基于“问题驱动”教学模式下的“随机事件的概率”教学设计

魏杰

[摘  要] 从目前的高中数学教学现状来看，教师主要以提高学生的解题能力为目标，而对知识概念的形成或推导过程重视程度较低，这使得学生缺少深入的思考和分析，对知识的掌握停留在表面. 同时还会出现学生对课程学习兴趣不足、课堂参与度低的情况. 文章以“随机事件的概率为例”，探讨基于“问题驱动”教学模式下的教学设计，通过在教学过程中设计层层深入的有效问题，引导学生进行思考，逐步形成“概率”的定义，真正实现对概念知识的理解和构建.

[关键词] 问题驱动;概率;教学设计

[?]问题驱动教学法的理论基础和意义

数学教育主要有三个目标：培养学生的计算能力和推理能力;培养学生应用数学解决和研究实际问题的能力;让学生更深入地理解数学思想和数学方法. 由于在实际教学中主要是通过做试题对学生进行考查，因此教师会更加注重解题方法、解题技巧、题型归类的教学，而忽视了对另外两种能力的培养.在这种题海战术的学习过程中，学生可能只是会机械解题，却并不知道学习该知识的作用和意义，不利于他们今后的长远发展.

“问题驱动”教学法是以建构主义教学理论为基础的，从具体的教学问题出发，通过在教学过程中设计层层深入的有效问题，向学生展示知识点形成过程的教学方法. 该方法的关键在于构建合理的“问题链”，创设相应的问题情景，在恰当的环节呈现出问题，以此来激发学生解决问题的欲望;同时通过教师的引导与启发，展示知识的形成和应用过程，让学生通过自己的思考来解决问题，真正实现对概念知识的理解和构建[1]. 本文以“随机事件的概率”为例，展示基于“问题驱动”教学法的教学设计和实施策略，为相关课程的教学设计提供参考.

[?]基于“问题驱动”教学模式下的“随机事件的概率”教学设计

1. 学情分析和教学目标

《随机事件的概率》是人教A版数学必修3第三章第一节的第一课时. 本节课旨在让学生通过实验体会随机事件发生的不确定性及频率的稳定性，从而给出概率的统计定义. 在初中的学习中，学生初步了解了随机事件及其概率，在日常生活中也经常接触和概率相关的实际问题，如彩票中奖率、天气降水率、投篮命中率等. 但是概率的准确含义是什么？如何计算概率？概率在生活中有什么作用？这些问题都是高中阶段学习概率所要解决的问题.

本节课的教学目标：在学生对随机现象已有的初步认知基础上，通过大量生活实例和学生的动手实验，感受随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性，从而得出概率是频率稳定值的结论.这部分内容贴近生活，能够联系很多实际问题进行举例，较好地培养学生的数学核心素养，有助于学生形成浓厚的学习兴趣. 学生的基础及教师对教学目标的把握，都是本节利用问题驱动教学法进行教学设计所要考虑的重要因素.

2. 教学重难点及对策

本节课内容包含五个知识点，即：随机现象、随机事件、频数与频率、概率的定义、频率与概率的关系.教材对于每个知识点有不同的要求，图1梳理了本节内容的知识点及相应要求、知识地位，以便进行比较[2].

从图中可以看出，由频率引出概率的定义是由非难点到难点的跨越，也是加深学生对随机思想理解的关键之处.

对此，本节课设计了三个数学实验：第一个是学生自己动手抛硬币计算正面朝上的频率，并通过excel软件对数据进行处理，得到频率分布的散点图，以便于观察频率变化情况;第二个是利用几何画板软件模拟抛硬币的实验，让学生观察大量重复实验下的频率变化;第三个是以历史上的数学学者做的抛硬币实验来佐证实验结论. 本节课问题驱动教学最重要的就在于这三个实验，在实验过程中，通过一系列问题串逐步引导学生进行思考，从而真正理解概率的定义.

3. 课堂教学设计

（1）创设情景，提出问题

引例：展示四个学生熟悉的成语故事图片：水中捞月、拔苗助长、守株待兔、瓮中捉鳖.

问题1：水中捞月、拔苗助长、守株待兔、瓮中捉鳖能够发生吗？

设计意图：由学生熟悉的成语故事引入，问题1的提出让学生思考成语中体现的数学知识，联系到本节内容，让学生感受数学来源于生活.

（2）温故知新

问题2：事件按照发生的可能性的大小可以分成哪几类？

必然事件、不可能事件、随机事件.

问题3：判断下列事件是什么类型的事件？

①在标准大气压下水温升高到100℃会沸腾;

②直线y=kx+1过点（0，1）;

③平行四边形的对边延长线相交;

④当x是实数时，x2>0.

设计意图：问题2的提出让学生回忆初中学习的事件的三个分类. 由于必然事件和不可能事件的結果确定，所以随机事件更具有研究价值，从而为随机事件的概率做铺垫. 问题3加以实例训练，为本节课新知识做准备.

（3）课堂实验

实验一：投硬币实验

①实验：三名同学为一组，一人投掷，一人记录，一人观察，做10次投硬币实验.

②引出频数和频率的概念.

③实验数据收集：通过excel软件将所有小组的出现正面频数进行累加，从而观察出数据逐渐增多后出现的规律.

问题4：每位同学抛硬币10次正面朝上的频率变化情况？

频率值各不相同，且变化较大.

问题5：将每位同学抛掷次数进行累加，使得实验次数逐渐增多后，正面朝上的频率变化情况？

随着实验次数增加，正面朝上频率逐渐靠近0.5，变化越来越小.

设计意图：在第一个实验中，学生主体通过动手实验参与到学习中. 问题4及问题5的提出，让学生思考并比较了实验次数对频率结果变化情况的影响.问题5在问题4的基础上突出了“大量重复实验”这一条件，为后面引出概率的定义做铺垫.

实验二：计算机投币模拟实验：用几何画板模拟投硬币实验并统计数据.

实验三：介绍历史上名家的投硬币实验.

问题6：通过自己动手实验、几何画板模拟实验、历史学者的实验，请同学们试着总结和频率相关的结论？

结论一：在大量重复实验下，投硬币正面向上的频率会逐渐稳定，在0.5附近摆动.

结论二：随着实验次数的增加，频率值摆动的幅度会越来越小.

设计意图：实验二通过几何画板的模拟，向学生直观地展示出一开始实验次数较少时频率的波动性，到实验次数大量增加后频率的稳定性. 最后展示出历史名家的投硬币实验，让学生进一步感受大量重复实验下频率的稳定性.提出问题6后，让学生联系三次实验，感受在实验次数由少到多的变化下，频率值逐渐稳定的变化过程. 从问题4到问题6，三个问题层层递进，体现了从特殊到一般的数学思想.

（4）构建新知

问题7：在实际问题中，随机事件发生的概率往往是未知的，可以通过什么方法得到随机事件发生的概率？

可以通过大量重复实验，得出事件发生频率的稳定值，该稳定值即为概率.

问题8：在研究随机事件A时，在相同条件下先后进行两次实验，事件A发生的频率一定相等吗？概率P（A）一定相等吗？

频率本身是随机的，在实验前不能确定，即使是在相同条件下做相同次数的重复实验，事件A发生的频率也可能不相等;而概率具有稳定性，与每次实验无关，因此概率P（A）一定相等.

设计意图：通过以上三个实验中随机事件发生频率做铺垫，问题7与问题8的提出能让学生想到可由随机事件的频率来定义随机事件的概率，使得定义的形成更加自然，加深学生对知识的理解和构建.

（5）问题探究

问题9：根据以上分析，频率和概率有什么区别和联系？

区别：频率具有随机性;概率具有稳定性.

联系：当独立重复实验次数增多时，频率会逐渐稳定于概率.

设计意图：对于概念课的教学来说，不仅要让学生掌握概念的内涵，还要掌握外延.问题9的提出可以让学生梳理清楚频率和概率的关系，使学生对概率的理解上升到一个新的高度，有助于后续知识的学习.

问题10：如何理解“小概率事件很少发生，大概率事件经常发生”？

概率的大小反映了随机事件发生可能性的大小.

设计意图：问题10的提出让学生思考概率的意义，体会概率在实际生活中的重要作用.

（6）课堂练习

（7）课堂小结

[?]教学反思

概率是从实践中发展而来的学科，教师必须在教学过程中渗透概率的随机性的思想方法. 在“随机事件的概率”课堂教学中，抛硬币等三个实验所提出的层层相扣的问题，激起了学生的兴趣，学生争相表达自己的观点. 学生的课堂参与度显著提高，取得了很好的教学效果.

在课堂教学中，教师把知识抛得越快，学生反而忘得越快. 德国数学家康托尔说过：“数学领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要.” 问题驱动教学法是高中数学教学的一种重要方法，基于问题驱动教学法的教学设计需要解决的教学目标是什么、学生的知识水平和认知能力如何、怎样有效选择教学内容、如何规划教学活动等问题[3]. 因此基于问题驱动的教学方式给教師提出了较高的要求，教师不仅要把知识传授给学生，同时要能激发学生的学习兴趣，只有学生成为学习的主体，并通过教师的引导进行深入的思考，才能真正掌握知识，真正学好数学.

参考文献：

[1]  陈卫卫，等. 基于BOPPPS模型和问题驱动教学法培养计算机思维的教学设计[J]. 工业和信息化教育，2014（6）：8-12.

[2]  徐训锋. 基于ABCD法的教学目标设计——以随机事件及其概率的教学目标设计为例[J]. 江苏教育研究，2013（6）：44-47.

[3]  朱丽娟，等. 基于“问题驱动”教学法的“等厚干涉”教学设计[J]. 绵阳师范学院学报，2017，36（2）：26-29.