同源带电粒子在有界匀强磁场中的特殊圆问题

摘 要：高中物理电磁学问题，特别是基本带电粒子在匀强磁场中的运动问题，是高中物理学习中的一个难点和重点。本文以控制变量法为基本方法，讨论了基本带电粒子在匀强磁场中的四种特殊圆问题的特点及其对应的解题方法。

关键词：同源;基本粒子;匀强磁场;特殊圆

带电量为q、质量为m的基本粒子垂直磁感线以速率v进入磁感应强度为B的匀强磁场中，会受到洛伦兹力的作用，而洛伦兹力的方向可以用左手定则判断：与粒子速度方向垂直。因此洛伦兹力不改变粒子速度的大小，而改变速度的方向，整体表现为做匀速率圆周运动。其轨迹圆的半径R可根据洛伦兹力提供向心力求得：

基于此，按照物理学控制变量法，并且注意到速度的矢量性，通过控制单一变量，可以得到几种特殊的圆周类问题。

（1）缩放圆问题：只改变速度的大小;

（2）旋转圆问题：只改变速度的方向;

（3）平移圆问题：只改变入射的位置;

（4）聚焦圆问题：圆形边界磁场半径与轨迹圆半径相等。

一、缩放圆问题

此种题目的特点为：给定粒子（电量和质量）、磁场给定（可能是直线边界、平行边界、矩形边界、其他规则和不规则边界、无边界，但均为匀强磁场且告知磁感应强度）、粒子入射点或发射点确定，入射方向确定且垂直磁场，但唯一变量是入射速度大小。

分析：由圆周运动的半径公式可知，轨迹圆在入射点的切线唯一，但轨迹圆的半径大小取决于入射或者发射速度大小。具体轨迹圓因速度大小变化的演变图如图1所示。

二、旋转圆问题

此种题目的特点为：给定粒子（电量和质量）、磁场给定（可能是直线边界、平行边界、矩形边界、其他规则和不规则边界、无边界，但均为匀强磁场且告知磁感应强度）、粒子入射点或发射点确定，入射速度大小，但唯一变量是入射方向（保证垂直磁感线）。

分析：由圆周运动的半径公式可知，轨迹圆的半径确定且过定点（入射点），但确切的轨迹圆会因入射方向不同而不同。

如果入射方向是任意的，那么轨迹圆的圆心将会组成一个以入射点为圆心，R为半径的圆;所有粒子扫过的图形将是以入射点为圆心，2R为半径的一个圆面。如图2所示。

三、平移圆问题

此种题目的特点为：给定粒子（电量和质量）、磁场给定（可能是直线边界、平行边界、矩形边界、其他规则和不规则边界、无边界，但均为匀强磁场且告知磁感应强度）、粒子入射点或发射点确定，入射速度大小和方向均确定，但唯一变量是入射点（一般题设会认为入射点在一条直线上）。

分析：由圆周运动的半径公式可知，轨迹圆的半径确定，但轨迹圆的具体位置会因入射点而异。如图3所示。

四、聚焦圆问题

当圆形磁场的半径与原轨迹半径相等时，存在两条特殊规律：

规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如图4（甲）所示。

规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且圆形磁场上出射点的切点方向与入射速度方向平行，如图4（乙）所示。

简单分析：如图5所示，O1、O2分别是磁场圆和轨迹圆的圆心，A为入射点，B为出射点，AC为入射点边界圆的切线，BD为出射速度方向。因为磁场圆半径等于轨迹圆半径，所以O1BO2A为菱形，AO1//O2B，而又有AC⊥AO1，BD⊥BO2，所以必有BD//AC。

五、小结与建议

运动学问题的基础是受力分析，带电基本粒子在匀强磁场中仅受大小不变、方向始终与粒子运动方向垂直的洛伦兹力作用，会做匀速圆周运动，如何找出运动轨迹的圆心和半径，是解决问题的关键。

解题小建议：涉及到这四类问题时，我们不妨准备一角、五角、一元三种不同规格的硬币，磁场剖面转移到纸面上，用实物帮助理解缩放圆、旋转圆、平移圆和聚焦圆问题。也可因地制宜，用书写纸大致做不同规格的圆形或者内嵌有不同规格圆的学生套尺来解决问题，往往会使解题思路变得清晰。

参考文献

[1]苏翔.带点水滴在电磁场中偏转的演示实验[J].物理教学探讨，2017，35（11）：62.

[2]孟贵秀.带电粒子在电磁场中的运动及其应用[J].科技风，2015，（06）：144.

[3]刘成英.例析单带电粒子在单一有界磁场中临界运动问题[J].湖南中学物理，2018，（10）.

作者简介：康德群（1988.5）男，汉族，江西省吉安市，硕士研究生，教师，中小学二级，方向：高中物理