利用微积分推导等差数列求和公式

韩春禹

摘 要：随着社会和科学技术的不断进步，中学生对知识的渴求度越来越高，对知识的领悟能力越来越强，这就使高等数学的思想很自然地融入中学数学的课本与课堂。将微积分知识与微积分思想渗透到中学数学是新课改的重要举措。本文研究利用微积分推导等差数列求和公式，充分体现微积分思想与中学数学的密切联系，展现它在中学数学中的广泛应用。对数学教师的专业化培养具有重要作用，对拓宽中学生知识视野、培养创新能力具有促进作用。

关键词：微积分 中学数学 等差数列

在中学数学中，数列是重要内容之一.涉及数列的问题很多，而且非常灵活，这对中学生来说理解和计算上都比较困难，计算量也比较大，所以对中学教师来说，既要让学生对数列的相关问题感兴趣，又要让学生真正理解数列的本质，还得将数列的公式牢牢记住.随着微积分知識被引入到中学数学课本，微积分思想就被应用得越来越多，因为高等数学中的微积分对初等数学内容可以起到化繁为简的作用，它能“变静为动”，将比较“生硬”的知识变得充满灵气，使学生更好地理解和掌握初等数学知识.对于数列，它常常被看做是一个特殊的函数，可以利用微积分思想来解决这种特殊函数的单调性、最值等问题。

如果仔细研究数列中通项公式和前项和，不难发现，已知通项公式，求前项和的过程类似连续函数求定积分的过程，而已知前项和，求通项公式的过程类似连续函数求导的过程[1].

在等差数列中，最重要的两个知识点就是通项及前项和，其中（）

如果已知通项公式，如何求出前前项和？

问题 已知数列的通项公式是（），求前项和.

分析 通过初等数学的方法我们可以判断数列是等差数列，且公差为.中学数学的推导过程是通过高斯算法的启示，对于公差为的等差数列，用两种方式表示：

由（1）+（2），得

定积分实质上就是对近似值求和，然后对和进行求极限，对于等差数列的求前项和的过程，可以看成是连续函数求定积分的过程.

已知数列的通项公式是，设.如果我们对它直接求定积分，得到

可见，通过定积分的方法与初等方法求得的结果（3）（4）两式不同，问题何在？我们看下面两个图像观察与的关系.

假设公差，可以看成是第个小矩形的面积，那么就可以看作是前个小矩形面积之和如图3.2-1，但是的几何意义是前个小梯形的面积之和，如图3.2-2，可以观察到.

解决方法 根据上面的分析，利用几何当中常用的图形割补法，将图3.2-1的图像上的小矩形都向右移动个单位，得到图像3.2-3，观察图像，将直线上方的小三角形与直线下方梯形的空缺处的三角形面积相等，这样，我们可以得到图3.2-4，根据图像的变换特征，将图3.2-1中的每个宽度为1的小矩形面积转化为图3.2-4高为1的直角梯形的面积，根据定积分的定义，图3.2-4的所有小梯形的面积之和为.

所以，我们之前计算的前项和

很明显是错误的

根据上面讨论的解决办法，得到正确的等差数列前项和与定积分的关系，即已知数列的通项公式是，前项和

结语

已知等差数列，前项和.

参考文献

[1]徐国栋.初探数列与微积分的关系[J].中学数学杂志，2011，11：29-31.