例谈如何克服和消除思维盲区

王伟琴

[摘 要]反例是用来推翻某个命题或者结论的最简洁有力的途径，反例一出，一个不合理的结论就会不攻自破。反例可为数学教学服务，反例的特殊性和证明力可以一针见血地指出学生认知中的不合理成分，帮助学生构建概念、突破难点、汲取有益经验。

[关键词]反例;认知;回归

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2019）26-0037-02

反例是指符合某个定义的题设但是却得出相反的结论，从而推翻原结论的例子，因其揭露结论的前后矛盾，直观简洁，所以具有很强的说服力。因此，举反例来否定某结论的做法在小学数学教学中很盛行，且作用巨大。只要施策恰当、时机合适，巧妙运用反例能有效帮助学生理解知识、突破难点、辨析正误、灵活思考，使学习效率事半功倍。

一、建构概念时引用反例，堵住漏洞

深刻理解概念是学好知识的前提和基本保障，然而小学生的直观思维功能发达，抽象的数学概念难以进入学生的思维神经中枢。在学习过程中，学生对概念的理解往往很片面，因此在实际运用中屡屡出错。而典型、鲜明、直观的反例，却能给学生朦胧的认知带来强烈的刺激。引导学生比较、辨析反例与结论的异同，重新审视概念，界定概念的外延，可让学生对所学概念有较为精准到位的把握。

例如，在教学“平行线”概念时，概念中的定语“在同一平面”“永不相交”是并列存在的必要条件。为了帮助学生准确到位地掌握概念，不妨举两个缺失必要条件的反例：第一个反例是，上下分离交叉的立交桥缺失“同一平面”这一条件;第二个反例是，两条线在有限距离不相交，但是延伸后相交于一点。通过这两个反例，学生对平行线概念的把握更精确深刻，明白只有同时满足“在同一平面、永不相交”这两点，平行线的概念才能成立。可见，当学生对内涵丰富的概念的认识有局限时，可以通过反例来凸显构成概念的必备要素，从而让学生注意到概念的本质属性，更深刻、全面地构建概念。

数学概念的定义是非常精练简洁的，短短的一句话蕴含着多个限制条件和丰富内涵。学生在学习概念时，感知笼统，这样一旦遇到迷惑性很高的相似概念，就会容易混淆，甚至产生认知混乱，这时推出反例恰好可以引起学生对概念中各个限制条件的注意。

二、突破难点时引用反例，不攻自破

突破教学难点是一节课的重头戏。运用反例来攻破难点，可以对错误认知起到釜底抽薪的作用。小学生的思维方式还处于形象向抽象转化的阶段，看问题有很大的局限性。在学生似懂非懂时，运用反例，可让学生在正反对比中豁然开朗，迅速洞明真相。

譬如，“乘法分配律”（a+b）c=ac+bc是教学的重难点之一。学生很容易想当然地写成：（a+b）[×]c=a[×]c+c，（a+b）[×]c=a[×]c+b，a[×]c+b[×]c=（a+c）[×]b等。为了突破这个难点，不妨设计以下反例，让学生先判断正误，然后集中更正。

①（15+33）[×]2=15[×]2+33

②（25+11）[×]4=25[×]4+11

③5[×]16+14[×]16=（16+14）[×]5

学生往往会因为对“乘法分配律”不同程度的错误理解而做出误判。这时，教师不要急着指正，而是将检验的机会留给学生。对比数值后学生开始发现错误，产生追根究底的强烈动机，迫切想查出问题所在。在这个纠错的过程中，学生自然会通过对比辨析运算律的正确运用。3个反例暴露了3个方面的典型错误，学生通过对这3个错误的清醒认识，堵住了分配律运用的3个常见漏洞。巧用反例，引发学生的认知冲突，促使学生积极反思、反省、自查、自纠，正确运用乘法分配律。

数学概念和规律很多都是通过公式呈现的，但是公式的结构会随着代数的变形而千变万化，这时学生很难准确识别哪个变式是正确的，哪个变式是错误的。实践是检验真理的唯一标准，反例就是实践过程中的一块试金石。

三、判断命题破定式时引入反例，汲取经验

相似度和关联度极高的命题，非常容易引起学生思维混乱，其原因主要是对旧概念的刻板印象影响了对新概念的接收。此时，可以通过反例重现被学生忽略的本质属性，让学生自觉摒除错误认知，辨清相似概念的异同，从另一个角度切入，自觉与前一个概念区别开来，补齐正面教学的短板。

如教学完分数乘法的运算意义和算法后，对因数与积之间的大小关系，拟一道判断题“一个数乘分数，积一定比原数大”。该题考查学生对原数的特殊性和分数的意义的认知情况。学生一般会忽视原数是非0数，分数分为小于1和大于1这两种情况，加上分数有真分数和假分数之别，而假分数里面又要分类讨论，是大于1还是等于1都需要做出精细划分。此时举个反例，将所有的可能情况囊括进去，引导学生层层分析，归纳出“原数不同、分数不同的情况下，结果也不同”，让学生记忆犹新。

不难发现，课本一般只会出示正例。因此，学生往往只会根据表面特征套公式，或沿用惯例。学生在长期的正例的“麻痹”下，无视公式成立的前提条件或适用范围，从而轻率武断地用老公式去解决背景和形式已经改变的新问题，导致解题错误。因此，在思维定式成型前，用反例来矫正，或者直接就地取材，采用学生因思维定式而生成的反例，能使学生吃一堑长一智，牢牢记住数学本质。例如，在教学百分数应用题后，出示练习题：甲乙两人骑电瓶车从A、B两镇相向而行，甲骑车需要3小时到达B镇，乙骑车需要4小时到达A镇。甲的车速比乙的车速快几分之几？学生在思维定式的作用下，容易得出（4-3）[÷]4的错解。教师可引导学生辨析：“錯在哪里？为什么会出错？”学生经过合作探究，交流意见，得出错误的根源在于将题目告知的行车时间当作所求的速度比。学生在找错、论错、认错、改错的过程中，明确错误的来源，汲取了有益的经验。这样才能形成防错机制，更有利于学生牢固掌握知识，培养学生思维的深刻性。

一个概念或者命题的推出往往与学生所学的知识范围相适应，但是随着知识的延伸和拓展，前概念开始显现其滞后性，但课本为了强化学生对前概念的认知，往往会出示大量经典的正例来佐证，这时，学生就会形成思维定式。因而，当新知识超过原概念的适用范围时，学生若仍按原路径思考，势必会出错。这时，举反例无疑是最好的方式。

在教学中，教师巧设经典反例，或随机引进一些反例，不仅会使课堂教学变得更有活力，而且能促进学生对抽象概念的深刻理解，清晰地认识数学本质，从而提高思辨力和创造力。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 丁华.巧用数学反例   凸显概念本质[J].小学教学参考，2015（32）：83.

[2] 张金花.小学数学教学中如何利用反例[J].江西教育，2016（27）：75.

（责编 罗 艳）