从两个乘法公式的教学浅析学生运算素养的培养

□余志渊 张晓斌

（重庆市第一中学校，重庆 400030；重庆市教育科学研究院，重庆 400015）

一、问题的提出

小学数学计算主要涉及数的运算，从认识上比较单一具体，进入初中，用字母表示数，大量的数学符号出现，学生感到数学突然变得难以捉摸，难以理解，在小学认为很简单的运算在初中反而变得很难；另一方面，教师在教学过程中也感觉到，不管自己怎样细致地讲解，耐心地指导，学生在计算上仍然存在很大问题.所以，在日常教学中怎样培养和提高学生的计算能力，是我们不得不考虑的问题.下面通过具体的教学案例，谈谈我们在培养和提高学生数学运算素养方面的一些做法.

二、学生运算错误原因分析

搞清楚学生在运算方面存在的问题，是培养和提高学生运算能力的前提.通过对学生的习题错误进行分析，主要有以下几种因素导致学生运算错误率较高，运算素养不高.

（一）缺乏对公式的正确认识

我们先来看学生常见的一些错误案例.

此错误的原因是对平方差公式的结构认识表面化，认为就是用第一项的平方减去第二项的平方，没有真正认识到是用相同的项的平方减去相反的项的平方.

此错误的原因是没有搞清楚平方差公式适用的条件.

此错误的原因是受“积的乘方”公式影响，在定式思维影响下，想当然地造出这个错误公式.在平时的教学中这种错误出现次数很多，学生要经过多次讲解、强调，反复练习，才能逐渐消除.

此错误的原因是受定式思维的影响，因为在平时的教学中，我们非常强调负号参与运算时要注意结果的符号问题，这里学生受这种思维的影响，自然刻意地去想结果也应是负号.

此错误的原因是没有认清公式结构，认为左边各项系数都是数学1，右边各项系数也不会有其他数字出现.

以上错误充分说明学生对基本概念、公式、法则的认识是非常模糊的，试想学生连公式的基本结构、公式适用的基本条件都没有搞清楚，错误自然难以避免.

（二）缺乏对数学思想方法的认识

进入七年级的学生，对数学思想方法的认识很薄弱，基本上不知道有数学思想方法这一概念，由于不具备基本数学思想方法作指导，学生在处理一些题目时往往无从下手，即使听教师讲解也难于理解，难以转化成自己的解题经验.下面通过几个具体的案例来说明.

此错误的原因是缺乏整体思想，没有分别将3x，2y看作是一个整体.

此题学生往往难于下手，最后只有用多项式乘法法则进行运算，但较为烦琐，利用整体思想，将式子重新组合为[-b+(2a-3c)][-b-(2a-3c)]，再利用平方差公式，运算就非常简便了.

此题学生往往不会将(2a+b)，(a-2b)分别看作一个整体，再利用完全平方公式得到[(2a+b)-(a-2b)]2，从而简化运算，而是直接利用乘法公式和乘法法则进行运算.

以上题目，因为学生没有利用有效的方法将计算简化，以致运算量过大，导致错误率上升.

（三）缺乏较好的运算习惯

通过对学生运算过程的观察，发现学生在运算习惯上存在一定问题.

首先，没有认真审题的习惯，许多学生一拿到题就开始算，没有认真观察算式的结构，找出简便的算法，这样往往使运算量增大，导致错误率上升.

第二，在做题过程中没有对易错点进行短暂停顿、进行查误的习惯，只是一味地继续往下面算，往往因为一个环节的错误导致整个题目的错误.

（四）缺乏良好的心理因素

学生数学运算素养与学生的心理因素有一定关系，学生心理所呈现的这些特征，往往是有意识的.有时虽然教师指出其错误答案，但不知道自己错误的真正原因.

第一，定式思维中的消极因素往往影响学生对概念、公式、法则的正确认识，从而导致运算在数学本源上的错误.

第二，缺乏自我评价意识，只要找到一种算法就一直死算下去，而不再考虑算法是否合理、简捷，往往因运算量大而使错误率提高.

第三，受记忆还原影响，当学生对新的知识掌握不扎实，就容易被原来相近的知识所取代，从而造成新旧知识的混淆，对基础知识的认识模糊，导致运算的错误.

三、培养和提高学生数学运算素养的教学思考

（一）加强对基本概念、公式、法则的教学

培养学生运算素养的首要前提是让学生准确掌握数学概念、公式、法则.这些概念、公式、法则有的是运算的依据，有的是运算的步骤，综合起来就是运算的行为准则.我们在教学时，应该注重公式的推导过程，注重从不同的角度验证公式，总结出公式的适用条件，分析公式的结构特点，利用正反例加深对概念、公式的认识，多角度、多侧面地让学生认识公式.

（二）科学有序地组织学生对公式进行应用

我国心理学家冯忠良教授认为，一般心智技能的形成分为三个阶段，即活动模式定向阶段、活动模式操作阶段、活动模式内化阶段［1］.运算技能的训练与之对应的三个阶段是：（1）模仿练习阶段：在例题示范下进行练习，所选习题难度不大，变化不大，要求学生直接套用公式，保证结果的正确性；（2）变式练习阶段：在学生初步掌握知识和技能的基础上组织练习，习题难度适当提高，要求学生在求得正确答案后，对运算的过程、依据、方法进行总结与概括，促使操作方式上升到理性水平；（3）综合练习阶段：此时可选择具有一定难度的综合题，训练学生确定运算方向，灵活运用运算法则的能力［2］.

教学实例：“平方差公式”的应用，即例题、习题设计.

通过对“平方差公式”基本结构部分的教学，学生对公式有了一定的认识，接着通过例题和巩固、变式等练习加深对公式的认识.

此例题是对公式的直接应用，起到再次熟悉公式的目的.

例2简便计算79×81.

此例题是训练学生思维的灵活性，学生在习惯字母运算的同时，通过这个例题让学生的思维在字母和数字之间灵活转换.

变式练习1：计算1002-992+982-972+…+22-12.

以上例题都是对平方差公式的综合（正向和逆向）应用，在难度上逐渐提高，通过例题讲解和变式练习，让学生了解并熟悉这些题目结构，并逐渐掌握解决这些题目的思路和方法.

（三）切实做到练习中的两个重视

第一，重视练习效果的及时反馈.心理学研究表明，如果对正在进行技能训练的学生及时提供训练结果的反馈信息，如每次练习的得分，练习过程中不断给予鼓励，分析练习中出现的错误等，练习效果就会显著提高［3］.因此，在平时的教学中，要及时批改学生作业；及时讲评学生作业中出现错误较多的题目；多与学生交流，了解他们在做题过程中的真实想法，并给予评价和指导.

第二，重视学生练习的自我纠错.建构主义学说认为，数学学习活动是一个以学生已有的知识和经验（已有的认知结构）为基础的主动建构过程［4］.因此，让学生经历自我发现错误并且自我改正错误的过程，是提高运算能力的必要措施.在平时教学过程中，多让学生上讲台板书解题过程，引导学生发现解题过程中的得与失；严格落实学生的改错过程，采取有效办法帮助学生纠正错误.

（四）使学生养成对知识进行总结的习惯

在平时的教学过程中，发现学生普遍缺乏对所学知识进行总结的习惯.在运算上经常出现同样错误反复出错的现象；对一些较难题的解答也不稳定，前面刚做过，后面遇到又不知道该怎么算了.因此，引导学生将所学知识进行总结、归纳、反思，是培养和提高学生运算能力的重要方法.

教学实例：“完全平方公式”的复习总结教学.

（1）对公式结构的总结与观察：

学生在直接用完全平方公式时，若首项系数为负数时容易出错，引导学生认真观察分析发现：两项同号时就用“和”的公式，两项异号时就用“差”的公式.

（2）对公式推广的总结：将两项和的平方变成三项和的平方，即

学生知道这个公式，在解决如(2a-b+3c)2这类题目时就比较容易了.

（3）与其他公式综合运用的总结：如计算(a+b-c)(a-b+c)；(x-y)2(x+y)2.

（4）将a+b，a-b，a2+b2，ab看作整体进行运算的总结：如已知(x+y)2=9，(x-y)2=5，求xy的值.

将公式整理为 (a±b)2=a2+b2±2ab，(a+b)2-(a-b)2=4ab，根据已知条件选用不同的公式，就很容易求出答案了.

（5）逆向运用公式的总结：如计算(2a+b)2-2(2a+b)(a-2b)+(a-2b)2.

（6）配成完全平方式的总结：如已知x2+y2-2x+4y+5=0，求x，y；又如若x2+16x+k是完全平方式，求k的值.

在对知识进行总结时，要将知识和平时的练习相结合，这样才能使学生对知识的理解更具体，更深刻.

四、结论和反思

以上探究，经过日常教学实践，取得较好效果，特别是中等水平学生进步明显，这部分学生数学运算水平有较大提高，并逐渐养成良好的运算习惯，运算信心得到提升.但是因为数学运算具有系统性特点，对于运算知识掌握不系统、不熟练的中下水平学生，会因为以前运算方面存在的问题而影响现在的运算正确率.

学生在数学运算能力方面的不同表现，反映了学生不同的数学水平，学生在数学水平上的差异，给我们的教学带来一定的困难，因此在注重以上提出的方法之外，对不同运算水平的学生给予不同的要求，经常鼓励学生，耐心等待学生的成长，学生的数学运算素养必定会越来越好 .