正余弦定理 错解得真知

■江苏省盐城市时杨中学 刘长柏

正弦、余弦定理及其应用问题综合性强,解题有一定的技巧。同学们在解题时,往往看似严谨,实际上却隐藏着各种知识盲点或逻辑错误,经常出现因为审题不细、分类不清、方法不当、忽视隐含条件等原因而导致错解的情况。下面探究正弦、余弦定理运用中的几个易错点的病根。

易错点一：制约条件被忽视

例1不等边△ABC中,a为最大边,如果a2＜b2+c2,则A的取值范围是_____。

解析：因为a2＜b2+c2,所以b2+c2-a2＞0,cosA=＞0。

由于cosx在(0°,180°)上为减函数且cos 90°=0,故A＜90°。

又因为a为最大边,所以A＞60°。

因此,A的取值范围是(60°,90°)。

易错点分析：有同学审题不细,已知条件弱用,忽视题设a为最大边,而得到错误结论：A的取值范围是(0°,90°)。

易错点二：机械套用定理、公式和已有结论,导致解题失误

例2在△ABC中,已知a=5,b=4,A=120°,不解三角形,则三角形解的个数为____。

解析：由题意知a＞b⇔A＞B。

易错点分析：因为bsinA=4sin 120°=,所以△ABC有两组解。产生错误的根源在于错误套用人教版必修5P9第3题的结论(3),而这个结论使用前提是A为锐角,且a＜b,显然本题不具备这些条件。

易错点三：不能正确使用数形结合的思想方法解题,导致解题过程烦琐或漏解

例3在△ABC中,若,则△ABC的形状是____。

因为sinA＞0,sinB＞0,所以sinAcosA=sinBcosB,即sin 2A=sin 2B。

故2A=2kπ+2B或2A=2kπ+π-2B(k∈Z)。

因为0＜A＜π,0＜B＜π,所以k=0。

则A=B或A=

故△ABC为等腰三角形或直角三角形。

易错点分析：由sin 2A=sin 2B,得2A=2B,这是三角变换中常见的错误,原因是不熟悉三角函数的性质。没有深刻理解sin 2A=sin 2B的含义,出现漏解情况。事实上,由2sinAcosA=2sinBcosB知道,A,B都是锐角,则2A,2B∈(0,π),由三角函数的图像可知要么2A=2B,要么。因此,A=B或A+B=。所以△ABC为等腰三角形或为直角三角形。

易错点四：不能恰当使用正弦定理和余弦定理进行边与角的有效互换,导致解题失误

例4在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的 对 边,若a-b=c(cosB-cosA),求证

解析：由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,两式相减

易错点分析：不能恰当地使用正弦定理和余弦定理进行边与角的有效互换,从而解题陷入不着边际的盲目变换。处理边与角混合在一起的式子时,应考虑利用正弦定理或余弦定理,要么把角化为边,要么将边化为角,减少变量,便于解答。

易错点五：断章取义,错误推理

例5若a,b,c是三角形的三边长,证明：以长为的三条线段能构成锐角三角形。

解析：不妨设0＜a≤b≤c,只要考虑最大边c的对角θ为锐角即可。

由于a,b,c是三角形的三条边,根据三角形三边关系,有a+b＞c。

故cosθ＞0。

易错点分析：三条线段构成锐角三角形,要满足两个条件：①三条边满足三角形边长关系；②最长线段的对角是锐角。容易出的问题是验证了第二个条件cosθ＞0,而缺少对第一个条件的验证。