挖掘数学教材习题内涵实现高效教与学

邱炯亮

[摘  要] 基礎教育数学课程标准倡导积极主动、勇于探索的学习方式. 教师引导学生对课本习题内涵进行挖掘和再创造，对习题条件、结论、解法进行探究和变式，构建相互联系的知识体系，助力学生形成自主探索学习方式，实现高效教与学.

[关键词] 习题;内涵;探究;高效教学

基础教育数学课程标准倡导积极主动、勇于探索的学习方式[1][2]. 中小学数学教材的编写也提供了各种不同形式的自主探索、合作交流等教学资源.新教材重视知识的产生与形成过程，内容的安排大都以探究的形式铺开，还设立了以探究为主的数学活动栏目.这些为培养学生的探究能力和数学思维创造了有利条件.

教材提供的例子虽然有限，但教材是教学的基本参考资料，教师的教与学生的学都应基于教材而高于教材来实现有效乃至高效教学.课本习题是帮助学生形成自主探索学习方式的大宝藏.教师应引导学生去开发宝藏，对其进行再创造，尽量使习题的功能发挥最大价值.在具体操作上，可以在习题课的教学中对题目的条件、结论、解法进行拓展引申，通过变式教学构建相互联系密切的知识体系.

[?]对条件进行探究

例题1：（北师大版必修5，P91）已知不等式ax2+bx+c<0（a≠0）的解集是，则（  ）

A. a<0，Δ>0 B. a<0，Δ≤0

C. a>0，Δ≤0 D. a>0，Δ>0

结合二次函数的图像与一元二次不等式的关系，可得答案C. 但要真正吃透本题，就此止步还远远不够. 教师要引导学生对该题进行反思：当把题目中的“<”变成“>”“≤”或“≥”时，a与Δ又应满足什么要求呢？可经过学生的讨论、总结，得到以下变式：

变式1：已知不等式ax2+bx+c≤0（a≠0）的解集是，则 a>0，Δ<0 .

变式2：已知不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集是，则 a<0，Δ≤0 .

变式3：已知不等式ax2+bx+c≥0（a≠0）的解集是，则 a<0，Δ<0 .

[?]对结论进行探究

例题2：（北师大版必修5，P98）已知两圆的半径分别为2和3，圆心距d满足d2-6d+5<0，则这两个圆的位置关系是________.

此题不难，由d2-6d+5=（d-1）（d-5）<0，易知1

变式1：已知两圆的半径分别为2和3，当圆心距d满足d2-6d+5________0时，这两个圆的位置关系是相离或内含.

变式2：已知两圆的半径分别为2和3，当圆心距d满足d2-6d+5________0时，这两个圆的位置关系是外切或内切.

[?]对解法进行探究

例题3：（北师大版必修4，P67）已知sinx+cosx=，求sin4x+cos4x.

有关三角函数的性质、公式繁多且相互联系，同一个问题通常可从几个不同的角度进行思考.如上题，可把sinx，cosx或x看成未知数，亦可从sinx+cosx往sin4x+cos4x变形或从sin4x+cos4x往sinx+cosx降幂变形.教师要引导学生从多个方面入手解决问题，鼓励“一题多解”，这有助于培养学生的发散性思维.

[?]综合探究

在习题课的综合题训练中，为真正提高学生的解题能力，还应贯彻波利亚的《怎样解题》[3]所倡导的四个步骤：理解题意、拟定计划、实施计划、回顾反思.这也是目前比较常见的教研形式——说题比赛的基本思路和规范，旨在反映解题者在解决问题时的思维方式方法，教学生学会思考.

例题4：（北师大版必修2，P40）如图1，已知ABCD，ABEF是两个正方形，且不在一个平面内，M，N分别是对角线AC，FB上的点，且AM=FN，求证：MN∥平面CBE.

（1）理解题意：证明直线l与平面α平行最基本的两种方法是：证明l与α上的一条直线平行且l在平面α外;证明l所在的面与α平行. 即要使MN∥平面CBE，只须保证MN与平面CBE上的一条直线平行或MN所在的平面与平面CBE平行.由此可鼓励学生对本题的条件及图形进行探究.

（2）证明过程：略.

（3）回顾与反思：反思解法，优化解答过程或从中获得启发寻找其他的解法;提炼解题思想，证明线面垂直转换为证明线线垂直或面面垂直的过程中，体现了重要的转化思想.

（4）变式推广、拓展提高：深入挖掘题目的条件与结论，揭示知识间的密切联系，增强学生综合运用知识解决问题的能力.

变式1：已知ABCD，ABEF是两个正方形，且不在一个平面内，M是对角线AC上的点，过点M作MP⊥AB交AB于点P，再过点P作PN∥AF交BF于点N. 求证：MN∥平面CBE.

变式2：已知ABCD，ABEF是两个全等的矩形，且不在一个平面内，M，N分别是对角线AC，FB上的点，且AM=FN，求证：MN∥平面CBE.

变式3：已知ABCD，ABEF均为平行四边形，且不在一个平面内，M，N分别是对角线AC，FB上的点，且AM∶FN=AC∶BF，求证：MN∥平面CBE.

交换条件和结论，可进行更为深刻的改造，得到探究性的开放题，能培养学生的逆向思维能力.

变式4：已知ABCD，ABEF是两个平行四边形，且不在一个平面内，M，N分别是对角线AC，FB上的点.若MN∥平面CBE，则点M，N应满足什么条件？

对同一道题可从不同的角度去分析、寻找解题策略. 而对具有共同特征的不同题目也可启发学生去发现、总结规律，找出通解，即“一解多题”，这里就不再赘述.

以上的各类例子在新教材的习题中举不胜举. 教师在教学中要做“有心人”，将课本习题讲透、讲活. 学生在教师的引导下对课本习题进行变式、引申，亲身体验数学发现和再创造的过程，可激发学习数学的兴趣与热情，形成对数学问题进行自我探究的学习习惯，培养创新能力、探索意识.且这种习题教学的方式，可有效地避免“题海战术”. 当然，对课本习题的拓展必须有个“度”，应建立在学生已有的认知水平之上.

参考文献：

[1]  中华人民共和国教育部制订. 全日制义务教育数学课程标准（2011年版）[S]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]  中华人民共和国教育部制订. 普通高中数学课程标准（2017年版）[S]. 北京：人民教育出版社，2018.

[3]  波利亚. 怎样解题[M]. 上海：上海科技教育出版社，2007.