从求解过程看高考解答题中压轴题的求解策略

☉浙江省杭州市余杭区教育局教研室 曹凤山

高考数学试卷中的“压轴题”一般是指试卷中体现难度、保证区分度、重在素养考查的试题，是一份试卷中的“重头戏”，在各类题型中基本上都处于后两题的位置，往往凝结了命题专家的大量心血.这些试题在考查基础知识、基本技能的同时，重在考查知识的融会贯通，考查对数学思想方法的理解和领悟，考查数学核心素养.在压轴题上多得分，在选拔性考试中的重要性不言而喻.

本文通过“解剖麻雀”，从一道高考真题的求解过程中，反思、归纳解答题中压轴题的一些求解策略.供参考.

题目（2018年全国高考数学卷Ⅲ第21题）已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）-2x.

（1）若a=0，证明：当-1＜x＜0时，f（x）＜0；当x＞0时，f（x）＞0.

（2）若x=0是f（x）的极大值点，求a.

首先看第一问的求解.

思路1：若a=0，则f（x）=（2+x）ln（1+x）-2x，求导得，不能直接求零点、判定符号，所以再次求导，得f″（x）=，在（-1，0）上，f″（x）＜0，f′（x）单调递减.而f′（0）=0，所以f′（x）＞0，函数y=f（x）单调递增.又f（0）=0，故f（x）＜f（0）=0；同理在（0，+∞）上，f（x）＞0.

解题过程中证明了：当x∈（-1，0）时，ln（1+x）≥，这个关系式看起来有点陌生，实际上，用x代换1+x，得到，x再代换为，有，即lnx≤x-1，所以≤lnx≤x-1，是不是很熟悉的形式？

思路2：发现思路1中两次求导，较烦琐.能不能避免两次求导，如何避免？

两次求导的根源在哪里？如果出现h（x）=f（x）lnx+g（x）的形式，求导以后势必还会包含对数函数lnx的形式，下面求零点、判定符号就不方便，只有对数函数lnx“单独行动”，求导以后才能得到代数形式，需要把对数函数与其他形式“分离”.如（2+x）g（x），根据已知条件，2+x＞0，研究函数y=f（x）的符号等价于研究函数y=g（x）的符号变化，即证明：当-1＜x＜0时，g（x）＜0；当x＞0时，g（x）＞0.

通过形式转化，步骤减少、运算量减少、难度降低，问题的求解更具一般性，体现了数学求解的本质特点：转化与化归.

再看第二问的求解.

思路1：仿第一问解答.f′（x）=（1+2ax）ln（1+x）将x=0代入发现是个恒等式，一无所获.

思路2：如果第二问是建立在上述第一问思路2的基础上，第二步应该有以下变形，f（x）=（2+x+ax2）·，但是，与第一问不同的是，第一问是具体函数f（x）=（2+x）ln（1+x）-2x的函数值符号判断，由于2+x符号确定，问题转化为函数g（x）=ln（1+x）-的函数值符号判断.而f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）-2x的极大值点与有什么关系？明显不似第一问那样简单.这里，简单的形式变换不能解决问题.

回到给出的问题：x=0是f（x）的极大值点，根据极大值点的概念，在x=0的左侧存在一个区间（-δ，0］（δ＞0），函数单调递增（f′（x）≥0）；在x=0的右侧存在一个区间［0，δ）（δ＞0），函数单调递减（f′（x）≤0）.由于f′（x）=（1+令，则m′（x）=，注意到f′（0）=0，又对于很小的δ＞0，在（-δ，+δ）上1+2ax＞0，所以x∈（-δ，0）时，m′（x）≥0，即4a2x2+（6a2+7a）x+6a+1≤0，故6a+1≤0.

同理，由x∈（0，δ）时，m′（x）≤0得到6a+1≥0，因而

思路3：上述思路2虽然可以求解，但也是千转百回.能不能再简化求解？由第一问的求解过程，或者直接观察关系式，有f（0）=0.这是一个显然的条件，显然在于关系式可以直接看出，显然还在于第一问的求解一定会涉及.

若x=0是极大值点，且f（0）=0，则在x=0的左、右一定存在一个区间满足f（x）＜0.

下面是否要对a分类讨论呢？

从第一问的证明，若a=0，x=0显然不是其极大值点.

a＞0时是否满足题意？

观察函数的结构，再由第一问结果可以发现，f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）-2x＞（2+x）ln（1+x）-2x，x=0显然不是其极大值点，不符合题意，只要考虑a＜0的情形.

充分利用试题的条件，直接给出的或者从关系式结构、数据等可以看出的，或者前面已经证明、解出的，都可以极大地优化问题求解过程.

启示：刷百题不如解透一题.通过本题的求解，对于高考数学压轴题，我们应该有更多的启发与感悟.

（1）即使是压轴题，也是以基础知识、核心知识的考查为载体.本题考查函数的单调性、极值、极值点等概念，考查了导数中重要的关系，体现了导数在研究函数性质中的工具作用，都是中学数学的重要内容，如果对极大值点概念不清楚、求导运算不熟练，不能从数、形两个角度去理解，就不可能顺利求解.越是大型、敏感、重要的考试，考试内容越是中规中矩，不会超纲、越线，扎实基础是数学学习永恒的核心.

（2）即使是压轴题，通性通法肯定是可行的，重点在思维.问题的求解在通性通法，当然，通性通法的应用不可能都是课本上的直接应用水平，需要通过逻辑思维，剥去一些形式的外衣，对条件、待求、待证的形式、认识角度能进行转换.观察、联想是基础，转化与化归是重要的思考方向，理性的分析、选择是数学学科培养目标之一，是科学育人的重要体现，作为压轴题，思维份量占较大比重，从而实现高考“多想少算”的考查目的，从以上不同的解题思路与相应的运算量可以深有体会.

（3）注意题型结构.解答题大多是分步设问（形式），更重要的是分层设问（难度），螺旋递进，其中，既有增加考查知识覆盖面、体现人文关怀的考虑，也有步步登高、实现区分度与难度的目的.第一步门槛不是很高，要有信心争取自己能力范围内的分数，不能因为是压轴题就谈题色变.解题过程中充分注意第一步的解法、结论对后续求解的辅助、提示、启发，第一问的结果往往是第二问的基础，要站在前一步的台阶上继续攀高而不是每一问都另起炉灶.还要关注，题意的理解往往不是一蹴而就，是一个渐进的过程，随着第一步的求解，对问题的条件与待求会有更深、更全面的认识.本题中第一问对于第二问既启示方法（对数与其他函数分离），又暗示结果，如x=0时，f（x）=0；a=0时，x=0不是极（大）值点等.解答题就是解答题，不能割裂前后之间的联系.

（4）解题模式的积累与灵活应用.本题中出现的形如h（x）=f（x）lnx+g（x）的函数求导问题，平时的学习中肯定是遇到过的，这种形式与解法组合的“模块”平时要注意积累，一旦识别出这种模式，求解就得心应手，毕竟在高考考场限定时间内不可能都创新，模式识别与应用就显得尤为重要.再如本题中含有参数，分类讨论也是最常见的模式，这个模式中不仅要有如何分类讨论，还要有避免讨论的策略，尽量完善形式与内涵.

（5）做给出的题，这对每一道题都是至关重要的.把握问题的共性是基础，理解问题的个性是根本.忽视或者不能有效利用给出的题目的题型、结构、数据、待求与待证等都是解题的大忌.如本题中x=0是极大值点，第二问表面是极值，由于给出的函数的特点（f（0）=0），实际上还是符号问题，第二问与第一问形异质同，第二步求解的方法、思路得以转变.理解题意，做给出的题是解题的根本.