以不变应万变的思想，笔者认为考生熟悉以下空间垂直关系样例：1)判定定理1：一条直线与一个平面内的两条直线都垂直，则该直线与此平面垂直；2)判定定理2：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直；3)面面平行的性质定理：若两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行；4)面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.

三、突破瓶颈—贵在题型上熟悉，方法上熟练

下面将具体实例分析等体积法的应用，着重分析点到平面的距离、用等体积法求锥体体积法的应用，熟悉等体积法的基本题型.

1.求锥体的体积

从上面的讨论中我们基本上能够知道等体积法求锥体体积就是一种转换的思想，即对所给几何体进行分割或者变换，从而能够以简单的方法进行求解.看下面的一例：

例4在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．(1)求证:AB⊥PE；(2)求三棱锥B-PEC的体积．

分析第(2)问求的是三棱锥B-PEC的体积(记VB-PEC),我们或许遇上这样的困难：倘若选择以面PAC为底，此时很难找出以B为顶点，面PAC为底面的高，这时我们转化角度来看问题，由(1)问得知PD⊥面ABC，显然就会有VB-PEC=VP-BEC.以上可以看出借助等体积法这个神器，恰当选择底面，避开了做辅助线等相对繁琐的过程，简单易操作.

2.求点到平面(或直线到平面)的距离

用等体积法求点到平面的距离主要是一个转换的思想，即先用简单的方法求出锥体的体积，然后算出所求高对应面的面积，再根据体积公式，求得点到平面的距离式h.接下来我们看下面的一例：

例3在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E为AB中点，求点E到面ACD1的距离.

分析题目所求的是点E到面ACD1的距离，首先我们要用简单的方法求得三棱锥E-ACD1的体积，我们可以从另外一个角度思考，比如以ACE为底面，以D1D为高很容易就能求得体积，然后算出面ACD1的面积， 最后根据公式求得点E到面ACD1的距离.从分析我们知道整个计算过程都很简单，关键是如何找出简单的方法求得体积.

3.求直线与平面所成的角

等体积法也可以求直线与平面所成角的问题，如例1中的(3)问，求线面所成的角，应该过点A′作平面AB′D′的垂线，但是能否确定垂足O的位置，实际上，AA′与平面AB′D′所成的角的正弦值就是A′O与AA′的比值，即关键是求出题中的h=A′O的值.

通过以上的例题分析，我们不难看出等体积法在处理点到面的距离和体积等问题时非常有效.也告诉我们数学的重要思想方法：从侧面迂回地解决一些从正面较难下手的问题.总之，只要同学们勇于探究，活用等体积法，解决立体几何体积、点面距等瓶颈问题会有很大的启发与帮助.