高中数学三视图还原几何体

申奋生

解决三视图还原几何体问题，要求学生有极强空间想象能力，对于一些比較复杂的三视图问题，即便是数学思维较强的学生，也会有一些压力。在高考紧张的环境下，如果遇见一个不常规的三视图，就会给偏爱数学的考生设下了一道门槛，要是心慌，不仅会与本题失之交臂，甚至直接影响后面的答题情况。所以教师要特别注意这方面的教学，教授学生答题技巧，锻炼学生的空间想象能力和还原能力。下面以三视图还原几何体相关例题，例谈如何解决此类数学问题。

将三视图还原成几何体，首先要构想出原图并画出来，在这方面的教学可以主要从两种题型入手，一是“矩形”模型，二是“三角形”模型。

一、“矩形”模型

“矩形”模型是指给出的三视图中有两个或两个以上的图形是矩形，这种题型可以采用“刀切法”，就是在脑海里面先构想出一个长方体，然后再根据三视图一刀刀切出原几何体。

例如，下图中，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，且该几何体的顶点都在同一球面上，则该几何体的外接球的表面积为（ ）。

A.32[π] B.48[π] C.50[π] D.64[π]

解析：如图，由三视图知识可知，正视图和侧视图为两个正方形，可以用“刀切法”构想出几何原图。首先画一个正方体，由俯视图可知，要在正方体的面对角线切一刀，留下半个长方体，再由正视图和侧视图可知，对于剩下的半个长方体，要继续切去两个角，最后剩下的几何体即为四棱锥P-ABCD，其中平面PCD⊥平面PAB，外接球球心恰好就是正方体的中心，这道题就能迎刃而解。

设外接球的球心为O，△PCD与△PAB的外心分别为H和G，则HP、GP分别为△PCD与△PAB的外接圆的半径，OH⊥OG，在△PCD中，PC=PD=2[5]，CD=4，应用正、余弦定理可得，cos∠PCD=[55]，所以，sin∠PCD[55]，PH=[12]×[PCsin∠PCD]=[52]，所以，外接球O的表面积为S=4πR2=4π×OP2=4π×（OH2+PH2）=50π。

练习：一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）。

A. [18] B. [17] C.[16] D.[15]

解析：如图，由题意知，该几何体是正方体ABCD-A1B1C1D1被过三点A、B1、D1的平面所截剩余部分，截去的部分为三棱锥A-A1B1D1，设正方体的棱长为1，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 =

[VA-A1B1D1VA1B1C1D1-ABCD-VA-A1B1D1] = =[15]，选D。

二、“三角形”模型

“三角形”模型是指给出的三视图中有两个或两个以上的三角形，可以采用“拔高法”，即以俯视图为基本出发点，根据主视图和侧视图的形状把俯视图拉伸成相应的高度，得到还原后的立体几何图。

例如：四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）。

A.[81π5] B.[81π20] C. [101π5] D.[101π20]

解析：在三视图中有两个三角形，可以采用“拔高法”还原几何体。以俯视图为基本出发点，该四棱锥底面为矩形。由正视图和侧视图可知，顶点是将俯视图上边中点向上拉至一定高度后得到，高度值可由正视图计算得到。

还原后的几何体即四棱锥P-ABCD，其中平面PCD⊥平面ABCD，且AB=4，BC=2，PC=PD=3，取CD的中点G，GC=2。

设四棱锥的外接球的球心为O，半径为R，底面ABCD的外接圆圆心为H，平面PCD的外接圆圆心为K，OH，则平面ABCD，OH⊥平面PCD。

由几何、三角知识可得，HC=[5]，KC=r=[12]×[352]=[9510]，OH=KG=[KC2-GC2]=[510]，所以R=OC=[OH2-HC2]=[50510]。

故该四棱锥的外接球的表面积S=4[π]R2=[101π5]。

练习：某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）。

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

解析：由三视图可得，有两个三角形，采用“拔高法”，以底面直角为基本出发点，从主视图和侧视图中可以看出顶点就是将D点拔高2个单位，如图所示，此四棱锥恰好可以放到一个正方体中。

在四棱锥P-ABCD中，PD=2，AD=2，CD=2，AB=1，由勾股定理可知：PA=[22]，PC=[22]，PB=[22]，BC=[5]，在四棱锥中，直角三角形有△PAD、△PCD、△PAB共三个，故选C。

三视图还原几何体问题中，难度比较大的就是这两种题型，对于圆形的还原，一般都是圆柱或球，难度相对较小。对于“矩形”和“三角形”模型，在教学的过程中，为了使学生更加清楚地理解与想象，教师也可以制作一些简单的动画，后期再专项训练学生的想象能力。在这类题型中，教师还要对图形中棱角关系的教学做一个系统的规划。而学生不仅要具备空间想象的能力，还要具备模型思想和运算能力。

（责任编辑 林 娟）