全国名校解三角形测试题（A卷）

2019-09-28河南省汝阳县第一高级中学刘俊报

中学生数理化(高中版.高二数学) 2019年9期

关键词：锐角三角钝角平分线

■河南省汝阳县第一高级中学刘俊报

一、选择题

1.在△ABC中,下列等式正确的是( )。

A.a：b=A：B

B.a：b=sinA：sinB

C.a：b=sinB：sinA

D.asinA=bsinB

2.在△ABC中,已知,则角A为( )。

A.30° B.60° C.120° D.150°

3.在△ABC中,内角A,B,C满足,则cos 2A=( )。

4.以下关于正弦定理或其变形的叙述错误的是( )。

A.在 △ABC中,a：b：c=sinA：sinB：sinC

B.在 △ABC中,若 sin 2A=sin 2B,则a=b

C.在 △ABC中,若sinA＞sinB,则A＞B

D.在 △ABC中,

5.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若A=,a=3,b=2,则sinB=( )。

6.在△ABC中,A=60°,b=1,其面积为,则等于( )。

7.在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,若a=2bcosC,则△ABC的形状是( )。

A.等腰三角形 B.钝角三角形

C.直角三角形 D.锐角三角形

8.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若a=,b=2,sinB+cosB=,则角A的大小为( )。

A.60° B.30° C.150° D.45°

9.在△ABC中,C=60°,AC=,AB=,则A=( )。

A.15° B.45° C.75° D.105°

10.在△ABC中,B=60°,AD是∠BAC的平分线,且交BC于D,BD=,cos∠BAC=,则AD=( )。

11.在△ABC中,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为( )。

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.等腰三角形

12.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,根据下列条件解三角形,其中有两解的是( )。

A.a=2,b=3,A=30°

B.b=6,c=4,A=120°

C.a=,b=6,A=60°

D.a=3,b=6,A=30°

13.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,AD为角A的角平分线,且交BC于D,B=,AD=,BD=2,则b=( )。

14.设△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且b=3,c=1,A=2B,则a的值为( )。

15.在△ABC中,D是BC边上一点,∠BAD=∠CAD=60°,BD=2CD=4,则tan∠ABC=( )。

16.在△ABC中,B=,M为AC边上的一点,且BM=2,若BM为∠ABC的角平分线,则的取值范围为( )。

17.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若△ABC为锐角三角形,且满足b2-a2=ac,则的取值范围是( )。

18.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若a2tanB=b2tanA,则△ABC的形状为( )。

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

19.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若3bcosC=c(1-3cosB),则sinC：sinA=( )。

20.如图 1,在△ABC中,已知A：B=1∶2,CD为∠BCA的平分线,且S△ACD∶S△BCD=3∶2,则cosA等于( )。

图1

21.△ABC中,若,则△ABC中最长的边是( )。

A.aB.bC.cD.b或c

22.在锐角△ABC中,已知a、b、c分别是角A、B、C的对边,且,a=4,则△ABC面积的最大值为( )。

23.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c,且(a2+b2-c2)·(acosB+bcosA)=abc。若△ABC的外接圆半径为,则△ABC的周长的取值范围为( )。

A.(2,4] B.(4,6]

C.(4,6) D.(2,6]

24.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,S表示△ABC的面积。若ccosB+bcosC=asinA,S=(b2+a2-c2),则B=( )。

A.90° B.60° C.45° D.30°

25.若△ABC为钝角三角形,其中C为钝角,并且A+C=的取值范围是( )。

A.(1,2) B.(2,+∞)

C.(3,+∞) D.[3,+∞)

26.在△ABC中,C=,BC=4,点D在边AC上,AD=DB,DE⊥AB,E为垂足。若DE=,则cosA=( )。

27.在△ABC中,角Α、Β、C所对的边分别为a、b、c,若,且b=,则下列关系一定不成立的是( )。

A.a=cB.b=c

C.2a=cD.a2+b2=c2

28.在△ABC中,已知a=x,b=2,B=60°,如果△ABC有两组解,则x的取值范围是( )。

29.在△ABC中,A=45°,a=λ,b=,那么满足条件的△ABC( )。

A.无解 B.有一个解

C.有两个解 D.不能确定

30.在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,若△ABC的面积为S,且S=(a+b)2-c2,则。

31.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,若cosA=,a=3,且△ABC的面积为,则b+c=( )。

32.平面四边形ABCD中,∠ABC=150°,AB=2BC,AC=13,BD⊥AB,CD=3,则四边形ABCD的面积为( )。

33.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知,且b2+c2-a2=4,则△ABC的面积为( )。

34.在某个位置测得某山峰仰角为θ,对着山峰在平行地面上前进600 m 后测得仰角为原来的2 倍,继续在平行地面上前进后测得仰角为原来的4 倍,则该山峰的高度为( )。

A.200 m B.300 m

C.400 m D.100 m

35.若△ABC的面积为(a2+c2-b2),且C为钝角,则B的度数以及的取值范围为( )。

36.已知△ABC的三边长是三个连续的自然数,且最大的内角是最小内角的2倍,则最小角的余弦值为( )。

37.某炮兵阵地位于A点,两个观察所分别位于C,D两点,已知△ACD为等边三角形,且DC=。当目标出现在B点(A,B两点位于CD两侧)时,测得∠CDB=45°,∠BCD=75°,则炮兵阵地与目标的距离约为( )。

A.1.1 km B.2.2 km

C.2.9 km D.3.5 km

38.某小区打算将如图2的一直三角形ABC区域进行改建,在三边上各选一点连成等边三角形DEF,在其内建造文化景观。已知AB=20 m,AC=10 m,则△DEF区域内面积(单位：m2)的最小值为( )。

图2

39.赵爽是我国古代数学家、天文学家,大约在公元222年,赵爽为《周髀算经》一书作序时,介绍了“勾股圆方图”,亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)。类比“赵爽弦图”,可类似地构造如图3所示的图形,它是由3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形,设DF=2AF,则( )。