有限与无限思想

姜楚华

數学研究的对象可以是特殊的或一般的，可以是具体的或抽象的，可以是静止的或运动的，可以是有限的或无限的，它们之间是矛盾的对立统一。对有限的研究往往先于对无限的研究。对有限个研究对象的研究往往有章可循，并积累了一定的经验，而对无限个研究对象的研究，却往往不知如何下手，显得经验不足，于是将对无限的研究化成对有限的研究，就成了解决无限问题的必经之路。反之，当积累了解决无限问题的经验之后，可以将有限问题转化成无限问题来解决。这种无限化有限、有限化无限的解决数学问题的方法就是有限与无限思想。

小学数学里有些问题不是通过初等数学的方法解决的，如圆的面积无法直接按照求长方形面积的方法来计算。我国古代数学家刘徽为了计算圆的面积和圆周率，曾经创立了“割圆术”。具体做法是：先作圆的内接正六边形，再作内接正十二边形……随着边数的不断增加，正多边形越来越接近于圆，那么它的面积和周长也越来越接近于圆的面积和周长。刘徽在描述这种做法时说“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”。也就是说，随着正多边形的边数无限增加，圆内接正多边形就转化为圆。这种思想就是一种极限思想，即用无限逼近的方式来研究数量的变化趋势的思想。

小学数学中还渗透着既对立又统一的辩证思维，如加与减、乘与除是学生非常熟悉的辩证关系。有限与无限思想中也渗透着有限与无限、曲与直、变与不变的辩证关系。我们知道，多边形的面积直接用公式就可以计算出来，但如果其中有的边改成曲边，就无法直接用多边形的面积公式计算，而要用定积分来求了。如：计算曲边梯形（直角梯形的斜边是曲边）的面积，就是先把曲边梯形平均分成[n]个小曲边梯形，在每个小曲边梯形里取一个最大的小矩形，这时[n]个小矩形的面积接近于[n]个小曲边梯形的面积的和。当[n]越来越大时，小矩形的面积和就越来越接近于相应的曲边梯形的面积;当[n]趋向于无穷大时，如果极限存在，记作[S]，最后[S]就等于所有的小曲边梯形的面积的和了，那么就得到了曲边梯形的面积是[S]。这是从有限的曲边梯形的面积中找到无限个小矩形的面积，再从无限个小矩形的面积的无限变化中回归到曲边梯形的有限的面积的过程，体现了有限与无限、曲与直相互转化的辩证思想。

有限与无限思想在小学数学中的应用和渗透，主要体现在以下几点。

首先，在数的认识中体会有限与无限的思想。小学生从一年级开始就认识自然数0、1、2、3……同时知道每个自然数加1就等于它的后继数。到了认识亿以内的数时，进一步知道了最小自然数是0，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。也就是说，任意给定一个足够大的自然数N，只需要把它加1，就会得到一个更大的自然数[N]+1，[N]+1>[N]，所以总是找不到一个最大的自然数。由此可以推广到奇数、偶数、一个数的倍数、两个数的公倍数等都没有最大的，都有无限多个。在学习分数的基本性质时，学生知道分母不同、分数值相等的分数有无限多个。在学习小数时，首先认识的是有限小数，然后认识无限循环小数，还知道圆周率是无限不循环小数。

其次，在数的计算中体会有限与无限思想。小学数学学习的数的计算一般都是经过有限的几步计算就可以解决的问题。作为知识的拓展，可适当介绍一些无限多个数相加的问题，如在数形结合思想中介绍无穷多个分数相加的问题。我国古代思想家庄子曾说过“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。这句话可用下面的数学语言来描述，长度为单位1的线段，第一天取走全长的一半，以后每天取走剩下的一半，永远有剩余。用无穷等比递缩数列的和来表示取走的长度，就是数形结合思想中的案例。另外，循环小数化分数的问题，也可以利用极限思想和数形结合思想来计算。

其三，在认识图形时渗透无限的思想。与自然数列的趋向无穷大类似，有些图形也具有无限长的特性，如直线、射线、角的边、平行线等，都具有无限延伸的特性，可以渗透无限的思想。

最后，在圆的面积、圆柱的体积的计算中渗透极限思想。如上所述，在小学数学中，圆的面积不能像求长方形的面积那样直接利用公式计算，圆柱的体积不能像长方体那样直接利用公式计算。利用有限与无限思想可以解决这些问题，如计算圆的面积时，先把圆平均分成若干等份，拼成近似的长方形，但它还不是长方形，仍然无法直接按照求长方形面积的方法来求，因为一个圆不论进行怎样细小的有限次的分割拼补，都无法真正拼成一个长方形。这时，只有借助极限思想，把圆分割得越细小，所拼成的图形就越接近于长方形。这样无限地分下去，拼成的图形面积就越趋向于长方形的面积。最后，通过取极限来得到它的面积。这是有限与无限思想在小学数学中最完美的体现。也就是说，极限思想是这样操作的理论基础和计算精确性的保证。

有限与无限的概念是抽象的、辩证的，在教学中应注意下面的问题。

一是要准确把握有关有限与无限的一些概念、教学要求和解题方法。有限与无限思想是用无限逼近的方式来研究数量的变化趋势的思想理解这句话要抓住两个关键语句：一个是变化的量是无穷多个，另一个是无限变化的量趋向于一个确定的常数，二者缺一不可。如：自然数列是无限的，但是它趋向于无穷大，不趋向于一个确定的常数，因而自然数列没有极限。教学中要让学生体会无限，更重要的是通过具体案例让他们体会无限变化的量趋向于一个确定的常数，而有限与无限思想以及在此基础上定义的导数、定积分是解决用函数表达的现实问题的有力工具。有限与无限是辩证思维的一种体现，要辩证地看待二者的关系，不要用初等数学的“有限的”眼光看“无限的”问题，要用极限思想看无限，极限方法是一种处理无限变化的量的变化趋势的有力工具。换句话说，当我们面对无限的问题时，就不要再用有限的观点来思考，要进入无限的状态。

二是对循环小数和无限不循环小数的理解和表示也体现了有限与无限的辩证关系。我们知道，在中学数学里一般用整数和分数来定义有理数，用无限不循环小数来定义无理数，有理数和无理数统称为实数。有理数包括整数、有限小数和循环小数。整数和有限小数化成分数是学生非常熟悉的，循环小数怎样化成分数呢？我们以前曾经介绍过用方程的方法可以解决这一问题。下面我们再用有限与无限思想来解决。

例如：把循環小数0.999…化成分数。0.999…是一个循环小数，它的小数部分的位数有无限多个。对于小学生来说，能够接受的方式是通过数形结合的方法，构造一个直观的几何图形来描述极限思想。先看数列0.9，0.09，0.009……我们可以用数形结合的思想，把这个数列用线段构造如下：把一条长度是1的线段，先平均分成10份，取其中的9份;然后把剩下的1份再平均分成10份，取其中的9份所有取走的线段的长度是0.9+0.09+0.009+…=0.999…如此无限地取下去，剩下的线段长度趋向于0，取走的长度趋向于1，根据极限思想，可得0.999…=1。

对于教师而言，光有有限与无限思想的渗透是不够的，还需要进一步理解如何用极限方法来解决。这是一个无穷等比递缩数列的求和问题，根据公式可得0.9+0.09+0.009+…=0.9÷（1-0.1）=1，所以0.999…=1。也许有的老师会认为，无限循环小数的位数是无限的，永远小于1。这是一种错误的认识，出现这种错误的原因是用有限的观点来看待无限。这样的问题在数学上应该用极限的方法来解决，因为这是一个无穷等比递缩数列求和的问题，即前[n]项的和（当[n]趋向于无穷大时）的极限为1，所以上面数列的和是1。这时有的老师可能又会认为，极限是1，数列的和是1，就是一定能取完。这种观点也只说对了一半，也就是说用极限1作为数列的和是对的，但是原因说得不十分准确。如上所述，极限的概念里没有说变化的量最后是否一定达到1，只需要当[n]足够大时，与1的距离要多小就有多小就足够了。通俗地说，在数轴上，你可以先任意取一个很小的正数ε，针对这个ε，只要找到一个正整数[N]，[N]+1以后的每一项都会落在区间（1-ε，1+ε）里，也许这里的每一项与1还有一点点距离，但是已经不重要了，已经不影响极限的数学游戏规则了，也就是不影响数列的和的取值了。

这个例子进一步说明，极限方法只关注一个无限的变化过程的确定趋势是什么，只要趋势确定并且符合极限的定义，那么这个无限变化的过程的结果就用极限来表示。它就是一个解决问题的方法而已，只要符合极限的规则和逻辑，就可以用极限来表示无限变化的过程和结果，它并不关心这个无限变化的过程何时能到达极限，它本质上不同于有限个数的和。

有限与无限思想在小学数学中有一定的应用，但只是渗透而已，并不让学生认识相关概念，所以要准确把握教学要求，不要增加学生的学习负担。

中学数学教学中也有很多地方蕴含着有限与无限思想。例如教学“数列”时，可以设计如下问题：已知数列{an}满足a1=a，an+1=1+[1an]。我们知道，当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1时，得到无穷数列1，2，[32]，[53]……当a=[-12]时，得到有穷数列[-12]，-1，0。（1）当a为何值时，a4=0。（2）设数列{bn}满足b1=-1， bn+1=[1bn-1]（[n∈N+]），求证a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}。（3）若[32<][an<2]（[n≥4）]，求a的取值范围。

上述问题综合交汇，设计立意新颖、视角独特，充分体现了有限与无限的思想。如：对于问题设计中的递推关系，由于所给出的初始条件不同，得到的数列也不同，并在问题中举出了具体的例子;第（2）问则可以通过有限次试验，得到对无限个[bn]都可以得到一个有穷数列[an]的猜想，再用数学归纳法进行证明;第（3）问是通过有限次分析求的对无限个[n]都成立的结果。

有限与无限思想往往隐身在其他数学思想和方法使用的过程中。例如，使用由特殊到一般的归纳思想时，含有有限与无限的思想;使用数学归纳法证明时，解决的是无限的问题，体现的是有限与无限的思想，等等。客观世界是有限与无限的统一体，我们既可以通过有限来把握无限，也可以借助无限来确定有限，数学归纳法、数列极限、函数极限等都是由有限把握无限的极好例证。