浅谈如何设计中考数学复习中的专项训练

钱良均　叶春燕

【摘要】教师设计开展专项训练，对提高学生分析、解决问题的能力具有特别的作用.设计专项训练的主要原则是针对性，也就是教师应围绕训练的核心目的，设计具有较强针对性的教学内容，并引导学生积极参与到训练过程中去，这样才能保证“专项”训练的“专门”效果.

【关键词】专项训练;有效性;变式训练;问题串;课堂

所谓“专项训练”，是指教师组织学生进行以提高解题能力的核心目标的一系列有针对性的训练.包括考查基础知识的诊断性训练，提高解题速度的限时性训练，把握易错易混知识的辨析性训练，综合运用知识、思想方法的分析性训练，解决典型性问题的指向性训练以及迅速从信息型问题中提取数学关系的提炼性训练.其原理和作用就犹如竞技体育中教练为运动员设计制订一系列的专项训练一样.

一、注重考查基础知识的诊断性训练

经过第一阶段对整个初中阶段所学知识的全面梳理，学生较为系统地复习了基础知识，这比新授课时的掌握情况有了新的提高.如何诊断学生的复习效果，教师宜设计编制一些基础知识的诊断性训练（也可以回归教材，选用一些教材中的典型例、习题），难度不宜过大，知识的综合程度不宜过高，重点是让学生根据问题条件熟练地重现所涉及的基础知识，准确地解决问题.这类问题在中考试题中所占比重很大，教师和学生都要引起足够重视.

例1 计算：48-2-1+|3-2|-3tan30°.（改编于绍兴市2008年中考试题17（1），主要考查算术平方根、负整数指数、绝对值、特殊角的三角函数值等）

二、提高解题速度的限时性训练

这一点要求对学生进行限时训练，中考要求学生在规定时间内解答给定的问题，对学生解题速度提出了相应的要求.常有学生抱怨平时数学“学得还可以”，就是到了考试就手忙脚乱，甚至来不及做完整份试卷.避免这种现象的一个好方法是教师在复习阶段设计开展一些以提高解题速度为目的的限时性训练.教师可以设计编制一些难度并不太高的试题，要求学生在规定时间（如10分钟或20分钟）内解决，题量可视难度、计划时间等因素而定（如设计5～8个选择、填空题，或1～2个解答题让学生在10分钟内完成）.这类训练的试题设计可与基础性诊断训练相仿，但训练目的不同，从难度上讲也基本相当，但限时性训练难度可稍低一些，以提升速度为主要目的.

三、把握易错易混知识的辨析性训练

初中数学中有许多知识教师强调了多次，而学生仍然容易犯错或混淆，也就是我们通常所说的“陷阱”.为避免学生在同一地方摔倒两次以上，教师可以设计专项训练题，在课堂上专门安排时间让学生训练，可以明确告诉学生本次训练的都是“陷阱”题，就是要考查学生的观察和辨析能力，以此来提高学生的警惕性.

例2 4的平方根是.（需要计算4=2，再求其平方根，易与4的平方根混淆）

例3 等腰三角形的两边长分别为3和4，则它的第三边长为.（需考虑3和4都可作为腰长，易遗漏情况）

例4 将根式a-1a外的a移入根号内的结果为.（需考虑隐含条件a<0，易想当然地认为a>0）

四、综合运用知识、思想方法的分析性训练

统观历年中考试题，总有3～5道题目属于综合性问题.这类试题常将多个知识点和数学思想方法综合在一起，有一定的难度，要求学生能综合应用所学知识和思想方法求解，学生常感到无从着手，甚至“望题兴叹”.在复习阶段，教师不妨选择1～2道综合问题，引导学生一起分析，体会“分析问题—联系知识—转化迁移—逐步求解”的解题过程，不断提高综合解题能力.其重点应放在如何分析、寻找正确的解题思路，当得出思路以后，后续工作可让学生独立思考解答.

例5 如图所示，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，C的坐标分别为（2，0），（1，33）.将△OAC绕AC的中点旋转180°，点O落到点B的位置.抛物线y=ax2-23x经过点A，点D是该抛物线的顶点.

（1）求a的值，点B的坐标;（2）若点P是线段OA上的点，且∠APD=∠OAB，求点P的坐标;（3）若点P是x轴上的点，以P，A，D为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y轴上，写出点P的坐标（直接写出答案即可）.（2007年绍兴中考试题24）

分析 （1）“将△OAC绕AC的中点旋转180°，点O落到点B的位置”四边形OABC为平行四边形BC∥OA，BC=OAyB=yC=33，xB=xC+2=3;“抛物线y=ax2-23x 经过点A”将A点坐标代入可求得a=3.（2）“点D是该抛物线的顶点”D（1，-3）;D（1，-3）B（3，33）tan∠OAD=tan∠AOB=3∠OAD=∠AOB=60°;∠OAD=∠AOB∠APD=∠OAB△APD∽△OAB，进而可求得点P坐标.（3）“以P，A，D为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y轴上”点P（-1，0）或（1，0）或（3，0）.

五、解決典型几何问题的指向性训练——几何变异理论

立足于举一反三，一题多变.中考数学试题的类型极为丰富，题型繁多，但绝不是无章可循.有些问题作为初中数学的常考、必考题，多年来基本以某种相对固定的模式呈现.对此类问题，一方面，教师在平时教学中就应对学生提出模式化的解题意见，就如体操、跳水比赛中的规定动作，要做到准确到位;另一方面，应该在复习过程中做针对性的呈现，可以明确告诉学生是典型的问题，考查学生能否在最短时间内重现解题思路.

例6 如图所示，分别以△ABC的边AB，AC为一边向外作正方形AEDB和正方形ACFG，连接CE，BG.求证：BG=CE.（浙教版八年级下册P147作业题）

本题是初中数学中极为常见的典型问题，其关键是先得到∠EAC=∠BAG，然后利用“边角边”证明△EAC≌△BAG.初中数学中有许多以本题为原型的变式题，教师可以引导学生举一反三地加以比较、类比分析，形成系统.

变式1 如图所示，分别以△ABC的边AB，AC为一边向外作正三角形ADB和正三角形ACE，连接CD，BE.求证：CD=BE.

变式2 上述第1题中求证：BG⊥CE;第2题中求CD与BE所成的角.

变式3 已知，如图所示，△ABC是锐角三角形.分别以AB，AC为边向外侧作等边三角形ABM和等边三角形ACN.D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连接DE，FE.求证：DE=FE.

六、解决典型函数综合问题的指向性训练——函数变异理论课堂实录

中考对二次函数的考查仍然是一个主要的方向，二次函数在初中数学中与几何的完美结合，可以充分体现函数思想、方程思想、数形结合思想，以及分类、变换思想，因此，也是中考中考查学生能力的最好载体.

“二次函数背景下的三角形面积问题探索”教学过程：

◆预习反馈：

1.（2007年温州）已知抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A，与x轴的正半轴交于B，C两点，且BC=2，S△ABC=3，那么c=.

2.（2010年宁波）如图所示，已知二次函数y=-12x2+bx+c的图像经过A（2，0），B（0，-6）两点.

（1）求这个二次函数的解析式为.

（2）设该二次函数图像的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积为.

3.（改编自2010年山东）如图所示，抛物线y=-x2+2x+3的顶点为C，交x轴于点A点和B点，交y轴于点D.求△ABD的面积为，△ABC的面积为，△ADC的面积为，△BDC的面积为.

答案 1.3

2.（1）y=-12x2+4x-6 （2）6

3.S△ABD=6，S△ABC=8，S△ADC=3，S△BDC=1.

设计说明：通过对中考真题的再现，一方面，激发学生的求知欲望，吸引学生的注意力;另一方面，为本节课的探索——三角形面积问题，奠定基础.

◆课堂导学：

例7 如图所示，抛物线y=-x2+2x+3的顶点为C，交x轴于点A点和B点，交y轴于D点.

（1）在抛物线上是否存在除点D以外的点P，使得△ABP与△ABD的面积相等？若存在，请求出此时点P的坐标;若不存在，请说明理由.

设计说明 通过学生的探究，得出已知三角形一条确定的边与面积的条件下，第三点在抛物线上是否存在的问题.此题目的在于引导学生借助课前预习中出现的知识探究方法，将单纯的三角形面积问题融入二次函数图像中，学生操作几何画板，初步探索点的位置，从而归纳出寻找此类点是否存在的一般方法.

复习1 已知三角形一边及其面积，第三顶点在平行于底边且距离等于高的两条平行线上.

答案 有三个点P1（2，3），P2（-7+1，-3），P3（7+1，-3）.

变式一

（3）在抛物线上是否存在点P，使得△ABP的面积是△ABD的面积的2倍？若存在，请求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由.

设计说明 三角形底边不变，让学生探索出三角形面积之比等于高之比，从而能够确定存在的三角形的高，并确定其对应的点的位置.

答案 有两个点P1（-10+1，-6），P2（10+1，-6）.

◆当堂导练：

变式二

在例7的抛物线上是否存在点P，使得△ABP的面积是△ABD的面积的13？若存在，请指出有个满足条件的P点;若不存在，请说明理由.

设计说明 改变三角形的面积倍数关系，不改变底边，让学生再次用学到的知识进行自我探究.此题不计算，学生口答点的个数.

答案 有四个点P1（-3+1，1），P2（3+1，1），P3（-5+1，-1），P2（5+1，-1）.

就满足条件而言，对前面问题点的个数进行归纳：用几何画板演示四个交点、三个交点、两个交点.

到此之前，我们所讨论的三角形底边都在x轴上，只需过满足条件的位置作x轴的平行线，就可以很容易找到符合条件的点的坐标.

变式三

（4）在抛物线上是否存在除点B以外的点P，使得△ADP与△ADB的面积相等？若存在，请求出此时点P的坐标;若不存在，请说明理由.

设计说明 改变三角形的底边，让学生顺势探索如何确定满足条件的点的位置，并与前面的问题进行类比，归纳解题的通法.

复习2 在直角坐标系中，两直线平行，斜率相等.

答案 一个点P（4，-5）

变式四

（5）（2010年威海）在例题的抛物线上是否存在除点C以外的点P，使得△ADP与△ADC的面积相等？若存在，请求出此时点P的坐标;若不存在，请说明理由.

设计说明 将问题进一步升华，引导学生站在一个更高的位置认识二次函数与三角形面积问题，更有利于形成学生的思维品质，为后继学习打下基础.

答案 P1（2，3），P23-172，-1+172，P33+172，-1+172.

◆课后思：本节课你有哪些收获？

设计说明：1.鼓励学生结合本节课所学内容，谈自己的体会，学生可畅所欲言，组内外成员可做适当补充，进一步巩固本节课的知识.

2.提炼本节课的数学基本思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、类比思想和归纳推理思想.

◆课后练习（课外探索）：

1.（改编自2010年绵阳）点K在第一象限的抛物线上运动，试问当K运动到什么位置时，△ADK的面积最大？求出最大面积.

2.请你在课后收集近三年同类型的中考题，选择其中两道做在作业本上.

教学设计说明：

（一）设计理念

最近几年中考题中，有不少三角形面积问题与二次函数相结合的题目，引起了广大初中數学教师的重视.因为二次函数与三角形面积都是教材的重点，因此，我对这两种重要内容的结合就格外重视.本节课就是通过不断地变式训练，要求学生会观察问题，找到解决问题的本质，提升学生识图的能力，进一步培养学生的数形结合能力和解题能力，力争实现学生的学习数学的可持续“发展”.

（二）解决问题的策略

在教学中，积极引导学生主动参与观察、交流、归纳等探索活动，给学生充分的思考交流时间，同时不忘对基础知识的复习，让学生建立知识体系，迁移问题，找到解决问题的一般方法.

总而言之，在进行这些专题复习时应据历年中考试卷命题的特点精心选择一些新颖的、有代表性的题型进行专题训练，就中考的特点可以从以下几个方面收集一些资料进行专项训练：围绕实际应用型问题，突出科技发展，信息资源的转化的图表信息题，体现自学能力考查的阅读理解题，考查学生应变能力的图形变化题、开放性试题，考查学生思维能力、创新意识的归纳猜想，操作探究性试题，几何代数综合型试题等.在进行这些专题复习时，教师要引导学生从各个侧面去展开，并将近几年中考题按以上专题进行归类、分析和研究，真正把握其命题方向和规律，然后制订应试对策.初步形成应试技巧，为下一步的“强化训练”复习打下坚实基础.