凸显量性特征整体建构概念

冯刚

[摘 要]角是一个抽象的概念，不仅包含角的“质性特征”，即角有一个顶点、两条边，还包含角的“量性特征”，即角的大小。在教学中采取动态引入、画图表征、动手实践、尝试计量和回归生活五个策略凸显角的“量性特征”，并与“质性特征”相整合，促进学生整体建构角的概念。

[关键词]角;量性特征;整体建构

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2019）26-0014-03

“角的初步认识”是角的概念教学的起始课，让学生理解概念本质并建立表象，进而在生活中灵活运用概念是教学的最终目标。教师教学用书指出：使学生联系生活中一些常见的物品，初步认识角，知道角的各部分名称，能正确地识别角;知道角是有大小的，能直观区分角的大小。显然，一是要理解角的概念的内涵——概念所反映的所有对象共同本质属性的总和，包括一个顶点、两条边等，即角的“质性特征”;二是要理解角概念的外延——概念所包含的一切对象的总和，包括锐角、直角、钝角等大小不同的角，简言之，角的大小，即角的“量性特征”。

美国教育心理学家奥苏伯尔说：“假如让我把全部教育心理学仅仅归结为一条原理的话，那么，我将一言以蔽之：影响学习的唯一最重要的因素，就是学生已经知道了什么。教师要探明这一点，并应据此进行教学。”教学应让学生走在教之前，经历“有所知到知所知”的过程。笔者曾对学生进行教学前测与后测，发现学生对角的概念的理解“重内涵，轻外延”，仅关注“质性特征”，忽视“量性特征”对角的概念的补充作用，故而学生头脑中的角的概念是不完整的，所形成的表象是单一且有所欠缺的。

笔者参阅了现有的许多教学设计和期刊文献，从中找到了问题的根源。很多教师在教学的前半段探究“角有一个顶点两条边”的“质性特征”，后半段探究“角的大小”这一“量性特征”，人为地将“质性特征”与“量性特征”割裂，因此学生未能在“量性特征”与“质性特征”间建立联系，未能将“量性特征”纳入到已有的角的概念中，因此理解的角的概念不够充实，头脑中难以建立完整的角的表象。

基于此，笔者改变“质性特征”和“量性特征”割裂教学的现状，尝试将两者整合在一起进行教学。正如郑毓信教授所言“数学知识的教学，不应求全，而应求联”，要有意识地将角的“量性特征”渗透至“质性特征”教学过程中，并侧重对角“量性特征”的研究，引导学生经历初悟——感知——体验——理解——运用的过程，由浅入深、循序渐进地研究角的“量性特征”，并与“质性特征”融合，充分建立角的表象，实现角的概念的整体性建构。

一、动态引入，初悟角的“量性特征”

皮亚杰的认知发展阶段理论告诉我们，二年级的学生正处于具体运算阶段，他们形成概念必须与所熟悉的物体或场景相联系。因此，教师可以选取生活中的事物和现象作为概念教学的感性材料并进行生活化、具体化的处理，从而唤醒学生的生活体验，促进学生对概念的理解。

对苏教版、人教版等多个版本教科书进行比较时发现，钟面、剪刀和三角尺是使用频率最高的角的原型素材，这与角的两种定义不无关系。从一点引出的两条射线所组成的图形叫作角，角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形，前者是角静态化的定义，后者是角动态化的定义。钟面和剪刀表面的角蕴含“动态角”，利于学生感受角的“量性特征”，初步渗透动态角的概念。三角尺表面的角蕴含了“静态角”，可以帮助学生建构静态角的概念。

教师应充分运用剪刀和钟面这样的“动态角”原型，引导学生追根溯源，从为何会有角开始思考，通过动态的剪刀及钟面经历角的产生过程，从运动的角度揭示角的概念，初悟角的“量性特征”。同时，呈现三角尺这样的“静态角”原型，再次建构角的概念。两种原型相互作用，以“静”智“动”，促进学生思维的提升。

【教学片段1】

1.张开剪刀生成角

2.旋转指针产生角

二、画图表征，感知角的“量性特征”

二年级学生处于具体形象思维为主的阶段，因此采用图画的形式呈现角的概念，直观形象且易于感知和理解。但由于缺乏文字的描述，学生对概念的理解可能仅停留在表面，无法提升其思维能力。

教师应巧妙运用变式，帮助学生理解角的概念。学生脑海中所形成的大小不一的角是很好的变式资源，教师要善于发现和运用，引导学生借助动作、画图这样可视化的行为表征头脑中的角，外显头脑中角的表象，将概念本质与操作形式紧密地结合起来，以概念促技能达成，并以技能强化概念理解。教师可示范画角，并多次旋转角的一条边，引导学生动态感知角的“量性特征”。在比较众多变式中，学生不仅巩固了角的“质性特征”，而且感知了“量性特征”的重要作用，进而更好地理解概念。

【教学片段2】

师：闭上眼睛，想一个角，用手试着比画。

师：现在睁开眼睛，把你刚才想的角画下来。怎么画呢？先思考，再在学习单上画一画。

师：你是怎么画的？

生1：先画一个顶点，从顶点出发画一条边，再从顶点出发画另一条边。

师：这些图形都是角吗？为什么？

生2：都是角。因为都有一个顶点和两条边，而且边是直的。

师：那有什么不同的地方呢？

生3：它们大小不同，有的大，有的小。

师：看来，角是有大小的。

师：听了你们的介绍，老师也学会画角了。先画一个顶点，从顶点出发画一条边，再从顶点出发画另一条边。这么画行吗？这样呢？再转过去一点呢？有什么变化吗？

生4：都是角，只是角的大小在变化。

师：是的，无论角变得多大或多小，只要是由一个顶点和两条直直的边组成，它就是角。

三、动手實践，体验角的“量性特征”

有了前面的观察和思考，学生已初步感知角的“量性特征”。弗赖登塔尔说：“学数学的最好的方法是做数学，通过‘再创造获得的知识与能力要比以被动方式获得、理解得更好，也更容易保持。”创造机会让学生动手实践，由学生自己发现角的“量性特征”中的内在规律，这才是一种有意义的学习。

教师可呈现学生熟悉的“鳄鱼接球”游戏，引导学生在欣赏游戏的过程中产生猜想——角的大小与什么有关，再操作活动角验证猜想，最终总结出结论。经历提出猜想——操作验证——得出结论的过程后，学生动眼观察、动脑思考、动手操作、动口叙述，在多种感官的参与中主动获取数学知识，体验角的“量性特征”，建立概念表象，初步形成概念。

【教学片段3】

师：我们一起去看 “鳄鱼接球”游戏，边看边思考角在哪里，角的大小与什么有关。

师：请看鳄鱼第一次接球，再看第二次接球。为什么第一次只能接小球，第二次能接大球呢？

生1：鳄鱼嘴巴第一次张开得小，第二次张开得大。

师：角有什么变化呢？

生2：嘴巴张开得小，角就小，张开得大，角就大。

师：其实嘴巴就是角的两条边，谁能用数学语言说一说？

生3：角的两条边张开得小，角就小，张开得大，角就大。

师：看来我们得到了初步的猜想，角的大小与两边张开大小有关。接下来要对猜想进行验证。拿出做好的活动角，我们来玩个“变变变”的游戏。请把角变大一些，再大一些，把角变小一些，再小一些。回顾一下，你是怎样把角变大、变小的？

生4：把角的两边张开得大，角就大，张开得小，角就小。

师：说得真好！我们一边操作活动角，一边像他一样说一说。

四、尝试计量，理解角的“量性特征”

心理学研究表明，学生在学习新知之前，就已经具有一定的认知结构，并试图以这种原有认知结构来同化新知识，当已有的知识不能同化新的知识时，就会产生认知冲突。在学生的原有认知中，物体的长度可以借助直尺来计量，而角的大小却没有计量工具，故而产生认知冲突。尽管角的度量属于四年级教学内容，如若此时给学生一种计量工具，学生定豁然开朗，对角的“量性特征”产生更深入的认识。

教师应设法找寻量角器的雏形。分析教材中的第三道习题，发现钟面可以看成量角器的雏形。根据钟面上的大小格，学生可以借助两边之间大小格的数量描述角的两边张开的大小，借助量化的格子数，角的大小变得具体化、形象化。“量性特征”由抽象变直观后，学生更易于理解，进而对角的概念的建构更加完善。

【教学片段4】

师：这三个钟面的时针和分针所形成的角，哪个最大，哪个最小？为什么？

生1：①号角最大，③号角最小。因为①号角两边张开得最大，③号角两边张开得最小。

生2：①号角最大，③号角最小。因为①号角两边张开了25小格，③号角两边张开了9格。

师：说得真好！通过数两条边之间的格子数量，我们可以直观地看出角的大小。如果再给你几个角比比大小，你有什么好方法？

生3：把这些角放到钟面上，看看两条边之间有多少格就行了。

师：你是个善于发现的孩子！其实，到了四年级，我们会学习用专门的工具來测量角的大小，它就是量角器，上面也有很多的格子，和我们的钟面是不是很像？……

五、回归生活，运用“量性特征”

数学源于生活且用于生活，数学学习的最终目的是让学生在生活中用数学。史宁中教授指出，通过数学的学习，要让学生学会用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界。将角用于解决和解释生活中的实际问题，在概念的检验和运用中，学生对概念的理解自然更深入。

教师可引导学生在物体的表面找一找由一个顶点和两条边组成的角。但教学不应就此止步，这只是角的“质性特征”在生活中的体现与运用。教师应引导学生用数学的眼光去观察生活中应用角的“量性特征”的现象，用数学的思维去思考为何要运用角的“量性特征”，用数学的语言去表达这些现象是如何运用角的“量性特征”的，深化对概念的认识。

【教学片段5】

师：这是什么？（扇子）为什么我们在扇风时要将扇子打开到最大？你能用今天学习的知识解释吗？

生1：扇子打开到最大，就是角的两条边张开得最大，这时形成的角最大，所以风就最大。如果扇子打开得很小，这时形成的角很小，风就很小。

师：真是个会活学活用的孩子。看来扇子扇风正是运用了今天学习的角的大小知识。

师：还有哪些现象也运用了角的大小知识呢？

生2：为了舒适，躺椅会设置不同的倾斜程度。

生3：剪刀剪不同物品时张开的大小不同。

……

角的概念具有很强的抽象性和概括性，为学生今后进一步认识长方形、正方形等几何图形奠定了基础，故而全面深入理解角的概念显得尤为重要。在教学中，教师应合理整合角的“质性特征”和“量性特征”，并适当凸显后者，进而帮助学生整体建构角的概念，建立正确的角的表象，为后续学习做好铺垫。

（责编 金 铃）