基于核密度估计的铁路桥梁构件地震易损性分析

2019-10-18单德山张二华

铁道学报 2019年8期

单德山，张二华，董俊，李乔

(西南交通大学土木工程学院，四川成都 610031)

地震概率风险评价方法已成为评价地震风险的最常用方法，目前已在世界范围内得到应用[1-3]。地震概率风险评价方法研究的关键是地震危险性分析、构件和子结构及系统的地震易损性评估[1]。文献[1]在系统总结桥梁易损性分析方法基础上，将桥梁结构常用地震易损性分析方法归纳为分析型、经验型、专家意见型和试验型四类。近年来，分析型易损性分析方法主要依据结构的地震数值分析结果建立地震易损性曲线，几乎不需要做大量实际震害统计调查工作，因此受到国内外学者的广泛关注[1]。

桥梁地震易损性曲线反映了桥梁结构在给定地震动强度参数下达到一定破坏状态的概率，在交通运输网地震风险评估中具有重要作用[1-4]，而有效的概率密度函数估计方法是计算桥梁地震易损性的核心。文献[5]将现有概率密度函数估计方法分为参数和非参数两类。在此基础上，文献[6]将桥梁结构地震易损性分析方法划分为参数和非参数两类。而目前较常采用的MLE(Maximum Likelihood Estimation)法[1，7]和PSDA(Probabilistic Seismic Demand Analysis)法[1，8]均基于某种人为假定(如对数正态分布假定)，分别通过概率统计和线性回归确定条件概率密度函数估计中的未知参数，从而建立易损性曲线。然而，文献[4，9-10]均指出上述方法在解决复杂柔性结构的地震易损性问题时，计算结果可能与实际震害不符。

目前非参数化的地震易损性方法主要基于蒙特卡罗模拟(Monte Carlo Simulation，MCS)[1，11-12]。MCS法基于概率统计基本含义，通过对大量桥梁地震计算样本进行统计获得桥梁构件的易损程度，但该方法的计算结果精度极易受到计算样本量的影响[5，12]，若要获得较为可靠的结果，则需大量的计算。该方法因耗时严重而难以推广使用[12]。

综上所述，上述三种常见分析型地震易损性分析方法均难以适应日趋复杂的桥梁结构抗震性能评估，为此，本文引入一种非参数的核密度估计KDE方法用于地震易损概率密度函数的估计，建立一种非参数化的桥梁结构地震易损性分析方法，并通过对比分析由MLE、PSDA、MCS和KDE计算获得的桥梁结构易损概率，验证KDE方法的准确性，采用Bootstrap重抽样方法验证KDE方法的精度。在此基础上，用所提方法计算某铁路刚构-连续组合体系桥梁的易损性曲线，分析不同构件的易损排序，为桥梁结构的抗震设计提供依据。

1 桥梁地震易损性的KDE估计

1.1 基本思路

由概率统计[5]问题出发，桥梁地震易损性分析属于条件概率估计问题[1，12]，用fD|IM表示桥梁构件抗震能力的条件概率密度函数，易损性函数Pf(IM，C)可表示为[9，12]

(1)

式中：D、C为桥梁构件抗震需求和抗震能力；IM为峰值加速度取a时的地震动激励强度指标；fD|IM(C)为结构抗震能力C的条件概率密度函数，根据条件概率密度函数与联合概率密度函数的关系[5，12]，fD|IM(C)可写为

(2)

式中：fD，IM(·) 为数组(D，IM)的联合概率密度函数；fIM(·)为IM的边缘概率密度函数[5]。获得fD，IM(·)、fIM(·)后，可通过式(1)获得桥梁构件易损性曲线。

基于分析型地震易损性方法的基本思路[1]，首先通过计算得到桥梁构件在不同IMi(i=1，2，…，n)地震激励下的Di(i=1，2，…，n)值，n为选用的地震动数量，然后构建样本对{Di，IMi}(i=1，2，…，n)，最后将KDE方法用于估计联合概率密度函数fD，IM(·)与边缘概率密度函数fIM(·)。

1.2 易损性KDE估计

采用KDE方法从随机变量X的有效样本{x1，x2，…，xn}中估计得到概率密度分布函数[13]

(3)

(4)

(5)

当给定独立同步随机变量时，对于多维随机向量X∈Rd，其核密度估计可表示为[5，13]

(6)

(7)

可通过插件法或交叉验证方法估计H[13]，求解多维随机向量X的带宽矩阵H。求解不确定随机变量间的相关性问题时，其核密度估计可通过采用完全型带宽矩阵[14]求解，在本文所建立的方法中，采用交叉验证法中最稳定的平滑交叉验证方法[15]来估计H。

(8)

将式(8)、式(5)代入式(2)，得到fD|IM(C)后，对式(1)积分形成最终结构易损性函数

Pf(IM，C)=P[D≥C|IM]=

(9)

需要注意的是，式(9)中hIM和H的选取，对桥梁结构地震易损性分析结果的准确性具有关键作用[5，12，14-15]。

1.3 易损性KDE估计的统计特性

采用KDE方法得到结构地震易损性曲线的同时，可通过计算所得易损性曲线的置信水平，评判计算结果的正确性和易损性分析方法的稳定性。Bootstrap重采样法无需额外信息[16]，基于原始样本对对样本观测信息进行复制，从概率统计角度实现总体分布特性的推断估计，本文沿用此方法对KDE易损性分析方法的统计特性进行讨论。

首先有放回地从原始{Di，IMi}(i=1，2，…，n)样本对中抽样，各数据被抽中的概率均为1/n，经m次重复抽样获得m个Bootstrap样本[16]，进而采用本文方法，获得各Bootstrap样本的易损概率，在此基础上，获得与建立结构易损性曲线相关的概率统计指标，如中位数、置信区间、方差等[5，12，16]。

1.4 桥梁结构地震易损性KDE估计流程

体系复杂的桥梁结构，其抗震能力受到本身材料、几何参数以及外部地震动激励等诸多不确定因素的影响[1-4，12]。考虑上述不确定因素，基于IDA(Incremental Dynamic Analysis)[17]方法，本文采用的研究思路如图 1所示。由图1可知，本文通过对比参数化PSDA、MLE方法及非参数化MCS、KDE方法对相同桥梁结构地震易损性的计算结果，验证本文所提KDE方法的正确性和可靠性。在此基础上，对桥梁结构易损构件的地震损伤概率进行KDE估计，根据构件易损性排序，为桥梁结构抗震设计提供依据。

图1 桥梁地震易损性分析流程

2 桥梁结构地震易损性分析

2.1 工程概况

本节以我国西部某4跨高墩刚构-连续组合体系桥梁为例，对本文所建立的KDE地震易损性分析方法进行验证和应用，其跨径布置为(68+2×120+68+3×32+24) m，如图2所示。其场地反应谱特征周期为0.35 s。主梁为二次抛物线形式的变截面C55混凝土箱梁，跨中梁高5.2 m，0号块处梁高9.0 m。二期恒载为120 kN/m；1～4号墩的基本情况见表1。0号台和4号墩顶布置纵向活动球形钢支座，支座型号为QZ9000DX/Z±150/R0.05[18]；1号墩顶布置纵向活动球形钢支座，支座型号为QZ55000DX/Z±100/R0.05[18]，其设计摩擦系数为0.05，非滑移方向的水平承载力取支座竖向设计承载力的15%。该桥处于9度地震烈度区。

2.2 有限元模型

图2所示铁路桥梁主桥的有限元模型采用OpenSees软件[19]建立。基于桥梁实际震害统计，采用弹性梁单元模拟主梁[1-4，7，9]；依据文献[20]，采用附加质点模拟二期恒载等其他附加质量对主梁的作用。分别采用弹塑性纤维梁柱单元、理想弹塑性连接单元、接触单元、零长度单元模拟桥墩、球形钢支座、伸缩缝以及桥台与主梁间的相互作用；群桩效应采用6个等效弹簧模拟。该主桥的有限元模型示意如图3所示。

图2 某铁路刚构-连续组合桥梁(单位：cm)

表1 1～4号墩基本情况

图3 桥梁结构有限元计算模型示意

2.3 地震动的选择

本文所依据工程为西部地区桥梁，为使地震易损性分析结果符合该地区实际[21]，在综合考虑地震动强度、地震动记录完整性、设计地震反应谱等因素[22]的基础上，从“5·12”汶川地震的46个地震台站中选取100组实测地震动[23]作为激励，构建本文地震动样本库，该样本库的详细信息参见文献[22]。图4为所选地震动的加速度反应谱。由图4可以看出，所选地震动的频谱特性与该桥场地反应谱特征周期基本一致。

图4 汶川地震动加速度反应谱

2.4 结构参数不确定性

基于既有结构在参数不确定性方面的研究成果[24]，在考虑铁路刚构-连续组合桥梁结构特点的基础上，本文考虑不确定性的结构参数取值见表2。表2中，P1和P2为与分布类型相关的参数，当分布类型不同时，P1和P2含义不同，具体可参考文献[25]。

表2 结构参数分布类型及分布特征值

2.5 KDE结构地震易损性对比验证

根据既有桥梁实际震害统计资料[26]和理论分析[25]可知，本文桥梁容易发生损伤的位置主要有：1号墩和4号墩墩底截面、2号墩和3号墩的墩顶和墩底截面以及0号台、1号墩和4号墩墩顶支座。基于四种地震易损性分析方法(PSDA、MLE、MCS[1]、KDE)，分别构建上述桥梁构件的地震易损性曲线。采用IDA进行构件地震易损性分析过程中，PGA调幅范围为0.1g～1.0g，增量为0.1g，100条地震动记录调幅后共获得1 000条随机地震波样本；同时为考虑结构参数的不确定性，采用拉丁超立方抽样构建1 000个桥梁FEM模型样本，各桥梁样本的结构参数按表2所示分布类型随机生成；将1 000条地震动与1 000个桥梁模型样本随机配对后，进行非线性时程分析。

本文分别将曲率延性比和相对位移延性比作为桥墩和支座的地震损伤指标[27]，进行结构地震易损性分析，各构件纵向易损性量化指标见表3，其横向量化指标可参考文献[25]，不再列出。

本文在采用MCS法[5，12，16]时，进行了大量计算，获得了充分的样本。因此，在下文的对比分析中，将MCS所得结果作为真实结果。

表3 桥梁构件损伤指标

2.5.1 桥墩截面对比分析

以PGA为地震动强度指标，结构地震易损性的损伤程度包括轻微、中等、严重和完全破坏四种状态，对比四种方法分析结果，同一截面共得到16条易损性曲线，若均绘于同一图中，将不易分辨，本文分别将轻微和严重损伤的易损性曲线绘于同一图中，中等和完全破坏的易损性曲线绘于另一图中，图5为2号墩底和墩顶截面、4号墩底截面的纵向地震易损性曲线。

图5 2号墩底、墩顶和4号墩底截面纵向地震易损性曲线

由图5(a)和图5(b)可知，四种方法所得的2号墩底截面易损性曲线存在差异。各损伤状态下，KDE和MCS两种非参数方法所得易损性曲线规律一致，相同PGA对应的损伤概率也较接近，即四种曲线中，KDE易损性曲线与MCS易损性曲线更接近。四种损伤状态下，MLE易损性曲线低于KDE和MCS易损性曲线，即低估了2号墩底截面的损伤概率；而PSDA易损性曲线则高于MCS结果，即高估了2号墩底截面的损伤概率。另外PSDA结果明显高于其他三种方法的结果。

由图5(c)～图5(f)可知，采用KDE和MCS法时，2号墩顶和4号墩底截面易损程度几乎相同，而基于MLE和PSDA法的易损概率存在较大偏差。MLE结果更接近非参数估计结果，当aPGA>0.5g时，MLE所得损伤概率略低于非参数法得到的损伤概率。PSDA法估计获得的桥梁易损伤程度大于非参数KDE和MCS法，即PSDA方法所得2号墩顶和4号墩底截面易损程度偏高。

2.5.2 支座对比分析

与桥墩对比分析过程相同，将纵向地震动作用下四种方法的分析结果绘于同一图中以便对比，0号台和1号墩顶支座地震易损性曲线如图6所示。由图6可知，由两种非参数法所得0号台和1号墩顶支座的地震易损性曲线较为一致，而两种参数估计法所得结果具有一定差异，MLE法与非参数方法估计轻微和中等损伤概率基本一致，严重损伤和完全破坏差异较大；而PSDA法仅能较准确估计中等损伤概率，其他三种损伤状态时，PSDA法与其他三种方法的结果存在较大差异。

图6 0号台和1号墩顶支座纵向地震易损性曲线汇总图

上文仅讨论了纵向地震易损性的对比情况，在横向地震作用下，桥梁构件易损计算结果规律与之相同，不再赘述。

在纵、横向地震动激励下，由PSDA和MLE两种参数估计方法所得桥梁构件地震易损性结果均存在偏差，其原因为：

(1)PSDA和MLE方法均基于前述假定，由上文所述可知，不同桥梁构件的损伤概率并非完全满足该假定[4，9-10]，特别是高阶模态参与较明显的刚构墩。

(2)易损性函数的参数估计过程中采用的算法亦可导致最终结果出现不同程度偏差，如PSDA方法采用线性需求模型进行参数估计[1-4]。

(3)地震动强度的变化会引起线性回归参数随之变化，而地震易损性分析过程则假定线性回归参数不变。但从总体结果进行分析，MLE法优于PSDA法。

综上所述，本文所提非参数化的KDE地震易损性分析方法与基于概率统计的MCS方法所得地震易损性结果基本相同，验证了KDE方法的正确性。

2.6 KDE方法计算结构地震易损性的可靠性验证

本节以0号台支座为例，基于2.4节所述基本流程，采用KDE和MCS方法得到桥梁构件地震易损结果的中位数及95%置信水平变化规律曲线，如图7所示，图中虚线表示置信区间。由图7可知，两种方法计算获得的地震易损性中位数曲线基本一致。另外，两种方法所得中位数、地震易损性曲线的置信区间宽度及置信区间变化规律基本相同，从而验证了KDE方法用于桥梁地震易损性分析的可行性和可靠性。

图7 0号台支座易损性中位数曲线及其置信区间

由2.5节、2.6节的对比分析和可靠性验证可知，本文所提桥梁结构地震易损性的KDE估计，在计算精度上与MCS所得结果一致，但计算效率远高于MCS法。

用本文所提KDE方法计算图2所示铁路桥梁各地震损伤危险截面在纵、横向地震作用下的易损性曲线，如图8、图9所示。

图8 各危险构件纵向地震易损性曲线

图9 各危险构件横向地震易损性曲线

由图8可知，在纵向地震作用下，4号墩支座最易损伤，其次为0号台支座。四种损伤状态下，4号墩支座和0号台支座的损伤概率均远高于其他构件。所有危险构件中，1号墩底的损伤概率最低。

设防烈度9度时，各墩底截面发生轻微、中等和严重损伤的概率分别小于30%、25%和3%，而完全破坏的概率几乎为0；各刚构墩顶截面出现轻微和中等损伤的概率均小于15%和8%，严重和完全损伤的概率几乎为0；即9度设防时，桥墩各构件具有良好的纵向抗震性能。

9度设防时，各支座轻微损伤、中等损伤概率分别大于75%和30%，严重损伤、完全破坏的概率则分别低于22%和5%，即设防烈度下，各支座构件易发生轻微和中等损伤，但严重损伤和完全破坏的概率依然较低，这表明该桥不会因支座相对位移过大而发生落梁震害。

由图9可知，横向地震作用下，0号台支座出现轻微损伤和中等损伤的概率最大，4号墩支座最易出现严重损伤和完全破坏，而1号墩底截面最不易出现地震损伤。

9度设防时，各墩底截面发生轻微、中等和严重损伤的概率分别低于20%、13%和2%，完全破坏的概率几乎为0，即设防烈度下，各桥墩构件的横向抗震能力良好。设防烈度(9度)下，各支座构件轻微、中等和严重损伤的概率分别低于50%、20%和5%，且几乎不会出现完全破坏的情况，即9度设防时，各支座易出现轻微损伤，但中等及以上损伤的概率较低，这表明支座的横向抗震性能良好。

在相同强度横向地震作用下，各支座损伤概率明显小于纵向地震的损伤概率，这是因为支座纵向设计水平力、横向设计水平力分别为竖向设计承载力的5%和15%，即与纵向水平承载力相比，其横向水平承载力更大，进而使得横向地震位移较小，易损程度较低；而桥墩承受的横向水平荷载比支座处增加，其横向地震损伤概率增大(如1号墩、4号墩)。

2.7 各危险部位易损性对比分析

采用超越概率地震动强度指标中位数描述各构件易损性[4，9]，比较各构件易损性的具体情况，某损伤状态下地震动强度的中位数越小，构件越易出现地震损伤。本文各构件的PGA中位数如图10所示。

图10 各危险构件PGA中位数柱状图

由图10(a)可知，纵向地震作用下，1号墩底、4号墩底、3号墩顶、2号墩顶4个部位的轻微损伤和中等损伤的易损排序与严重损伤和完全破坏的排序存在较大差异。分析认为，该桥墩高相差较大，各墩几何尺寸、配筋和混凝土强度等级不同，属于典型的非规则结构体系，这使得各墩的抗震性能出现差异，不同损伤状态表现出不同的易损顺序。因此，实际桥梁工程中，应重视非规则桥梁的抗震设计。

由图10(b)可知，横向地震作用时，4号墩和0号台支座最易出现损伤，但1号墩支座的易损排序与纵向地震易损排序差异较大。由2.1节中的支座型号和布置情况可知，1号墩顶支座横向抗震设防能力大于4号墩和0号台支座，其对应损伤指标自然大于4号和0号支座。另外，4号墩和0号台为主梁提供端部支撑，而1号墩则为主梁提供中间连续支撑，从抗震需求上也需较大的横向抗震能力。