探究“夹水玻璃”难以分开的原因与影响因素

翟志康 郭子玥 樊代和 魏 云

(西南交通大学 1 物理国家级实验教学示范中心(西南交通大学) 2 交通运输与物流学院； 3 物理科学与技术学院,四川 成都 611756)

生活中有这样的物理现象：在两块玻璃之间加入水后再分开它们将很困难。是什么原因导致这样的现象？又有哪些物理因素会影响分开玻璃的力？这一问题同时也出自2017年国际青年物理学家锦标赛(IYPT)的第10题[1]。通过文献报道可知，在玻璃之间加入水后分开玻璃更加困难，起关键作用的力被称为“液桥力”，同时可以借助“Young-Laplace”方程分析液桥力的理论值[2]。本文主要工作是在理论分析的基础上，设计实验装置详细测量液桥力大小，探究相关因素对分开“夹水玻璃”难易程度的影响。

1 基于“Young-Laplace”方程的液桥力分析

如果在两块平板玻璃之间加入一定的水，在理想情况下，夹水玻璃的主视图和截面图如图1所示。

水的表面张力将导致液体内形成相对负压，与大气压强形成压强差，进而大气对玻璃形成一定的压力，压强差的方向如图1(b)箭头所示。这一压强差可由“Young-Laplace”方程进行描述[3]：

(1)

其中，γ为水的张力系数，表示单位长度液体的张力；r1、r2分别为液面边缘两处的曲率半径。如图1(a)所示，理想条件下，两块玻璃之间，水与空气的接触面是圆柱面，与玻璃平行的边是直线，另一边是圆曲线。直边曲率半径趋近于无穷：

r1→∞

(2)

图1 “夹水玻璃”的主视图和截面图(a) 主视图； (b) 截面图

(3)

由式(3)可知，液面曲边的曲率半径取决于水膜厚度和接触角。

液体内外压强差引起的力就被称为液桥力，液桥力的大小决定了夹水玻璃难以分开的程度。假设玻璃板的面积为S，则可得出液桥力F液的大小为

F液=Δp×S

(4)

将式(1)、式(2)、式(3)代入式(4)，得到液桥力理论公式为

(5)

根据式(5)可知，液桥力与水的张力系数γ、接触角的余弦值cosθ、玻璃板面积S正相关，与水膜厚度呈负相关。液桥力垂直作用在玻璃上，使得夹水玻璃难以分开，直接影响分开玻璃的力的因素有水的张力系数γ、接触角的余弦值cosθ、玻璃板面积S以及水膜厚度。查阅文献可知，水的张力系数与水的温度有关，且张力系数与温度呈线性关系，温度越高张力系数越小[5]，又因为液桥力与张力系数呈正比，所以液桥力与水的温度是线性关系，液桥力随着温度升高而降低。接触角与玻璃的粗糙程度有关，接触面越粗糙接触角越大[4-6]，从而液桥力减小。接下来，我们就设计具体的实验装置，对以上提到的相关参数做详细实验研究。

2 实验装置设计及摩擦系数测量

为了测量液桥力大小，设计了定滑轮装置，如图2所示：

图2 测量液桥力的实验装置(a) 装置图； (b) 实物图

图2(a)为装置示意图，图2(b)为实际实验装置。在示意图中，装置左侧在地上固定一块大玻璃，大玻璃上放置一块正方形小玻璃，两块玻璃之间加一层水，使用滴管填充玻璃边缘，使得玻璃间水均匀、无气泡。正方形小玻璃中间上表面固定强力粘钩，方便与不可伸缩的绳连接。定滑轮右侧将装水容器与绳相连接，粘钩固定在正方形玻璃中心，使用铅垂线保证绳竖直，从而上方玻璃受力垂直、均匀。向容器缓慢加水，可模拟对正方形小玻璃施加一定的拉力。使用滴管向容器内逐滴加水并观察，若玻璃稳定继续加水，若玻璃分开，那么盛水容器的重力即可认为是分开玻璃的拉力F拉。

由图2(a)的受力分析可知，F拉需要克服绳与滑轮摩擦力、液桥力F液和上玻璃重力mg，因此，当玻璃能够正好被拉开时，满足的方程可由下式表示：

F拉=f+mg+F液

(6)

绳子与定滑轮之间产生的滑动摩擦力可如下式表示：

f=μ(F拉+mg+F液)

(7)

由式(6)和式(7)，可以得出液桥力实验测量公式为

(8)

整个实验中，由于摩擦因数μ未知，因此实验开始前需要首先测定实验装置的摩擦系数。将图(2)中所示的定滑轮左端直接悬挂一质量为m的重物，向定滑轮右侧容器中加水至刚刚将重物拉起，记录此时容器总质量与重物质量。受力分析与图2(a)相比，区别在于没有液桥力F液。通过改变质量m多次实验，由力学平衡可知：

f=F拉-mg

(9)

其中，mg为重物的重力；F拉为加水容器总重力。通过式(9)可以间接测量每次试验摩擦力的值。同时，根据滑动摩擦力定义可知：

f=μ(F拉+mg)

(10)

记F压=F拉+mg，则

f=μF压

(11)

图3 摩擦因数测定的实验结果

这里使用不同质量的玻璃板作为重物多次实验，即可绘制f与F压的图像，如图3所示。其中叉号表示实验结果，直线表示线性拟合。从图中可以看出，实验数据可进行很好的线性拟合，表明了式(11)的有效性。进一步，线性拟合的斜率即为摩擦系数μ。从图中可以直接得出其值为：μ=0.07。

3 液桥力的实验研究

根据关于影响液桥力因素的理论分析，其他条件不变的情况下，液桥力与玻璃面积S呈正比；与水的温度是线性关系，随着水的温度升高而减小；玻璃的粗糙程度越大液桥力越小；水膜厚度越小液桥力越大。水膜厚度难以测量，因此实验中通过控制上玻璃厚度不变来保持水膜厚度不变。

针对上述分析，进行了3组实验，分别验证玻璃板面积、水的温度、粗糙程度对于液桥力的影响。探究某因素对液桥力影响时控制其他因素不变；对于每一次测量进行3次，取拉力平均值。

(1) 玻璃板面积

实验中，选取不同规格平玻璃，具体为(5×5)cm,(10×10)cm,(15×15)cm,(20×20)cm，对每一种规格玻璃分别测量相应液桥力实验值，研究玻璃面积与液桥力的关系。当控制实验中其他参数均不变，只考虑玻璃板面积时，得到的实验结果如下图所示：

图4 玻璃面积对于液桥力的影响

图4中，叉号为实验数据点，直线为线性拟合。从图中可以看出拟合程度较好，由此可得出，液桥力与玻璃板面积成正比。

(2) 水的温度

选取3组不同规格玻璃分组实验。每一组实验以水的温度为变量，而其他参数不变，分别进行15℃、50℃、100℃实验。这里的温度是指向玻璃之间加水时水的温度，在热水容器中放入温度计，达到目标温度时立即进行实验。实验测量得到的结果如图5所示：

图5 水的温度对液桥力的影响

图5中，加号、叉号和圆圈是实验数据点，直线是线性拟合。从图中看出，拟合程度较好，对于每一规格玻璃，水的温度越高液桥力越小,并且液桥力与水的温度近似为线性关系。同时，玻璃板面积越大，则液桥力大小随温度的变化越明显。

(3) 玻璃的粗糙程度

通过文献报道[4]可知，玻璃的粗糙程度越大，则接触角越大。通过式(5)可知，接触角越大，则液桥力越小，夹水玻璃越容易分开。实验中，选取3种不同规格的玻璃，对于每一种规格玻璃进行对照实验：即上玻璃是平玻璃和下玻璃是平玻璃组合、上玻璃是平玻璃和下玻璃是毛玻璃组合、上玻璃是毛玻璃和下玻璃是毛玻璃组合。当控制其他量不变，分别测量分开玻璃的力，从而得到液桥力的大小。实验结果如图6所示：

图6 玻璃粗糙程度对于液桥力的影响

不难看出，对于同一种规格玻璃，平玻璃与平玻璃的组合所需液桥力最大，而毛玻璃与毛玻璃的组合所需液桥力较小。因此由实验结果可以证明，玻璃越粗糙液桥力越小，与前述理论分析一致。

4 结语

首先从分开夹水的玻璃较困难这一生活现象出发，基于“Young-Laplace”方程进行了理论分析，得到分开加水的玻璃所需要的附加力(液桥力)的理论公式，并且根据公式分析影响液桥力的相关因素。接下来设计了定滑轮实验装置对夹水玻璃难以分开现象进行了详细实验探究。巧妙地借助定滑轮，使用装水的容器总重力替代拉力。由于摩擦力的存在，实验前首先测定了摩擦因数，最终到具体实验中液桥力的实验测量公式。实验结果表明，液桥力大小与玻璃面积成正比，夹水玻璃面积越大越难分开；水的温度越高导致水的张力系数越小从而液桥力越小，夹水玻璃越容易分开，并且液桥力大小与水的温度呈线性关系；玻璃越粗糙使得接触角越大从而液桥力越小，玻璃越容易分开。