苏教版和人教版教科书中圆的相关内容比较

黎阳

[摘 要]圆是小学阶段重要的平面曲线图形，苏教版和人教版教科书关于圆的内容的编排，都突出了数学与生活的联系性、渗透转化、极限等基本数学思想、注重动手操作学习方式的引导以及展现显性的数学文化等，但在画圆方法的多样性呈现、圆的面积公式推导方法、与正方形等图形的组合研究程度、周长和面积计算结果的呈现形式以及规律性内容探索的深度等方面不尽相同。

[关键词]苏教版;人教版;教科书;圆;比较

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2019）26-0003-03

圆是小学生认识的第一个也是唯一一個平面曲线图形，圆是平面图形的重要组成部分，与平面直线图形有着非常紧密的联系。“圆”这一部分内容是学生学习圆柱、圆锥的重要基础，也是很多教师执教公开课时喜欢选择的内容之一，因此，研究圆的相关内容有着非常重要的意义。

一、苏教版和人教版教科书中圆的相关内容的编排情况

苏教版和人教版教科书中关于圆的相关内容都是安排在第二学段，具体内容编排如下：

二、苏教版和人教版教科书中圆的相关内容编排的共同特点

1.突出数学与生活的联系性

数学课程标准强调内容的选择要贴近学生的生活实际，在总目标中也明确提出通过义务教育阶段的数学学习，学生要能体会数学与生活之间的联系，能够运用数学知识解决简单的实际问题。

对于“圆的认识”，两个版本教科书都是从现实生活中包含有圆的物体引入，让学生感受到圆在生活中的广泛存在性。如苏教版教科书从圆形钟面、自行车圈、橙子的横截面，以及奥运五环等物体或图形中引入圆，唤起学生对圆的认知;人教版教科书从水滴激起的涟漪、摩天轮、天坛和地坛这几种具有代表性的自然现象、游乐项目和著名建筑中引出圆，让学生感受到在生活中到处可以看到圆。

对于“圆的周长”，苏教版教科书分别安排了已知儿童游戏的铁环、树干的周长，求半径、直径的问题，以及知道圆形花圃的直径求周长的实际问题;人教版教科书也充分联系生活实际让学生去解决实际问题，比如待学生推导总结出圆的周长计算公式后，让他们解决和自行车相关的实际问题：给出自行车的半径，求出自行车轮子转1圈，大约可以走多远，以及学校离家1 km，骑车从家到学校自行车轮子大约转几圈，而后在练习中让学生求出古代建筑中的大红圆柱的直径，围一个圆形牛栏需要多少铁丝，以及一只挂钟的分针尖端所走过的路程，等等实际问题，让学生感受到数学与生活的紧密联系。

对于“圆的面积”，苏教版教科书编排了求圆形草垫与树干的横截面、光盘的面积等实际问题;人教版教科书分别安排了求圆形草坪、光盘、环岛（占地）的面积等。两个版本教科书都有意让学生体会圆的面积在生活中的广泛应用。

2.渗透转化、极限等基本数学思想

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在课程目标的总目标中明确指出：学生通过义务教育的数学学习，能够获得必需的数学基本思想。

（1）渗透转化的数学思想

转化是一种基本的数学思想，是指运用已有的知识经验，把复杂问题转化为简单问题，或者把未知问题转化为已知问题的一种思想，这种思想对于学生学习数学、解决数学问题有着非常重要的作用。例如，在圆的面积计算公式推导过程中，两个版本教科书都是呈现把圆等分为若干扇形后剪开，用这些近似于等腰三角形的扇形小纸片拼成一个近似的平行四边形，并且指出“分的份数越多，每一份就会越小，拼成的图形就会越近似于一个长方形”，再找出近似长方形的长、宽与圆的半径之间的关系，进而推导出圆的面积计算公式。这种转化的数学思想，有两个方面的指向，一是指向于图形形状的转化，把平面曲面图形转化为平面直线图形，沟通平面曲线图形与平面直线图形之间的联系，发展学生的空间观念;二是运用之前的多边形面积计算公式的推导方法，把旧有的经验进行迁移运用，提高学生应用知识的能力。

（2）渗透极限的数学思想

极限思想是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。平面曲线图形与平面直线图形在本质上是有区别的，但是运用极限思想，可以把有本质区别的两种图形进行转化，同时可以把精确和近似这一对立统一关系的两个结果进行相应的转化。在圆的面积公式推导过程中，把圆等分且随着等分的份数越多，每一小份就越近似于等腰三角形，用这样的若干个近似等腰三角形拼成的图形就越接近长方形，这样，两个版本教科书都在把曲线图形转化成平面直线图形的过程中渗透了极限思想。同时，两个版本教科书中都有关于我国魏晋时期数学家刘徽采用的“割圆术”这一数学史料的介绍，而刘徽的“割圆术”就是从圆的内接多边形算起，逐渐把边数加倍，随着边数的逐渐增加，无限次后，多边形就 “变成”了圆，这就是极限思想。

3.注重学生动手操作学习方式的引导

《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出，动手操作是学生有效的学习方式之一，“图形与几何”内容的学习更加需要动手操作。两个版本教科书在画圆、圆的周长与面积等内容上都凸显了动手操作的学习方式。

（1）通过动手操作认识、理解圆的相关概念。圆的各部分名称有圆心、半径、直径，两个版本教科书都编排了让学生先在纸上画圆，再把圆剪下来，而后通过折一折、画一画的动手操作实践活动，认识、理解圆的半径、直径和圆心的概念，理解同一圆内半径和直径之间的长度关系。在动手折的过程中理解圆是轴对称图形，且对称轴就是折痕，也就是直径所在的直线。在练习设置方面，两个版本教科书都编排了让学生用直尺测量没有圆心的圆的周长，这种实际测量技能在生活中有着实际的应用，这是学生永远不会忘记的操作技能。

（2）通过动手操作寻找周长和直径的倍比关系。数学教学注重学生的数学思考能力的培养，在平面直线图形的周长的学习中，学生很容易理解多边形的周长与多边形的边之间的关系，而圆的周长也与它的各部分要素有关系。两个版本教科书通过问题引导学生猜想圆的周长和直径之间有规律，而后分别呈现应用绳测法、滚动测法等测量圆的周长的动手操作活动，之后再带领学生跳出这个思维框框，继而发现圆的周长和直径之间的稳固关系。

（3）通过动手操作积累等积变形的经验。两个版本教科书都编排了让学生把一张圆形纸片若干等分后拼成一个近似长方形的内容，苏教版教科书为了进一步让学生好操作、真操作，在附页117页专门给学生提供了可操作的等分好的学具——圆形纸片，便于学生剪下来动手操作。两个版本教科书引导学生在动手操作的过程中推导出圆的面积计算公式，其实，更为重要的是为学生积累等积变形的操作经验，为学生后续学习圆柱的体积计算公式的推导积累活动经验。这种经验的获得是非常宝贵的，学生可能会忘记圓的面积是怎么计算的，但是不会忘记圆的面积公式的推导过程，这就是学生离开学校后还能留下来的东西。

4.展现显性的数学文化

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在教材编写建议中明确指出：数学文化作为教材的组成部分，应渗透在整套教材中。为此，教材可以适时地介绍数学知识的背景，包括数学在自然与社会中的应用以及数学发展史，帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，激发学生学习数学的兴趣，使学生能够感受数学家治学的严谨，欣赏数学的美。两个版本教科书在圆的相关内容中编排了显性的数学文化的材料，供学生阅读、学习和品鉴。苏教版教科书在圆的内容中共编排了两个“你知道吗”，分别介绍生活中的圆和圆周率的研究历史，让学生了解自然现象、人类的劳动成果和运动现象中存在的圆，深刻体会圆与生活的紧密联系，同时感受到数学家孜孜不倦的研究精神，激发对数学的热爱和研究的热情。人教版教科书编排了三个“你知道吗”，分别介绍了《周髀算经》和《九章算术》两大数学著作和我国著名数学家刘徽、祖冲之的伟大成就，重点解释了圆在生活中应用的原理，让学生在显性的数学文化中对数学的发展过程有所了解，体会数学在人类文明发展中的作用和价值。

三、苏教版和人教版教科书中圆的相关内容编排的不同点

1.画圆方法的多样性呈现略有差异

画圆是学生在学习圆的内容中应具备的一项操作技能——能根据不同的需要画任意大小的圆和指定大小的圆。学生在之前的生活学习中多多少少有过画圆的经历和经验，所以两个版本教科书都呈现了借助圆形物体进行画圆的方法，比如苏教版教科书呈现了借助圆形纸片画圆的操作图，人教版教科书呈现了借助圆形杯盖和三角尺上的圆画圆的场景;两个版本教科书都呈现了用圆规画指定大小的圆的操作图，但是，苏教版教科书还呈现了一幅借助图钉和细线画圆的操作场景图，这幅图蕴含的信息量非常大：一是“圆乃一中同长”的直观体现，动态展示了圆是平面中到一个定点距离为定值的所有点的集合的概念，尤其是苏教版教科书在第87页的“你知道吗”的滑冰运动中呈现的圆更是典型的运动点的集合;二是圆规画法的灵活化和可操作性，因为这幅图呈现的是实际操作性更强的无圆规的简易画圆法，这种画法解决了如在操场上要画一个大圆的实际问题。因此，在画圆方面，苏教版教科书呈现的信息量相比人教版教科书，更加丰富，更加贴近学生的生活，更有助于学生解决生活中的画圆问题。在学生的画圆技能初步形成之后，两个版本教科书都让学生运用圆规和直尺画出美丽的图案，如苏教版教科书在第91页专门编排了一个“动手做”栏目，让学生按照给出的步骤画一画、涂一涂;而人教版教科书则用了一个页面的内容绘学生展现更为详细的步骤，让学生学着画出美丽的图形，内容的编排和操作步骤比苏教版教科书更为细致，便于学生掌握画图步骤。

2.圆的面积计算公式推导方法有差异

苏教版教科书和人教版教科书在圆的面积计算方面编排的内容还是有明显差异的。学生在学习平行四边形、三角形等多边形面积计算公式时都是先采用数方格的方法，而后采用转化法推导出多边形面积的计算公式。苏教版教科书沿用了这样的编排方式，先采用数方格法数出圆的面积大约是圆的半径平方的3倍，这样和圆的周长计算公式的探究方法也保持了一致，而后在此基础上再引导学生采用等积变形的转化方法，总结出圆的面积计算公式。而人教版教科书只呈现等积变形这一种方法，在这个方面上，苏教版教科书的内容前后衔接性更强一些。

3.和正方形等图形的组合研究程度不同

两个版本教科书都编排了圆和正方形组合的相关内容，但是研究的程度不同，苏教版教科书编排了一些求圆和正方形等组合图形面积的习题，没有对其内在的关系进行探究;人教版教科书专门设计了一个研究圆与外切正方形、内接正方形之间的面积关系的例题，教科书从中国建筑中的圆和正方形实物引入，提出求两个图形之间部分的面积，而后引导学生经历“阅读与理解、分析与解答、回顾与反思”的全过程，从而理解圆与外切正方形、内接正方形相关的面积计算方法。对于人教版教科书呈现的这部分内容，还可以进一步延伸：发现圆与外切正方形、内接正方形面积之间的关系。如人教版教科书在“回顾与反思”这个环节中已经采用字母代入法分别表示圆的面积和外切正方形、内接正方形的面积，然后用代数式表示这两个图形的结果，与其这样，不如让学生发现圆与外切正方形、内接正方形面积之间固定的倍比关系，介绍“如果圆的面积用πr?表示，那么外切正方形的面积就可以用4r?表示，内接正方形的面积就可以用2r?表示，这样外切正方形、圆、内接正方形的面积比就是4[∶]π[∶]2”;苏教版教科书则可以将这些内容与教科书第96页的内容有效联系起来，促进学生理解它们之间的面积关系。

4.周长和面积计算结果的呈现形式上略有不同

对于圆的周长和面积，两个版本教科书都采用π≈3.14进行计算，教科书在例题和练习题中给出的数据都不是太大，但是计算能力弱的学生还是容易出错。苏教版教科书考虑到学生在计算方面的实际情况，除了给出范例，让学生用π≈3.14计算相关圆的周长和面积，在计算圆的面积过程中还给出了保留π值的方法，这样就降低了学生的计算难度。

5.规律性内容探索的深度不同

两个版本教科书都有探究圆和直线图形长度关系的内容，如苏教版教科书在第91页让学生根据组合图形说出圆的直径的长度。相比而言，人教版教科书编排的内容又更复杂一些。比如，人教版教科书在第66页有两个内容，一是第10题的图形的周长计算，让学生通过转化，发现这个图形的周长相当于半径是5厘米的圆的周长;二是让学生探究捆圆柱体的绳子的长度，这个过程不但蕴含了从简单问题入手解决数学问题的策略，也让学生在规律探寻中发现圆和直线图形之间的规律，这种探究虽说是有难度的，但也是有价值的。除此之外，人教版教科书还编排了“确定起跑线”这一综合实践活动，目的是让学生探究实际生活中的有关圆的周长的实际计算和应用，为以后的学习做好铺垫。综合而言，人教版教科书中探索的内容更广泛、更全面，更贴近学生的生活实际。

[本文系江苏省教育科学“十二五”规划重点课题《苏教版与人教版小学数学教科书的比较研究》（课题编号：B-b/2015/02/147）研究成果之一。]

（责编 金 铃）