浅谈全国卷解析几何大题的备考

洪春

摘 要：解析几何是高中数学的主干知识。解析几何大题对考生的能力要求非常高，重点考察学生逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，是高考数学得高分的关键。故研究其命题规律、解题所需的知识储备和解题突破口对考生备考有重要意义。

关键词：全国卷;高考数学;解析几何大题

全国卷从2007年到2018年共有21套试卷，解析几何大题以椭圆为背景的共15次（其中2次涉及到圆），以抛物线为背景的共6次（其中2次涉及到圆）。所以，我们该把重点放在椭圆，其次是抛物线。而研究高考题的意义在于，第一：考点重复，例2018年1卷的19与2015年的20题都考查“等角问题”，而“中点弦的结论”考查了5次;第二：更好的把握考试范围，高考题可以指引缩小目标，更高效的练习;第三：高考题是最好的训练题，以前考查的知识、方法、技巧，是我们的必会题。

一、知识准备

全国卷解析几何大题共分两问，第一的错误会对第二问的得分造成毁灭性的打击，所以第一问一定要充分准备，仔细作答。第一问大多数时候用简单的待定系数法就能搞定，但复习的时候仍要注意以下两点：

1.椭圆的第一定义

见2016年1卷，由A，B两点的坐标就能基本锁定点E的轨迹方程是椭圆（全国卷还没有考过双曲线的大题），由平面几何知识可以证明EB=ED，从而AE+BE=4。另见2013年1卷

2.“中点弦的结论”（2018年3卷20题，2015年2卷20题，2013年2卷20题）：A，B为椭圆上两点，M为弦AB的中点，O为坐标原点，则

3.长度计算公式：为任意两点，则

（1）

公式（1）前半部分可以用于任意两点间距离，通常用于坐标容易计算的情况;公式（1）后半部分用于算弦长，通常用于坐标的不好计算，而选择用韦达定理整体计算的情况。若AB为圆的弦长，r为半径，d为圆心到直线的距离，则

（2）

例【2016年1卷】椭圆弦长用公式（1）计算，而圆的弦长，用公式（2）计算。

二、技巧与常见“翻译”准备

解析几何集中考查数学核心素养的数学运算和数据分析，对学生计算能力要求很高，而积累常见条件的“翻译”和运算技巧能大大的减少运算量，提高准确度。这其中最重要的技巧就是怎样将条件“翻译”并转化成韦达定理。目前的21套全国卷中有15套用到了韦达定理，可以分为以下几类。

1.角相等

出现在2018年1卷，2015年1卷。

角度相等可以转化为斜率之和为0，从而顺利转化到韦达定理。

2.边相等

可见2010年新课标卷，设AB中点，等价于，而N点坐标可以用韦达定理求出。

3.平行四边形

可见2015年2卷，平行四边形的判定定理常用的有三个：对角线相互平分，一组对边平行且相等，两组对边平行。由四边形OAPB的字母顺序知，我们该考虑对角线相互平分，即AB的中点与OP的中点重合即可。AB的中点可以由韦达定理算出，而OP的中点不难强算。

4.面积表示

底×高=×合适的底×水平高=×合适的底×竖直高（3）

而对于对角线垂直的四边形：对角线乘积（4）

公式（3）出现在2014年1卷，公式（4）出现在2016年1卷和2013年2卷。

三、重视逻辑推理训练

表面上看，近几年解析几何的题似乎有变简单的趋势，比如：2018年的全国1，2，3卷中1，2卷解析几何大题放在了19题。但看看同学们的训练结果，细细想来并非如此。这些题的特点在于少了“套路”，多了逻辑，多了推理，这样会让沉迷熟悉“套路”的同學难以下笔。例2018年2卷，如果记住了“套路”以AB为直径的圆要与准线相切的同学很可能会漏解AB不是直径的情况。而如果我们回到概念的本真，抓住圆的基本量圆心和半径，以此为逻辑的起点去整合推理，就不会漏解。

四、常见题型准备

全国卷的解析几何的大题有几道是反常规的，但多数都可以回归到我们常见的训练范畴。

1.定点定值问题

可见2017年的1卷，2卷，2015年1卷，2卷，

2.范围问题

范围问题通常都是函数或不等式的问题，函数的问题要注意二次除以二次，二次除以一次的处理方式，若是不等式可能会用均值不等式或解高次的不等式。全国卷在2016年1，2卷，2014年1卷，2013年2卷，2011年新课标卷考查了范围问题。