数形结合思想在初中数学解题中的应用

吕惠

【摘 要】数学思想是数学知识的灵魂和精髓，其中一种常见的数学思想便是“数形结合”。函数作为初等数学中一个基础而核心的概念，是初中教学的重难点，函数本身是很抽象的概念。引导学生运用数形结合的思想方法，把函数问题中抽象的数量关系转化为具体图像，把复杂的函数图像转化为简单的数量关系，最后求解，就可以化抽象为具象，从而锻炼学生解题的能力，事半功倍。

【关键词】数形结合;函数;初中数学

【中图分类号】G633.6  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2019）28-0121-02

著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微;数形结合百般好，隔离分家万事休”。数形结合思想是指将数与形结合起来分析、整理、解决数学问题的一种思想方法，在理解数学概念以及解题过程中都有广泛应用[1]。数形结合思想贯穿整个中学乃至大学的数学学习中，因此，教师在中学教学中向学生展示数形结合思想的妙用，进而培养学生注重数学思想的意识是十分有意义的[2]。下文以苏科版初中函数问题为例，展示数形结合思想在其中的运用。

1   数形结合理解函数

函数是中学教学中的重难点，是研究物理世界变化的一个模型，是整个数学体系中的重要思想，函数的内涵和外延都是极为抽象的。如何让学生尽快理解、掌握和应用函数是教师应该研究的课题。

概念学习是函数学习中的第一步，其重要性显而易见，如果学不懂概念，后面的学习便寸步难行。很多学生在学习概念时，采用强行记忆的方法，而不注重理解，这样无疑对后续的学习造成巨大的困难。如果教师在函数概念的教学中，借助图像的变化，让学生先拥有图像的直观印象，再引入相关的符号以及变量来解释函数概念。那么学生会容易接受许多。

以苏科版教材为例，采用以下练习引入函数概念。

例1 向平静的湖面投一石子，便会形成以落水点为圆心的一系列同心圆。①在这个变化过程中，有哪些变量？②若面积用S，半径用R表示，则S和R的关系是什么？

解析：从图像中得出S是关于R的函数。可以看到S和R是一一对应的，S随R的变化而变化，从而引出函数概念，对R的每一个值，都有S中的值与之对应，那么S是R的函数，准确定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。借助图像，教师可以将函数概念中的符号和数量关系形象化，从而使定义更加直观清晰。如果用传统语言描述，则难以达到这么清晰的效果。学习函数概念后，对后续的一次函数，二次函数，反比函数，三角函数等的学习，也应该注意对概念的理解，学生能根据具体解析式画出图像，才是真正理解了函数的概念[3]。

2   数形结合解决函数的应用

2.1  解决函数概念的应用

在解决函数概念的应用问题时，运用以形解数的方法，将数量关系式转换为图像，解题更加简单明了。

例2 鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元。物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元。经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时，y=80;x=50时，y=100。在销售过程中，每天还要支付其他费用450元。①求出y与x的函數关系式，并写出自变量x的取值范围。②求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式。③当销售单价为多少元时该公司日获利最大？最大获利是多少元？

解析：①将y与x的一次函数关系式写出来，设为y=kx+b，把x与y的两对值代入求解，得出k和b的值。②根据利润=单价×销售量，解出二次函数。③根据第二问的函数图像求最大值，根据函数图像观察，最高点即是最大值，用代数计算算出图像的最高点，体会图像的最高点与最大值的对应。

从这道题，学生理解了如何从数量关系求出函数的解析式，理解了变量和函数的概念并与函数图像相对应;第3小问以数解形，用代数计算，求解图像，学生体会到数与形的相互转化。充分体现数形结合思想的应用。

2.2  解决函数性质的应用

在学习函数概念后，紧接着就是学习函数的性质，只有掌握了一个函数的性质，才能在解题过程中灵活运用函数，而在初等函数的学习中，学生往往感觉性质太多，记不住，容易混淆，真正的原因其实是学生没有理解记忆，当记忆的越多，就会混乱以至遗忘，在解题过程中也就无法灵活运用。在教学过程中，教师应该强调让学生将函数性质与图像结合进行理解记忆。在运用函数性质解题时，大部分可以借助代数进行解答，但是多数学生往往觉得难以理解，运算量大，那么，通过画出函数图像，就可以将性质直观化，从图像中找到答案，则会简便很多。如二次函数的对称性质：对称轴左边，图像从左到右下降，函数值随自变量增加而减少;对称轴右边，图像从左到右上升，函数值随自变量增加而增加;顶点是拐点。学生在记忆增减性质时，应理解图像的趋势与性质的对应，而不用只记住性质的文字描述。

例3 求函数f（x）=x2-x-2的零点。

解析：首先学生要理解函数的零点其实是函数图像与x轴的交点，那么只需要画出函数即可。

从图1中可以清楚地看到问题的解，如果直接将零点转化为对应方程的根，不够直观，学生也理解困难，采用图像即可帮助学生理解零点与图像交点在x轴上的对应关系，进一步理解方程与函数图像的对应关系。从这道题，学生理解到函数的零点是函数与x轴的交点，更进一步，引出函数与直线的交点，再推出两个函数的交点。

如已知方程|x2+3x+1|=m有2个根，求实数m的取值范围。

解析：二元一次方程的根可以转化为二次函数与直线y=m的交点，将两个函数的图像画出来，观察他们的交点即可。观察图像即可得出答案，m=0以及m的值大于顶点时，有两个交点。将方程左边化简（x+1.5）2-1.25，求得顶点纵坐标为1.25。故m≥1.25，或m=0。如果不画出函数图像，学生可能会想到分类讨论的方法，但是根据图像，只需求出特定值就行，简便了计算，也加深了学生对函数的理解。

例4 已知二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m，（k≠0）的图像交于A（-2，6）和B（8，3），则能使y1

解析：直接画出大概的函数图像（如图2），即可解题。

在解决这类函数题时，充分应用数形结合思想，帮助学生进一步理解函数的性质，提高学生对函数性质理解和掌握的准确度。

2.3  解决数学模型的应用

建立数学模型是一种重要的能力，在初中數学的教学过程中，运用数形结合的方法让学生通过建立数学模型体会理论知识在实际问题中的应用，增加数学解题的趣味性，调动学生解决问题的好奇心，进而让学生期待数学学习。因此，数形结合的思想方法是十分重要的。

如抛物线y=2x2+8x+k与y轴交于点C（0，6），动点P在该抛物线上当三角形POC是以OC为底的等腰三角形时，求

点P。

解析：在求解这类题时，应该根据已知条件，画出抛物线的图像，从而建立数学模型。首先根据点C在抛物线上求得k，然后设点P（x，y），过OC中点作y轴的垂线，由OD=3，求出P的纵坐标为3，由抛物线的解析式，求出P点的横坐标为4±。

这道题在解题时充分展示了数形结合的思想，依据解析式画出抛物线图像，建立了抛物线的数学模型，再把抛物线的图像与等腰三角形的性质相结合，从而找到解题的思路。在这类习题中利用数形结合思想，使题目更加直观，学生也能更加理解函数知识的运用。

数形结合是数学学习中重要的思想，不仅在函数中举足轻重，在代数、几何中也发挥着重要作用。“数”与“形”的结合，包含了数学整个的学习内容以及研究过程。数形结合的思想不仅为学生解题提供了便利，更为学生的探究学习指出了方向，是数学学习过程中的重要方法[5]。初中数学的教学应该注重对数形结合等数学思想的培养，让学生能够灵活运用数学思想对初等数学进行深入的探究，培养学生的科研意识，为学生后续的学习之路打下基础。

【参考文献】

[1]雷红，杨文.数形结合思想在初中数学解题中的应用——以初中函数问题为例[J].福建中学数学，2019（2）.

[2]王诗琳.数形结合思想在高中数学解题中的应用教育[J].才智，2019（3）.

[3]张发启.数形结合思想在初中数学教学中的应用研究[J].课程教育研究，2019（4）.

[4]罗惠庭.数形结合思想在初中数学解题教学中的渗透策略[J].中学数学研究（华南师范大学版），2018（20）.