拉格朗日乘数法在多元函数求极值中的应用研究

刘美玲

（上海电机学院文理学院，上海201306）

条件极值是在某附加条件下的极值。 是数学分支最优化理论中被广泛应用的概念，无论对于求解不等式，解析几何问题，经济学中求效益最大化，工程优化问题，进程管理，只要能将问题构造出优化模型，就能应用求条件极值的方法求解。 它是最优化理论中单目标规划的核心数学问题，拉格朗日乘数法将条件极值问题转化为无条件极值问题，是一种罚函数法。这种方法将一个目标函数和若干个约束条件，包括不等式约束条件，通过作辅助的拉格朗日函数转化为无条件极值问题，其变量不受任何约束。这种方法引入了一个新的参数未知数，即拉格朗日乘数：约束条件所有方程的梯度（gradient）的线性组合里每个向量的系数。 微积分中为了简单理解，一般是只有一两个等式约束条件的极值问题，拉格朗日乘数是约束条件在辅助函数里的系数，也是驻点方程里约束梯度的系数。

1 定义介绍

求解二元函数z=f（x，y）在附加条件φ（x，y）=0，ψ（x，y）=0 下的极值点，先构造拉格朗日函数：

求解方程组：

得到驻点（x，y），即可能的极值点。 若只有一个驻点，则由实际问题可直接确定此即所求的点。

2 几何意义

为简单计，这里只考虑二元函数且只有一个条件的情况。 如图，所示，曲线为约束条件φ（x，y）=0，f（x，y）=C 为目标函数的等值线族。

图1 等值图

在φ（x，y），f（x，y）的偏导数都连续的条件下，可能的极值点为M（x0，y0），从图形上看，应是目标函数等值线族中与约束条件曲线能相切的那个切点。 因为两曲线在切点处必有共同的法线，所以目标函数等值线在点M（x0，y0）的切平面法向量{f'x（x0，y0），f'y（x0，y0）}与约束条件曲线在点M（x0，y0）处的法向量{φ'x（x0，y0），φ'y（x0，y0）}平行，即：

设这个比值为，得到：

3 方法证明

设φ（x，y）=0 确定了隐函数y=ψ（x），则问题相当于求解z=f（x，ψ（x））的极值问题，故极值点必满足：

引入辅助函数F=f（x，y）+λφ（x，y），则极值点满足：

这里的F 就是拉格朗日函数，λ 称为拉格朗日乘子，利用拉格朗日函数求极值的方法叫拉格朗日乘数法。

4 求极值举例

例1：要设计一个容量为V0的长方体开口水箱，试问水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省[2]？

解：设x，y，z 分别表示长，宽，高，则问题为求x，t，z，使在条件xyz=V0下水箱表面积S=2（xz+yz）+xy 最小。

令F=2（xz+yz）+xy+λ（xyz-V0），

解方程组：

本例计算也可以在公式xyz=V0中用x，y 表示出z，变成无条件极值求解。然而变量数较多的时候，则拉格朗日乘数法更简洁易解。

例2：抛物面x2+y2=z 被平面x+y+z=1 截成一个椭圆。 求这个椭圆到坐标原点的最长与最短距离。

解：这个问题实质上就是要求函数

f（x，y，z）=x2+y2+z2

在条件x2+y2=z 和x+y+z=1 下的最大、最小值问题。应用拉格朗日乘数法，令

L（x，y，z，λ，μ）=x2+y2+z2+λ（x2+y2-z）+μ（x+y+z-1）

对L 求一阶偏导数，并令它们都等于0，则有

本例带两个约束条件，相对于例1，拉格朗日乘数法更为适用。因此通过简单题目掌握了方法，从而可将其用到变量多，条件多甚至是带不等式条件的问题上。

5 结论

作为一种优化算法，拉格朗日乘数法主要用于解决约束优化问题，即条件极值问题。通过引入拉格朗日乘子将含有一个n 元目标函数，k 个m 元约束条件的约束优化问题转化为含有n+k 个变量的无约束极值问题。 无条件极值问题的求解相对简单，有法可依，可通过求解驻点，再用梯度符号结合其他参数得到可行解。通过例题分析也不难发现，对于单目标多约束且存在偏导的问题，拉格朗日乘数法是一类非常好的方法，变量不多的情况下甚至可得到最优解。