指向整体建构的小学数学教学

摘要：整体性、结构性是数学学科的本质特性。用整体建构的理念指导小学数学教学，创建结构化的数学课堂，引领学生在完善认知结构、丰富学习感受、发展思维素养的过程中，逐步地从自主走向自为，符合数学学科的本质，符合儿童数学学习的规律，符合信息时代素养教育的大方向。

关键词：整体建构数学教学结构化思维发展

本文为江苏省2017年基础教育前瞻性教学改革实验项目“着力思维素养的小学数学简约教学资源建设”、全国教育科学“十三五”规划教育部重点课题“指向整体建构的小学数学简约教学资源建设”（编号：DHA90453）的研究成果。

一

关于数学的整体性、结构性，有不少经典论述。瑞士儿童心理学家皮亚杰早在其1968年出版的《结构主义》一书中就指出：“如果不从检验数学结构开始，就不可能对结构主义进行批判性的陈述。……几乎在所有的数学领域里，并且在逻辑学里，我们都发现了群结构。”[瑞士]皮亚杰.结构主义[M].倪连生，王琳，译.北京：商务印书馆，2017：17。美国著名代数学家阿尔贝特说：“数学是结构的科学。当直觉和未经分析的经验表明在许多不同的背景下存在着共同的结构特征时，数学就有了任务，这就是以精确的和客观的形式系统地阐明基本的结构特征。”在《新数学教育哲学》一书中，郑毓信教授强调：“数学对象的建构事实上是一种整体性的建构活动。或者说，数学的对象并非各个孤立的模式，而是整体性的 ‘建构’。”郑毓信.新数学教育哲学[M].上海：华东师范大学出版社，2015：5，34。可见， 整体性、结构性是数学学科鲜明的本质特性。

顺应这种特性，数学教学也把“整体”“结构”等作为重要的研究方向。美国教育学家、心理学家布鲁纳认为：“学生对所学材料的接受，必然是有限的。怎么能使这种（有限的）接受在他们以后一生的思想中有价值？对这个问题的回答是：不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构。……掌握学科的结构以理解这个学科，可以使许多其他的东西与该学科有意义地联系起来。简而言之，学习结构就是学习事物是如何联系的。”[美]布鲁纳.教育过程[M].邵瑞珍，译.北京：文化教育出版社，1960：7。《义务教育数学课程标准（2011年版）》在课程设计思路中明确要求：“为了体现义务教育数学课程的整体性，本标准统筹考虑九年的课程内容”“充分考虑数学本身的特点，体现数学的实质。”中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012：4。课程标准研制专家组在解读课程标准时也提及：“我们的课程应当使学生真正感受到数学内容本身所具有的‘整体性’——数学是统一的，许多不同内容之间存在着实质的联系，包括内涵与方法。这样的感受有助于学生正确地认识数学的价值、理解数学的内涵，形成应用数学解决问题的能力，发展自身的认识能力。”义务教育数学课程标准修订组.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012：312。

在这种方向的指引下，指向整体建构的小学数学教学研究备受关注。马立平博士在《小学数学的掌握和教学》一书中，系统论述了“知识包”“概念结”的重要价值：“在教一个知识点的时候，应该把知识看作一个包，而且要知道当前的知识在知识包中的作用。你还要知道你所教的这个知识受到哪些概念或过程的支持，所以你的教学要依赖于、强化并详细描述这些概念的学习。当教那些将会支持其他过程的重要概念的时候，你应该特别花力气以确保你的学生能很好地理解这些概念，并能熟练地执行这些过程。”马立平.小学数学的掌握和教学[M].李士锜，吴颖康，等译.上海：华东师范大学出版社，2011：17。她通过比较中美两国数学教师的教学案例，特别提出：知识“打包”的正确方式不是固定的、严格唯一的。不同的教师，在不同的背景之下，或同样的教师对不同的学生，都可能以不同的方式将知识“打包”。张卫娥老师针对“数学教材文本表达的局限性，许多数学知识之间的关系被隐藏、悬置、遮蔽起来，导致学生的数学认知被肢解、思维被固化、创造被弱化”等现实，指出：“知识体系”整体大于“知识体系”各部分之和，数学教学要用数学的“高观点”、学习的“长任务”、教学的“大问题”来将数学知识中相同或相似乃至相对、相反的意义模块进行统整、优化、组合，使得数学知识成为更具生长力的结构体。张卫娥.整体教学：儿童数学教学的智性建构[J].数学教学通讯，2016（28）：28。董文彬老师针对“开学第一课”提出教学建议：让学生综观全册教材，从整体上认识本学期数学学习的基本内容梗概;要在统合学习内容的基础上帮助学生把握知识结构，建立数学关联，立足发展儿童的整体思维，进而让儿童在课堂上成为数学学习的先行组织者。董文彬.整体统合建构，培育数学情怀——让儿童成为数学学习的先行组织者[J].江苏教育研究，2017（25）：22。特级教师庄惠芬进一步拓展视野，着眼儿童数学学习的三个关键期：第一个是“心理敏感期”，即幼儿园与小学衔接的学习关键期;第二个是“成长马鞍期”，即小学三、四年级数学学习关键期;第三个是“学习断层期”，即小学与初中衔接的数学学习关键期，确立整体学习的教育思想，树立儿童数学学习的整体观念。庄惠芬.把握学习关键期，整体建构儿童数学学习[J].江苏教育研究，2016（32）：7。特级教师张宏伟则提出了“全景式”数学教育主张，从内容全景、现实全景、方式全景、思维全景、历史文化全景、目标和评价全景六个方面，把培养儿童数学素养所必需的各方面内容融合到合适的网络系统中，尝试构建一种“大数学教育”，努力实现由“教孩子数学”向“用数学教育孩子”的真正转变，具有一定的开创性。详见张宏伟在《小学数学教师》2016年第9期、第10期上关于“全景式”数学教育的连载文章。

上述研究，对丰富小学数学“整体建构”教学实践提供了宝贵经验。

二

指向整体建构的数学教学，简单地讲，就是基于数学知识的内在系统关联，通过结构化教学，帮助学生完善认知体系，发展思维能力，培育思維素养，进而更好地理解数学，喜欢数学，轻松地学好数学。实施这样的教学，需要把握三个要点。

（一）知识系统化

数学知识具有很强的内在逻辑，是整体的、系统的、结构的。而教材所遵循的“螺旋上升”的编排原则，在顺应了儿童认知规律的同时，也在一定程度上削减和遮蔽了数学知识的整体性和结构性，加上分学段、年级、学期、课时组织教学，很容易导致“只见树木不见森林”的教学问题。

要实现知识系统化，首先要对教材进行知识体系梳理。这一点看起来似乎并不难，因为在配套的教学指导用书中，都有本套教材知识体系表，按照领域、年级、学期（上下册）列举出所学知识点（稍显不足的是，小学数学教师只看到小学教材的知识体系，初中数学教师只看到初中教材的知识体系，难以掌握整个义务教育阶段数学知识内容的全貌）。当然，上述学习内容体系也只是一种简单的罗列，虽然有年级序列，但彼此之间的关联性并不紧密，特别是数学思想方法、内隐性的思维逻辑层面的关联非常少，呈现出比较明显的“点状”特征。可见，梳理知识体系，更为重要的是发现并揭示其中内在的逻辑与关联。比如，小学生初步认识“可能性”，不少教师都把重点落在用“可能”“不可能”“一定”来描述事情发生的情况，结果一节课下来，学生虽然会做题了，但对可能性的理解还是模糊不清。事实上，“可能”“不可能”“一定”这三个词语中，“不可能”“一定”都属于对确定事件的描述，“可能”用于随机事件（不确定事件）的描述，它们之间的逻辑关联如图1所示。教学时如果只是抓住这三个词，而不是将其置于整个知识系统中，并做系统的呈现（类似图1这样去板书），学生的理解势必会“散点化”“割裂化”。

那么，如何才能有这样的系统认识呢？笔者以为教师除了要通过专业理论学习补上本体性知识缺乏这一短板，还要“往上看一看”——对初中教材中的相关内容做深入的了解。比如，苏科版初中数学八年级下册《认识概率》单元，在学习“可能性的大小”之前，安排了“确定事件与随机事件”的学习：在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件（impossible event）。……在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件（certain event）。必然事件和不可能事件都是确定事件。

在一定条件下，很多事情我们事先無法确定它会不会发生，这样的事情就是随机事件（random event）。这个案例表明，知识系统化的关键在于把知识点“连成线”“组成面”“构架体”（上页图1中的7个箭头，很好地将“可能性”的相关知识做了结构化的表达）。

当然，从纯数学的角度看，数学知识之间有一套比较严格的逻辑系统。而从学习的角度看，数学知识之间的逻辑系统又存在多样性、开放性。比如，现行的几种版本的小学数学教材，有的是先学分数，再学小数，即小数学习建立在分数基础之上;有的则先学小数，再学分数，小数学习并不与分数直接发生联系（当然，后续学习中还是要发生联系的）。又如，教学分数，有的教师是从整数除法入手：6÷2=3，2÷2=1，1÷2没法除了，怎么办？有的教师是从“份数”入手：1个蛋糕，平均分成2份，每份是多少呢？还有的教师则是从整数入手：3个饼，吃掉1个，剩下2个;再吃掉1个，剩下1个;又吃掉1个，没有了（0个）。人吃饼的时候，是不是一口一个呢？有没有比0多、又不足1个的情况？这些不足1个的“零头”，怎么用数来表示呢？于是，分数就“嵌入”到0、1、2、3……的整数体系中。

值得注意的是，对知识系统性的理解，不能局限在纯数学概念层面。多一些视角，可以在更高层面上建构知识系统。比如，关于加法的学习：一年级学习“9+4”，核心算法是“凑十法”，学会了“凑十”，就可以迁移运用到“8+4”“7+4”等进位加法;二年级学习两位数加法，“58”跟哪个数相加最好呢？自然是“42”，因为58+42=100，核心算法是“凑百”;再往后，还会碰到“凑千”（如723+277）、“凑一”（如0.75+0.25），等等。从算法的角度看，“凑十”“凑百”“凑千”“凑一”都是不同的方法，但就其本质而言，都是“凑整”。显然，“凑整”是一种更加上位、更具统摄性、更有扩展性的数学思维，用“凑整”来统摄“凑十”“凑百”“凑千”“凑一”等的学习，零散的知识就被“拎”起来了，课堂就具有了长程眼光和穿透力，一节课便上出了几年的跨度。

基于上述思考，我们尝试性地创建小学六个年级12册教材的数学知识结构全景图，力求寻找不同领域、年段、年级、分册各知识内容的内在逻辑关联，除了呈现每个知识内容的年级分布（从左向右，以色块区分）和所属领域、板块，更重要的是通过不同虚实粗细的线条、箭头、注解、图标等揭示其内在关联。比如，“图形与几何”领域的“长方形和正方形的周长”与“长度计量”相连接，而“长度计量”又与“整数认数”中的“十进制”连接;“长方形和正方形的面积”与“面积计量”相连接，“面积计量”又和“数与代数”领域的“乘法”连接。而无论是长度计量，还是面积计量，或是体积计量、角度计量、时间计量……所有的计量方法都是相通的，那就是“计量”板块横线上写的9个字：定标准、去测量、得结果。又如，小学各年级都涉及“统计与概率”领域内容的学习，包括统计方法、统计图表、统计分析等，总共编排了10个单元、20多个例题、50多个课时，但是，“统计与概率”的核心归根结底就是一句话：用数据来“说话”（通过数据的研究来解决实际问题）。各年级所学内容，无非是这一核心的具体分解——数据的搜集、整理、描述与应用。这样的全景图，有“宽度”，有“深度”，也有“贯通度”，可以用8个字来概括：“一体”（六个年级12册合为一体），“二核”（数与形）、“三主”（认数主线、图形主线、统计主线）、“四附”（代数初步、问题解决、量与计量、探索规律）。

总之，知识系统化的核心是整体与关联。基于不同视角、不同理解的整体与关联，会让数学的世界变得更加美妙，给数学教学带来无限的创造空间。

（二）教学结构化

教学结构化（或结构化教学），其关键是将“结构化”的理念融入教学活动之中，“充分依据结构、生成结构、拓展结构，发展结构思维，培育数学素养”许卫兵.结构化学习：回归“本原”的课堂实践[J].小学数学教师，2018（21）：64。;要“遵循数学知识内在的逻辑机理，通过结构化的长程设计、模块式的意义重构、递进式的教学推进，帮助学生建立清晰的知识结构以及获得知识的方法结构，使原本镶嵌在教材丰富背景下的散点知识凸显出来，进而以结构关联的模型保存在学生的大脑皮层，在后续的学习中便捷、有效地提取与转化”王冬娟.“结构教学”的内涵、价值和基本原则[J].小学数学教育，2017（8）：22。。

1.系统化的知识，需要有结构化的表达。

所谓“结构”，《现代汉语词典》（第7版）的解释是“各个组成部分的搭配和排列”。笔者以为，它包含三个关键要素：元素、关联、整体。以一年级“认识人民币”为例，元素就是人民币的三个单位“元”“角”“分”，关联就是三个单位之间的三组关系——元与角、角与分、元与分的进率，整体就是元素及关联所构架出的全貌。图2所示的两种形式的课堂板书，对上述三个方面都有所表达。但稍做比较便可发现，右边的板书结构感更强一些，内涵也更丰富一些，它不仅改变了左边板书中元素和关联的“散点”状态，而且把元、角、分的进率所表示的双向关系表达得清楚明白。理论上，“=”也表示双向关系，但对于一年级学生而言，从“1元=10角”建立“10角=1元”的认识并不容易——而三个双向箭头，便把这层含义形象地表达了出来。不仅如此，上面两个10，下面一个100，给学生以强烈的视觉冲击，把三组关系有机统一，很好地体现了数学的逻辑性和严密性（“10个10”就是100），这对后续长度、质量、面积、体积等计量单位的学习，以及数学知识系统梳理都有很好的启示作用。

由此可见，在关注元素和关联的基础上，多用箭头符号来标注联系，不失为教学中体现整体性、结构性的好办法。不过，这种板书变换还只是把同样的内容做了不同形式的改造，而上文中提到的“可能性”的板书则更具创造性，它突破和超越了教材编排的文本内容，实现了更为宏观的整体建构。当然，上述板书中的单箭头，也都具有双箭头的含义（或者不画箭头只是以弧线来连接，同样表达彼此间双向关联）。需要补充说明的是，“随机事件”和“确定事件”之间用虚线连接，意在表达二者之间看似不同，但在一定条件下是可以相互转换的（比如，把硬币的反面也做成正面的图案，把“三色转盘”变成“单色转盘”，就是把随机事件变成了确定事件;反之亦然），“不可能”下面的虚线箭头，意在与“可能”情况加以区分，一实一虚，一显一隐，相依并存，给学生以辩证思维的启迪。更为重要的是，这个板书可以一直用到初中、高中、大学里“概率”等內容的学习：“一定”事件的可能性就是1，“不可能”事件的可能性为0，随机事件的可能性在0-1之间;确定事件可以看成是随机事件的极端情况，某个随机事件发生的可能性大小是由“等可能情况”与所有“发生情况”的占比决定的……这进一步说明，基于整体建构的数学教学是可以实现“一节课上出几年的跨度”效果的。

教学四年级“周期规律”，不少教师上课时黑板上几乎是空白的，原因就是除了写上解决问题时的几道算式，实在不知道写什么。图3是我们的课堂板书。稍加分析可以看出，这个板书除了列举出知识层面的周期特征（每几个一组、按顺序排列、重复出现）、找周期的方法要点（圈一圈、至少看两组等）、如何应用周期解决实际问题（确定任意一组、确定任意一个、确定计算总数等），还用概念学习的三大“追问”（是什么、从哪里来、到哪里去）来统领学习过程。最后的“已知→未知”“有限→无限”是对“周期规律”学习意义的概括，既不是知识，也不是方法，而是思维的引导、思想的升华。

板书看课堂。眼界决定境界，思想决定高度！以结构化的方式呈现学习素材、思路、思考、体会、发现……课堂教学自然就会八面来风，风景独好。

2.重视“经验的改组或改造”，促进认知结构化。

促进认知结构化是教学结构化的关键要义。杜威认为，教育就是经验的改组或改造。既然是“改组或改造”，就需要关注基础，重视过程，着重变化，在动态中发展，在发展中生长。这种并不算新鲜的理论，一旦与结构化教学实践相结合，就会有蓬勃的生机，绽放出千姿百态。

比如，三年级学习“年、月、日”，是在二年级学习“时、分、秒”之后第二次学习时间单位。以下教学流程，比较好地体现了结构化学习的特点（其间的板书演变如图4）：

（1）从交流“记忆中不同寻常的日子”开始，引出“年”“月”“日”三个时间单位。回忆过去学习时间单位“时”“分”“秒”的经验，提炼出“关系”和“时长”这两个关键点。

（2）联系先前的学习，思考可以从哪些方面来研究年、月、日。然后结合生活经验、合作探究，揭示相互间的关系（如31、30、29、28，24，12，365、366等），再说一说从什么时候到什么时候，经过的时间就是“1年”“1月”“1日”。

（3）将时间单位与已经学过的人民币单位、长度单位、质量单位等相比，进行总结提升，完善结构，发现和感悟：在各种计量单位系统中，时间单位之间的关系是最复杂的，原因是它与大自然、历法等众多因素有关;虽然它们之间很不同，但又是相通的——任何计量单位的学习都要研究各单位的“大小”（量值）和彼此间的“关系”（进率）。

这样教学，融学生日常的生活经验、已有的认知基础、数学知识系统等为一体，基于生活又超越生活，基于知识又超越知识，利用整体建构带动学生的思维发展。认知心理学告诉我们，经验的改组或改造具有多种形态，同化、顺应或二者并存都是可能的;同样，学生的认知结构也有多种形态（“个体差别”），认知结构化的途径和方式也应该有多种，由此，教学就有了丰富多样性。

3.合“纵”连“横”，理顺教学结构。

落实教学结构化，离不开建构清晰完整的教学结构（或课堂结构）。

依据时间的一维性，人们习惯于按照线性结构来组织教学。传统的“五步教学法”（复习铺垫—引入新课—习得新知—总结概括—巩固提升），就是时间进程与认知过程相结合的一种教学结构类型。虽然这种结构类型至今仍十分常见，但随着信息时代的到来，素养为本、能力为重的教育呼声变高，这种教学结构的弊端也愈发显现。我们曾尝试进行“发现问题—提出问题—分析问题—解决问题—产生新问题”的“新五步教学法”探索，引导学生在质疑、析疑、解疑、生疑的螺旋发展链条中完成学习任务。我们也曾以数学思想方法为轴心，倡导低年级课堂向高年级穿越，高年级课堂从低年级的学习起点开始，实现一节课上出“六年的跨度”（甚至衍发更长远的影响力）。这些探索都取得了比较好的效果。

好的教学结构，要层次清晰、目标明确、逻辑严密。同一类知识的教学，一般有着类似的推进过程。例如，探索规律的教学一般按照“发现猜想—验证猜想—归纳概括—反思完善”的过程，认数教学一般按照“材料感知—认识新数—巩固新数—运用新数”的过程，运算教学则一般按照“提出问题—探索算法—理解算理—归纳法则—内化算法”的过程。认识到这种过程性结构的存在，就可以从起始内容的教学开始，不断地提炼、比较、呼应，引导学生主动迁移和应用这一过程结构，并在自主学习的过程中转化为有效的学习策略。王冬娟.“结构教学”的内涵、价值和基本原则[J].小学数学教育，2017（8）：22。

好的教学结构，要贴近学生，激活思维，促进发展。数学学习的根本价值在于不断地完善认知结构、丰富学习感受、发展思维能力。比如，三年级“间隔排列”的教学，重点是引导学生从数量关系的角度探索并发现“一一间隔排列”现象中蕴含的简单数学规律，可用整体建构的观点，设计如下三个教学环节：（1）借助摆两种不同颜色圆片的活动，让学生发现“一一间隔排列”有“两端不同”和“两端相同”两种情况;（2）分类研究这两种情况，得出结论：两端不同时，两种物体数量相等;两端相同时，两种物体数量相差1——寻找数量之间的特征，都可以用“一一对应”的数学思想方法;（3）通过增加或减少圆片，将“两端相同”变成“两端不同”，让学生直观感知这两种情况在一定条件下是可以互相转换的，从而打通二者的联系，渗透辩证统一观念。三个环节，通过“经过刚才的探索，你发现了什么？”“经过刚才的探索，你又发现了什么？”“经过刚才的探索，你还发现了什么？”这三次追问，进一步强化“一一间隔排列”的类型、数量特征、数量关系背后的数学思想以及两种类型之间的辩证统一，引导学生的思维不断“爬坡”。

总之，教学过程既是数学知识从少到多，从简单到复杂，从单一到组合的横向拓展过程，又是数学思考从现象到本质，从分离到整合，从直觉感受到深刻领悟的纵向提升过程。合“纵”连“横”，课堂方能“向四面八方打开”。

（三）思维“自能化”

数学是思维的体操。数学学习要引导学生在学习活动中切身体会思维的力量，并最终成为“思维的主人”。那么，思维发展最理想的状态是什么？或者说，思维发展到“登峰造极”的表现是什么？我以为，就是形成思维习惯，即未经任何提示，自然而然流露出来的、具有自觉、能动特征的思维能力。“数学学习不能停留在思维方式方法的简单使用上，而要突出学习者的主体自觉、自发、自为（自动而为），增强对更加上位、更加统整、更具‘超能’的较高水平的思维品性、思维品质、思维品格的培养。”许卫兵.以思维为核心的数学素养导向——基于课堂教学的视角[J].小学教学（数学版），2017（1）：12。这样的思维发展佳境，不妨称之为“自能化”。

思维的“自能化”并不是通过几节课、一两个学期、一两年就能“修炼”成的，而是一个长期累积进而逐渐从量变到质变的过程。从日常教学的角度来看，要迈向这样的目标，需要把握以下四个要点：

一是“看得见”，即多用直观的方式呈现知识结构。直观性——这是年龄较小的学生的脑力劳动的一条普遍原则。唐·季·乌申斯基曾写道：“儿童是‘用形式、声音、色彩和感觉’思维的。”[苏联]苏霍姆林斯基.给教师的建议[M]. 杜殿坤，编译.北京：教育科学出版社，2011：85。上文提到的“板书看课堂”，实质上就是借助于板书的视觉效应，增强学生对结构关联的敏感性，进而带动思维向更高层面发展。与传统教学相比，这样的板书，除了呈现知识要点外，还要适当提炼出蕴含的数学思想方法等;除了尽可能让学习过程“留痕”，更要突出关联，体现整体感。当然，直观的方式是丰富多样的，生动的故事情境、形象的图形画面、动态的视频录像、自主的操作活动是直观的;为解释说明所学所得而举一个生活事例，打一个比方，做一番演示，绘制一张图表等，也是直观。此外，我们要牢记：直观性的目的绝不是为了整节课抓住学生的注意力不放，而是为了在教学的某一个阶段上使学生摆脱形象，在思维上过渡到概括性的真理和规律性上去。

二是“说得清”，即能用语言（也包括图解、符号、文字、演示等）将学习和思考表达出来，进行“数学化表达”。表达的过程，是对自己的思考再一次審视、修正、完善的过程，也是互相接纳、取长补短的过程。比如，在学习“1千米=1000米”时，有学生认为，“千米”中有一个“千”字，所有1千米=1000米;而有学生认为，从已经学过的4个长度单位“毫米、厘米、分米、米”相邻两个长度单位之间的进率都是10来看，“千米”和“米”之间可能还有其他的长度单位（“十米”“百米”，课本中没有这两个长度单位）。两种想法都基于某种理由，但相互比较后，学生感觉后者的理由更加充分，逻辑层次水平更高，于是，从“毫米”到“千米”之间的十进制的长度单位体系就建立了。值得一提的是，在教学时出现“十米”和“百米”，并不表示要求学生掌握和应用它们，其意义在于：借助它们，可以让学生更好地理解数学的严密性、逻辑性、结构性。

三是“理得顺”，即能将多个元素、多种关系之间的逻辑关联理顺畅，避免出现错位、错乱和错误（比如，把“一定”“可能”“不可能”看成是并列存在的三种事件）。当然，由于数学知识内在的结构关联具有多样性，这里的“顺”在很大程度上是基于学生、基于教材、基于课堂、基于数学的。比如，低年级刚开始学习长方形和正方形，为了让学生更好地掌握这两种图形的特征，有必要将其视为两种不同的图形。但是，随着知识量的增加和思维发展水平的提升，则需要逐步建立“正方形就是特殊的长方形”的认识，二者之间的关系也从“并列”关系转为包含关系。再如，在小学阶段，加法和减法是“水火不相容”的两种运算方法，但是，初中学完有理数减法（减去一个数等于加上这个数的相反数）后，减法就可以视为一种特殊的加法了。此外，对一个内容的学习，除了知识获得，还有过程与方法、情感态度与价值观的目标，知识维度、方法维度、思想维度等往往是交织在一起的。如何在更宽的视野、更高的水平上帮助学生理顺关系，则需要教师有更深厚的素养和更高超的教学智慧。

四是“悟得透”，即让学生在感悟中慢慢懂得数学是怎么回事、数学学习是怎么回事，进而能轻松地学习数学、喜欢数学，乃至于整个人成了“数学”。为此，课堂上要多花时间让学生进行深层次的思考与交流，在反思中领悟数学的真谛，走向学习的自由王国。图5是“探索规律——和与积的奇偶性”的教学板书，板贴卡片上的内容是揭示“和与积的奇偶性”的规律，十几个箭头则表达出各个规律之间的关联。

来看看学生的领悟——我知道了只要从“偶数+偶数=偶数”出发就可以变成其他复杂的式子，从两数之和就可以变成多数之和、两数之积……我还学到了举例研究的方法，从举例到猜想，到验证，再到结论。

——储心怡

学数学，不是只经过举例就得出结论，而是通过举例、猜想、验证才得出结论，中间的过程不能少。学数学，就是把复杂化为简单，让简单变得更简单，但中间一定是有关系的，不管怎么变，都是由原始扩展出去的。所以，数学要学“通”，也要学“透”。

——徐佳程

通过学习，我明白了：要求积的奇偶性，先要想和的奇偶性，而在所有和的奇偶性当中，“偶数+偶数=偶数”是重中之重。在研究的过程中，我们从最简单的想起，当我们研究通透了以后，才发现复杂的东西也会变得如此简单！我爱上了数学！

——王诗雅

我记得许老师有一句话说得特别好：“比谁数学学得好，就比谁脑子里的箭头多。”的确，这些箭头表示的是概念和概念之间的联系。能把各种复杂的概念最终和一个简单的概念建立联系，或由一个简单的概念能联想出一些复杂的概念，也是一种“数学人”必备的思维能力。我们作为小学生，应该训练自己的这种思维能力。

——罗笑妍思维发展走向高水平有三个重要过程（阶段）：入心、生长、外化。学习首先是自“外”向“内”的，但所有入内的东西需要在内心不断地积淀和生长，等积淀和生长到一定程度，就会外化为一种近乎本能的意识和行为。当学生的反思、建构能力越来越强，结构化思维水平会越来越好，自动化程度也会越来越高，进而就能自覺、主动地去应用。这时，他的数学素养就真正形成了。

综上可见，指向整体建构的数学教学，遵从了数学学科整体性、结构性的本质特征，顺应了数学学习“四两拨千斤”的内在需求，彰显了“育人为本”“素养为上”的教育教学价值。它是理念，也是行动;是思想，也是方法;是过程，也是结果。它是一次向教育常识、教育本质的回归，也是一次承载着新的数学教育使命的“再出发”。

（许卫兵，江苏省海安市城南实验小学教育集团总校长，特级教师，正高级教师。首批“江苏省人民教育家培养工程”培养对象，江苏省基础教育教学改革专家委员，江苏省“333”高层次人才培养工程学术带头人。倡导“简约教学”，研究成果获江苏省人民政府教学成果特等奖、国家教育部教学成果二等奖。著有《简约数学教学》《成为高度自觉的教育者——写给后课标时代的数学教师》等。）