函数与方程思想在高中数学解题中的应用

许福生

函数与方程思想是高中数学解题中的基本思想，函数是运用一动一变的思想，分析和研究数学中的变量关系，通过构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转换问题、解决问题;方程思想则是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型，通过解方程组或不等式组使问题获得解决。

一、函数与方程思想密不可分

函数与方程是两个不同的概念，看似没有交集，实则密切相关。在高中数学解题中函数与方程应用最广泛的是方程的根与函数的零点，方程f（x）=0的实数根就是函数y= f（x）的零点，即y= f（x）的图像与x轴的交点的横坐标。即：方程f（x）=0有实数根[⇔]函数y= f（x）的图像与x轴有交点[⇔]函数y= f（x）有零点。

二次函数y=ax2+bx+c（a[≠]0）的零点：1.若[Δ]>0，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，二次函数的图像与x轴有两个交点，二次函数有两个零点;2.若[Δ]=0，方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，二次函数的图像与x轴有一个交点，二次函数有一个零点;3.[Δ]<0，方程ax2+bx+c=0无实数根，二次函数的图像与x轴没有交点，二次函数不存在零点。因此可以这样说函数的解决离不开方程，方程的解决要运用函数，两者在数学解题中发挥着重要的作用。

例：函数f（x）=x3-x2-x+1在[0，2]上有几个零点？

解析：由于f（x）=x3-x2-x+1=（x-1） 2-（x-1） ，令f（x）=0，得到x=1，因此函数在[0，2]上只有一个零点。

例：若a>1，设函数f（x）=ax+x-4的零点为m，g（x）=logax+x-4的零点为n，则[1m+1n]的取值范围是多少？

解析：欲求[1m+1n]的取值范围，很容易联想到基本不等式，于是需探讨m、n之间的关系，观察f（x）与g（x）的表达式，根据函数零点的意义，可以把题目中两个函数的零点转化为指数函数y=ax和对数函数y=logax与直线y=-x+4交点的横坐标，因为指数函数y=ax和对数函数y=logax互为反函数，故其图像关于直线y=x对称，又因直线y=-x+4垂直于直线y=x，指数函数y=ax和对数函数y=logax与直线y=-x+4交点的横坐标之和是直线y=x与y=-x+4的交点的横坐标的2倍，这样即可建立起m、n的数量关系式，进而利用基本不等式求解。

令ax+x-4=0得ax=-x+4，令logax+x-4=0得logax=-x+4，在同一坐標系中画出函数y=x与y=-x+4的交点的横坐标的2倍，由[y=xy=-x+4]，解得x=2，所以n+m=4，因为（n+m）（ [1m+1n]）=1+1+[1m+1n]≥4，又n≠m，故（n+m）（[1m+1n] ）>4，则[1m+1n] >1。利用函数图像交点个数及交点位置，使方程满足其根的限制条件，是最常见的方程与函数统一的思想。

二、函数与方程思想的应用

（一）在不等式中的应用

不等式反映的是不等量的关系，往往需要用等量关系去解决，这就是方程。函数与不等式可以相互转化，对于函数 y= f（x），当y>0 时，就转化为不等式 f（x）>0，借助于函数的图像与性质可以解决不等式的有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式。

例：设不等式2x-1>m（x2-1）对满足|m|≤2的一切实数m都成立，求x的取值范围。

分析：常见的思维定势，易把此问题看成关于x的不等式讨论，然而，若变换一个角度以m为变量，即关于m的一次不等式（x2-1）m-（2x-1）<0在[-2，2]上恒成立的问题，因此可以变为，设f（m）=（x2-1）m-（2x-1） ，则问题转化为求一次函数f（m）的值在[-2，2]内恒为负值时参数x应满足的条件{f（2） <0，f（-2） <0}。

解：问题变成关于m的一次不等式：（x2-1）m-（2x-1）<0在[-2，2]恒成立，设f（m）=（x2-1）m-（2x-1），

则 f（2）= 2（x2-1）-（2x-1） <0

f（-2）= -2（x2-1）-（2x-1） <0

一般地，在一个含有多个变量的数学问题中，确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题明朗化。或者在含有参数的函数中，将函数自变量作为参数，而参数作为函数更具灵活性，从而巧妙地解决问题。

（二）在数列中的应用

数列是一类特殊的函数，它的定义域是正整数集或其子集，数列的通项或前n项和就是以自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要。在运用函数的性质解决数列问题的同时，也加深了对数列概念的本质理解。

（三）在实际问题中的应用

高中数学知识不单单是对公式定理的理解，还应将所学的知识能很好地应用在实际问题中，真正地做到举一反三，学以致用，而函数与方程思想常常运用于实际问题中。

例：某农场，可以全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗等农作物，且产品全部供应距农场d（km）（d<200km）的中心城市，其产销资料如下表：当距离d达到n（km）以上时，四种农作物中以全部种植稻米的经济效益最高（经济效益=市场销售价值—生产成本—运输成本），则n的值是多少？

[ 水果 蔬菜 稻米 甘蔗 市场价格（元/kg） 8 3 2 1 生产成本（元/kg） 3 2 1 0.4 运输成本（元/kg.km） 0.06 0.02 0.01 0.01 单位面积相对产量（kg） 10 15 40 30 ]

解析：设单位面积全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗的经济效益分别为y1、y2、y3、y4，则y1=50-0.6d，y2=15-0.3d，y3=40-0.4d，y4=18-0.3d，由[y3≥y1y3≥y2y3≥y4d<200⇒]50≤d<200，故n=50。通过运用不等式方程组，可以很方便地解决生活中遇到的实际问题。

三、结语

由以上解题过程我们发现，只要我们勤于动脑，善于动脑，树立起运用数学思想解题的意识，就一定会在解题中有新的发现，新的创新，从而将数学知识学活，使我们的数学解题能力不断提高。

（责编  唐琳娜）