双光栅测微弱振动实验中光拍成像质量的改进

王鑫磊 黄 锐 陈紫媛 王亚芳

(中国地质大学数理学院，北京 100083)

“双光栅测微弱振动位移”是中国地质大学(北京)大学物理实验题目之一。该实验以半导体激光为探测光源[1，2]，通过两个有相对运动的双光栅，其中一个光栅固定在音叉上，称为“动光栅”，由于多普勒效应，通过双光栅的光会产生光拍，利用光拍信号就能计算得到音叉振动的振幅。该实验中存在的问题是，利用此光源得到的光拍信号波形与理论的波形相差太大、会出现“毛刺”和“包络”现象[3,4]，这给测量带来很大的误差。为了解决这一问题，本文分别针对这两个问题，先通过理论分析，找到问题产生的原因，给出了相应的解决方法，然后辅以计算机模拟或者实验进行验证。

1 双光栅实验介绍

图1为实验装置图,激光器发射的激光束，先通过静止光栅，再经由狭缝到达运动光栅，最后到达接收器；信号源输出矩形波，调节信号源的“功率调节”和“频率调节”旋钮使音叉共振，由此带动光栅振动；衍射光在光电接收器上形成的光斑分布在垂直于实验平台的一条直线上。该实验中，激光波长λ=635nm，音叉谐振频率f=506Hz左右。光电接收器使用的是硅光电池，响应时间在10-6～10-3s之间，响应率在17%左右。

图1 双光栅实验装置实物图

1.1 实验原理

1.1.1 位移光栅的多普勒频移

光源、接收器、传播介质或中间反射器之间的相对运动所引起的接收器接收到的光波频率与光源频率发生的变化，由此产生的频率变化称为多普勒频移。

当激光平面波以一定角度入射光栅时，由于光栅上光疏和光密媒质部分对光波的位相延迟作用，使入射的平面波变成出射时的摺曲波阵面[5，6]，如图2所示。

图2 摺曲波阵面出射示意图

x=x0-v·Δt=x0+ΔS(t)

(1)

(2)

图3 运动光栅的衍射示意图

又根据光栅方程，d(cosθ1+cosθ2)=mλ，代入上式，得到第m级衍射光的相位变化为

(3)

故第m级衍射光栅的表达式为

(4)

已知该实验的光栅作微小正弦振动，则有

ΔS(t)=A0cos(ωt+φ)

(5)

代入上式，有

(6)

1.1.2 光拍的获得与检测

由于光的频率高达1014Hz，为了在光频ω0中检测出多普勒频移量，必须采用“拍”的方法。考虑把已频移的和未频移的光束平行叠加，以形成光拍。由于拍频较低，容易测量，由拍频即可检测出多普勒频移量。

本实验形成光拍的方法是采用两片完全相同的光栅平行紧贴，一片静止，另一片相对移动。激光束垂直穿过双光栅后所形成的衍射光，即为两种光束的平行叠加。静光栅不动，只起衍射作用，动光栅以一定速度移动，起频移作用，故通过双光栅后射出的衍射光包含了两种以上不同频率成分而又平行的光束。由于双光栅紧贴，激光束具有一定宽度，故该光束能平行叠加，这样直接而又简单地形成了光拍。如图4所示。

图4 频差较小的两列波叠加成“拍”

当激光经过双光栅所形成的衍射光叠加成光拍信号。光拍信号进入光电检测器后，其输出电流可由下述关系求得：

光束1：

E0(t)=E0cos(ω0t+φ0)

(7)

光束2：

(8)

两束光叠加的光电流为

(9)

其中ξ为光电转换常数。因光波频率ω0甚高，在式(9)第一、二、四项中，光电检测器无法反应，第三项即为拍频信号，因为频率较低，光电检测器能够作出相应的响应。其产生的光电流为

(10)

拍频F拍即为

(11)

其中n0=1/d为光栅密度，本实验中n0=1/d=100条/1mm

1.1.3 微弱振动位移量的检测

从式(11)可知，F拍与光频率ω0无关，且当光栅密度n0为常数时，只与光栅移动速度v成正比。由于光栅粘在音叉上，所以v是周期性变化的，光拍信号频率F拍也是随时间而变化的。微弱振动的位移振幅为

(12)

经过双光栅后的理想光拍信号如图5所示。

图5 理想光拍信号图

1.2 毛刺和包络

在具体实验中，常常得不到如图5所示的理想波形，最常见的问题如图6和图7所示。其中图6出现的是不规则的光拍信号波形，由于实验中要进行估算，易产生误差。研究中将这种现象称为“毛刺”。图7所出现的信号峰值不等，依信号可以画出正弦包络。

图6 实验中的“毛刺”图

图7 实验中的“包络”图

2 毛刺

2.1 毛刺产生原因

如图8所示，激光束垂直照射到静光栅上，接着经过运动光栅。由于光的多普勒效应，由动光栅出射的高级衍射光波发生频移。设v是动光栅的运动速度，d是光栅常量，ωd是两束光的多普勒频移差，则有ωd=2πv/d。

图8 光束经过双光栅衍射示意图

由于实验采用的是相位光栅，每一光栅会产生许多的衍射极大，两光栅叠加后，频谱为卷积，这就造成了在检测器方向上的多光束叠加，运动光栅B的第m极大项附加的多普勒频率为mωd，当众平行光束叠加后，产生的拍频含有丰富的高次谐波,表现在波形上就是毛刺[9,10]。

2.2 GUI仿真模拟毛刺的产生

为了验证上述推理的正确性，我们利用GUI对理想图和毛刺图进行了模拟。

由上文可知，两束光叠加产生理想图可检测信号为式(10)，毛刺图是多束光叠加产生，此处假设是三束光叠加，则有

I=ξ(E0(t)+E+1(t)+E+2(t))2

(13)

可检测信号为

(14)

将式(10)和式(14)写入GUI程序中，得到图9中上下两个图。其中图9(a)是式(10)形成的理想图，图9(b)是式(14)形成的不规则的毛刺图。

图9 GUI模拟的理想图和毛刺图

2.3 毛刺的解决方案

上述结果都证明了毛刺是非相邻光束叠加产生的高级谐波，那么从光拍信号中剔除这些成分，就可达到去除毛刺的目的。

如图8所示，光束的叠加程度跟光束直径D(光束宽度)和光束间距s有关[11]。用L表示双光栅A和B距离，以水平光束(光栅B的零级衍射极大方向)为例讨论L和s的关系，从图中可以看出，当D/2≤s≤D时，只有相邻光束发生叠加，非相邻光束没有叠加，光拍信号中没有高级谐波，毛刺也不再存在。虽然激光器的光束宽度D不可改变，但可通过改变光栅间距L可以调整光束间距s。

已知激光束经过光栅A发生衍射干涉，各级衍射光束的光栅方程[12]为式(1)。其中d≥λ，当θ非常小时sinθ可由θ代替,当m不是非常大，上式可写为

dθ=mλ

(15)

则第m级衍射光束在光栅B的坐标为

(16)

再经过光栅B的衍射，在B的零级衍射极大方向上，相邻光束的之间的距离为

(17)

3 包络的解决方案

3.1 包络产生原因

根据张鹏等人的研究结果显示[13]，对于同一级衍射光，由于音叉振动会伴随转动效应，使振动光栅衍射光在平衡位置附近作微小振动，光电检测器进光量随时间正弦变化，从而导致了衍射光斑边缘的强度变化。由于音叉的伴随转动是固有的，不能消除的，因此必须考虑抑制或避免检测振动光栅衍射光左右边缘强度不稳定的部分[14]。

3.2 包络解决方案及实验验证

如图10(a)，实线是音叉处于平衡位置时衍射光斑位置；虚线是由于音叉转动使衍射光斑分别能达到的最大左右边缘；实线是光强度稳定的区域。由于音叉的伴随转动是固有的，不能消除，因此必须考虑抑制或避免检测振动光栅衍射光左右边缘强度不稳定的部分[15]。实验中，可以通过添加光阑，只允许静光栅衍射光的稳定部分从光阑小孔通过。

图10 光阑添加位置示意图(a)和光阑实物图(b)

该实验所使用的装置中动静光栅间距仅2mm，光阑难以放进去。因此考虑用具有相同功效的带孔纸条代替。根据光束照射到白板上光斑的大小可在纸条上打出稍小的孔，如图10(b)所示。在两光栅之间加图10(b)所示的光阑后，只有静光栅衍射光的中央部分通过，这时光斑边缘强度变化的部分可以被最大程度抑制，从而基本消除光拍信号的包络，大幅度提高了测量的精度。图11为加光阑前后光拍信号对比图。

图11 使用光阑改进包络前(a)后(b)得到的光拍信号对比图

4 结语

本文经过分析发现，“毛刺”是由于检测器含有丰富的高次谐波的拍频产生的，该推断通过模拟得到验证，因此若将双光栅之间拉开一定距离，只让相邻光束叠加，就能得到更理想的波形。“包络”是由于音叉振动伴随的转动效应使振动光栅衍射光在平衡位置附近作微小振动，光电检测器进光量随时间正弦变化，从而使衍射光斑边缘的强度变化。在振动光栅后使用光阑限制衍射光边缘以使衍射光强度稳定，可以有效减小包络，得到更理想的光拍信号。