习以静悟——三角形中位线教学的长成之路——彰显思维深度

邹太芹

(安徽省合肥市第四十八中学滨湖校区 230000)

教材版本及内容：沪科版八年级第19章19.2《平行四边形》第4课时，三角形中位线定理 三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

一、教有来头，学有去处

源头平行四边形性质1：平行四边形的对边相等.

结论平行线间的平行线段相等.特殊化：平行线间的距离处处相等.

延伸路：(图2)若再加一条平行线，且距离等于上两条平行线间距离，即AD∥BC∥EF，且直线AD与直线BC之间的距离等于直线BC与直线EF之间的距离，点A、B、E在一条直线上，点D、C、F在一条直线上，AB∥CD，通过构造三角形全等，得到AB=CD=BE=CF.

一般化：直线AB与直线CD不平行呢？通过转化可以得到相互平行的情况可得：AD∥BC∥EF若AB=BE，则CF=CD(图2).

结论：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.

可解决问题：

1.过平行四边形对角线交点的直线，与平行两边所在直线相交，所得线段相等OE=OF;OM=ON(图3)

2.任意等分线段：将线段AB五等分

为后面平行线分线段成比例定理埋下伏笔与种子(图4).

设计意图：知识不仅要长出来，还要有它的价值，通过方法策略内化，成为原生价值.而且为以后学习平行线分线段成比例及相似三角形播下种子预留了接口.

二、数学本质是形变质不变

再生长路：(图5)将直线AB与直线CD不平行再特殊化，两直线交于点A(点A与点D重合)，通过化归依旧得到：AD∥BC∥EF,若AB=BE，则AC=CF.图形中出现我们经常用到的三角形，那就把三角形单独拿出来，写出原来的已知条件与结论.

已知：如图(图6)，△AEF中，BC∥EF(直线AD隐去)，AB=BE.结论：AC=CF.

归纳结论：经过三角形一边中点，平行于三角形另一边，必经过三角形第三边中点.

引出三角形中位线概念：三角形中两边中点的连线段叫三角形中位线.

三角形中位线是三角形中重要线段，它有三条.作为重要线段需要研究它与其他元素间的位置关系与数量关系.因为中位线EF已经经过其中两边中点，显然需要研究的是与第三边的位置与数量关系.(如图7)△AEF中AB=BE，AC=CF，观察猜测，中位线BC与所对边BC有怎样的关系(位置与数量).

先猜测位置关系是BC∥EF

如图(图7)，△AEF中AB=BE，AC=CF.

求证：BC∥EF.

证法1:(图8)利用中点构造全等.

过F作AE平行线交BC延长线于点D.

易证△ABC≌△FDC,得到AB=DF，BC=DC.因为AB=BE,所以DF=BE.

证法2：(图9)分别过点C与点D作CD∥AE，交EF于点D，作BM∥AF交EF于点M，因为点B与点C分别是中点，根据：经过三角形一边中点，平行于三角形另一边，必经过三角形第三边中点，得到点D与点M重合，都是EF中点.

结论：三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半.称为三角形中位线定理.

设计意图：既有在原有知识基础上的新生知识，也有运用已有知识解决问题的内化过程，使新旧知识成为一个体系.另外中点三角形，为后面中点四边形埋下伏笔与种子.

三、新知在“复制知识”转变中长起来

回到原有知识：梯形中位线(图10)

三角形的重心(图11).如图：AD，BE，CF是△ABC的三条中线，且三条线交于点O.

证法略.

三角形的三条中线交于一点，这点和各边中点的距离等于相应各边上中线的三分之一.

设计意图：搭建知识生长的架子，在循环中再提升.

写在最后的感悟：这是一条学习的生长之路，从“平行四边形对边相等”一个知识点出发，沿着这条路长出来依次得到：平行线间的平行线段相等；平行线间的距离处处相等；平行线等分线段定理；经过三角形一边中点，平行于三角形另一边，必经过三角形第三边中点；三角形中位线定理.

利用这些解决问题训练能力，得到等分线段的方法，梯形中位线及三角形重心的性质定理.从一个点出发，串成一条线，最后织成一片网.

这张网并不是到此结束，还预留了成长的穗子，比如中点四边形，比如平行线分线段成比例定理，相似三角形对应边成比例等.知识的生长之路是一条顺势而为之路，边学边收获，边收获边欣赏.