一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用

张锐利

摘 要：数学，是一门自然学科。对于所有的高中生来说，要学好这门学科，却不是一件容易的事。大多数高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、没有兴趣。但由于高考“指挥棒”的作用，又不得不学。“怎样才能学好数学？”成了学子们问得最多的问题。而怎样回答这个问题便成了教师们的难题。很多人便单纯的认为要学好数学就是要多做题，见的题多了，做的题多了，自然就熟练了，成绩就提高了！于是，“题海战术”便受到很多教育工作者的青睐。熟话说，“熟能生巧”，当然，多做体肯定对学生数学成绩的提高有一定的好处。但长期这样，只会使数学越来越枯燥，让学生越来越厌烦，于是出现厌学、抄作业等现象。

关键词：一题多解;基本思想;练习和习题

对于传统的数学教学来说，教学过程的重点不外乎为：讲解定义推导公式，例题演练，练习，及习题的安排。下面就一题多解与一题多变在教学中的运用谈谈我个人的几点看法。

一、在例题讲解中运用一题多解和一题多变

在例题讲解中运用一题多解和一题多变，就不用列举大量的例题让学生感到无法接受。而是从一个题中获得解题的规律，技巧，从而举一反三。

下面仅举一例进行一题多解和一题多变来说明：

例：已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范围。

解答此题的方法比较多，下面给出几种常见的思想方法，以作示例。

解法一：（函数思想）由x+y=1得y=1-x，则

x2+y2= x2+（1-x）2=2x2-2x+1=2（x-1/2）2+1/2

由于x∈[0，1]，根据二次函数的图象与性质知

当x=1/2时，x2+y2取最小值1/2;当x=0或1时，x2+y2取最大值1。

评注：函数思想是中学阶段基本的数学思想之一，揭示了一种变量之间的联系，往往用函数观点来探求变量的最值。对于二元或多元函数的最值问题，往往是通过变量替换转化为一元函数来解决，这是一种基本的数学思想方法。解决函数的最值问题，我们已经有比较深的函数理论，函数性质，如单调性的运用、导数的运用等都可以求函数的最值。

解法二：（三角换元思想）由于x+y=1，x、y≥0，则可设

x=cos2θ，y=sin2θ   其中θ∈[0，π/2]

则x2+y2= cos4θ+sin4θ=（cos2θ+sin2θ）2-2 cos2θsin2θ

=1-1/2（2sinθcosθ）2=1-1/2sin22θ

=1-1/2×（1-cos4θ）/2=3/4+ 1/4cos4θ

于是，当cos4θ=-1时，x2+y2取最小值1/2;

当cos4θ=1时，x2+y2取最小值1。

评注：三角换元思想也是高中数学的基本思想方法之一，通过三角换元就将问题转化为三角恒等式变形后来解决，而三角恒等变形却有着一系列的三角公式，所以运用三角换元解决某些问题往往比较方便。

解法三：（对称换元思想）由于x+y=1，x、y≥0，则可设

x=1/2+t，  y=1/2-t，其中t∈[-1/2，1/2]

于是，x2+y2= （1/2+t）2+（1/2-t）2=1/2+2t2   t2∈[0，1/4]

所以，当t2=0时，x2+y2取最小值1/2;当t2=1/4时，x2+y2取最大值1。

评注：对称换元将减元结果进行简化了，从而更容易求最值。

这三种方法，在本质上都一样，都是通过函数观点来求最值，只是换元方式的不同而已，也就导致了化简运算量大小不同，教师通过引导、启发学生主动思考、运用，提高了学生对数学的认识，也增强了学生思维能力的提高。

解法四：（运用基本不等式）由于x、y≥0且x+y=1

则        xy≤（x+y）2/4=1/4，从而0≤xy≤1/4

于是，x2+y2=（x+y）2-2xy=1-2xy

所以，当xy=0时，x2+y2取最大值1;当xy=1/4时，x2+y2取最小值1/4。

评注：运用基本不等式可以解决一些含有两个未知量的最值问题，但要注意等号成立的条件是否同时满足。

這样一个由特殊性逐步一般化的思维过程，加强了学生思维能力的培养，通过这样一系列的一题多解和一题多变，培养了学生的综合分析能力、提高了学生数学思维能力，渗透了一些数学方法，体现了一些数学思想，也提供了一个推向一般性的结论。在数学教学中，若将经典例题充分挖掘，注重对例题进行变式教学，不但可以抓好基础知识点，还可以激发学生的探求欲望，提高创新能力;不仅能让教师对例题的研究更加深入，对教学目标和要求的把握更加准确，同时也让学生的数学思维能力得到进一步提高，并逐渐体会到数学学习的乐趣。当然，在新课的教学中有些方法所用的知识，学生还未学到，此时，我们可从中挑选学生学过的知识。其他方法可在今后的总复习中给出。

二、在练习和习题中训练学生运用一题多解和一题多变

在数学教学中，很多老师在课后给学生布置除书上练习题和习题以外的大量习题。使学生感到负担很重。我们为什么不能从书上的习题入手，进行演变，逐渐加深。让学生有规律可寻，循序渐进。日积月累过后，学生解题能力自然提高，对于从未见过的新题也会迎刃而解。这样的作业方式不只可以达到复习巩固的目的，还可以提高学生的探究能力及学习数学的兴趣。

例如，在学习抛物线后，在习题中出现了以下一题：

过抛物线y2=2px 焦点的一条直线和这条抛物线相交，设两个交点纵坐标为y1，y2，求证：y1y2=-p2。（设线段AB为过抛物线焦点的弦）

此题证明并不难，但其结论却很有用，关键是运用其结论。在布置此题给学生时我们便可以有针对性的演变。如变成

（1）证明：过抛物线焦点弦两端点的切线与抛物线的准线，三点共线。

（2）证明：抛物线焦点弦中点与其端点切线的交点的连线，平行于抛物线的对称轴。

（3）证明：抛物线焦点弦中点与其端点切线的交点连结线段，等于焦点弦长的一半，并且被这条抛物线平分。

另外，我们还可以让学生自己变式，便还可能出现如下变式：

（4）证明：抛物线焦点弦两端点的切线互相垂直。

（5）证明：抛物线的准线是其焦点弦两端点的切线的交点的轨迹。

（6）证明：过抛物线焦点一端，作准线的垂线，那么垂足、原点以及弦的另一端点，三点共线。

在数学习题教学中，一题多变也得循序渐进，步子要适宜，变得自然流畅，使学生的思维得到充分发散，而又不感到突然。

参考文献：

[1]陈峰.高中数学课堂有效性教学的案例研究[J].读与写（教育教学刊），2019，16（08）：87.

[2]胡扬道.加强高中数学实践 开展课堂有效教学[J].读与写（教育教学刊），2019，16（08）：90.