连续函数的单调性与

何俊

摘要：本文证明对于定义在单个区间上的连续函数，其严格单调性与一一对应性是等价的，并以此为基础对教材上的反函数连续定理及反函数导数定理稍作改进。

关键词：连续函数;单调性;一一对应;反函数

中图分类号：O151 文献标识码：A   文章编号：1003-2177（2019）24-0067-02

0引言

函数的单调性与一一对应性是我们非常熟悉的概念，中学数学中就开始涉及。为行文方便，现将其定义叙述如下：

显然，严格单调必定一一对应，但反之不然。例如f（x）= 在定义域上是一一对应的，但不是严格单调的。又如f（x）= 在定义域上也是一一对应的，但不是严格单调的，甚至在任何一个区间上都不是严格单调的。

而本文要指出的是，对于单个区间上的连续函数而言，一一对应和严格单调这两个概念是等价的。

在现行的大多数数学分析与高等数学教材中，关于反函数的连续性定理以及反函數的导数定理，定理条件中均要求函数是严格单调的，定理的完整叙述如下。

首先我们要注意到，一方面，这两个定理主要是为了证明初等函数的连续性以及对初等函数求导，就这个目的而言，严格单调的要求并不高;另一方面，假设函数是严格单调的，会让证明过程简洁得多。正是出于这两个考虑，所以现行教材上大多采用这个版本。但是就理论的严谨性而言，我们也要知道，严格单调这个条件是多余的。下文我们将证明定义在单个区间上的连续函数只要有反函数，则必定是严格单调的。

参考文献

[1]费为银，王传玉，项立群，等.高等数学[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2018.

[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2010.

（编辑：杨梅）