浅谈数形结合思想在高中数学教学中的渗透

占方印

摘 要：数学基础知识与数学思想方法贯穿于数学教学之中，是长期的数学发展所积累下的精髓。基于此，本文结合高中数学教学特征，对如何挖掘和渗透数形结合思想方法，以及指导学生理解和运用做简要分析。

关键词：高中数学;数形结合;数学思想方法;渗透

数形结合思想是高中阶段数学知识中最基本的思想方法之一，教师应根据学生的实际认知水平和特点，来选择恰当且有效的方法完成数学思想的渗透，长此以往，促进学生内在掌握知识与方法的迁移，使数学素养在潜移默化中得以提高。

一、数形结合思想的应用原则

1、等价性

等价性指的是“数”本身的代数性质与“形”的几何直观之间在进行转化时，必须是等价的。换言之，问题的数与形所反映的数量关系必须具有一致性，构图粗糙或者不准确都有可能对问题的解决造成影响，从而导致结果出错。例如，方程1/3x=2sinx有（）个实根，分别有3、5、7、9四个选项，如果作y=x1/3和y=2sinx的见图，由于两个函数均为奇函数，所以只需要作x≥0的部分即可。即∵当x>8时，x1/3>2≥2sinx∴只需要取[0，3π]上这一段即可。根据图像还可以发现，除了原点之外有3个交点，再根据奇偶性还可以得知其余的7个交点，所以答案为7。从解题过程中可以发现，在解题时没有遵循等价性的数转形原则而导致了错误，其实当x=1/8时，（1/8）=1/3>1/2×1/8>2sin1/8，因此，在[0，3π]内还有一个交点，所以正确答案是9。

2、双向性

双向性原则指的是将几何图形的直观性与代数的抽象性进行联系，从而利用代数表达运算比几何图形和结构所具有的优越性，来加以弥补，二者相互融合，体现出数与形的和谐统一。例如，设变量x，y满足x+2y-5≤0，x-y-2≤0，x≥0这三个约束条件，那么目标函数z=2x+3y+1的最大值是多少？四个选项分别为11、10、9、8.5。接着道题，首先要明确不等式组所表示的可行域，然后将z=2x+3y+1简化为y=-2/3x+z/3-1/3，再联系图像可以知道z=2x+3y+1在点A处可以取得最大值，进而由x+2y-5=0和x-y-2=0得出x=3，y=1，所以z=2×3+3×1+1=10。故答案为10。

3、简单性

所谓简单性，指的是数与形在转换过程中要尽可能确保几何图形的清楚和美观，代数计算过程的简洁和明白。例如，如果函数f（x）=ax-x-a（a>0且a≠1）有两个零点，那么实数a的取值范围是多少？首先，令g（x）=ax（a>0且a≠1），h（x）=x+a，就需要讨论01这两种情况，接着只需要在同一坐标系中分别画两个函数的图像，如果函数f（x）=ax-x-a有两个不同的零点，那么就说明函数g（x）和h（x）有两个不同的交点。同样，经过观察图像也能够看出来，只有在a>1时，才能够实现题中的要求，所以实数a的取值范围就是a>1。这道题的自变量x在指数位置，如果直接用代数方法，很难着手，而采用画图的方式来将代数式图形化，既体现了简单性原则，也使结果自动浮出水面。

二、数形结合思想的渗透途径

1、学习新知，初探数形结合

数学知识分为表层知识与深层知识两种。表层知识指的主要是概念类的基础性知识，而深层知识则主要指的是思想方法等一些内隐性知识，两种知识之间的关系是相依相随的。其实，在概念的形成、公式的推导以及问题的发现等过程中，到处都蕴含着数学思想方法以及向学生渗透数学思想方法的机会。这需要教师在新知的教学过程中遵循学生的参与原则，长此以往使学生自主养成思考的习惯，从而在探索与发现中感受数学思想方法的存在。

2、解决问题，巩固数形结合

解决问题的过程是渗透数学思想方法一个不可错失的重要环节。在高中阶段的数学教学中，数与形是最常见的探究对象，许多问题的求解都离不开数形结合思想的运用。但教师需要明确的是，数形结合思想作为一种解决问题的指导思想，它只能存在与人的思维当中，因此只能让学生在亲自参与到探索问题的求解方法这一过程中，才能够加深对数学思想方法的理解。例如，在求解不等式丨x-2丨+丨x+3丨≥7中，一般地，教师给出问题后，先让学生自己做，当然，教师需要对绝大多数选择的方法做到心中有数，在学生求解过程结束后，教师再从绝对值的几何意义入手，引导学生发现能够借助数轴来求解不等式，这样不仅保证每个学生都参与到了探索解题方法的过程中，也使其对数形结合思想有了更进一步的了解。

3、知识归纳，概括数形结合

数学思想方法的存在形式是以数学知识为载体，渗透并依附于其中。考虑到数学教材的安排是遵循知识发展规律进行的系统化编排，呈螺旋上升式结构，因而其中所涉及到的数学思想方法都是不具有连续性的。这就需要教师在固定时间范围内衣专题复习的形式来及时引导学生进行归纳总结，从而将其真正融入到学生的知识系统当中，发揮其价值和作用。

综上所述，数形结合思想可以实现抽象代数问题与直观几何问题之间的相互转化，使复杂的问题变得直观且简单易解，作为组织教学和引导学生的教师，应选择多种方式渗透数学思想方法，通过其独特的魅力来吸引学生，从而认识到数学思想方法的重要性，在解决问题的过程中加以灵活运用。

参考文献：

[1]马正勋.数形结合思想方法在高中数学教学与解题中的应用[J/OL].学周刊，2019（31）：87[2019-10-17].

[2]杨克利.探析高中数学解题中数形结合思想的应用[J].中国校外教育，2019（27）：118.