形异法相同，同源构法成

郝敬军

[摘 要] 对于不同类型的考题，有时可以采用相同的思路来求解，该类考题称之为解法同源考题. 该类考题的出现，极大地拓展了解题方法，有助于解题思路的关联性建构，对提高解题效率有一定的帮助.

[关键词] 同源；面积；性质；割补法；几何

考题2 （2018年甘肃张掖中考）如图6，已知二次函数y=ax2+2x+c的图像经过点C（0，3），与x轴分别交于点A和点B（3，0），其中点P是直线BC上方抛物线上一动点.

（1）试求二次函数y=ax2+2x+c的表达式.

（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C，如果四边形POP′C为菱形，请求出此时点P的坐标.

（3）当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积可以取得最大？请求出此时点P的坐标以及四边形ACPB面积的最大值.

思路突破 本题为典型的函数综合题，涉及抛物线和直线，第（1）（2）问分析略，下面主要探讨第（3）问的求解策略.

难点分析 对于第（3）问，从问题形式来看，求四边形ACPB的面积过程中，存在三大难点，一是题目为最值问题，随着点P的移动，四边形ACPB的形状必然发生变化，如何定量分析有待研究；二是四边形ACPB为不规则图形，如何利用已有知识建立面积求解模型有待讨论；三是题干信息仅给出了函数的解析式，没有具体的线段长，如何利用转换条件获得相应的线段长需要进一步讨论.

思路构建 研究面积的最值，可以尝试设出点P的坐标，使其变为相对意义上的静止点，则可以建构特定条件下的四边形面积模型. 四边形ACPB为不规则图形，可以尝试采用分割法，将其转化为几个规则的基本图形的组合，则不规则图形的面积就可以通过分别求解规则图形的面积来求解. 线段的长度可以通过两点之间的坐标来获得，因此可以将求线段长度的问题转化为求关键点的坐标，求点的坐标可以结合函数解析式来获得. 最后，可以建立关于点P坐标参数的面积函数式，通过研究点P的轨迹参数来完成最值求解.

考题1和考题2的第（3）问都是求几何图形的面积，只是问题的研究背景不同. 考题1直接给出了几何元素的相关信息，包括角、边的大小以及相关几何性质，是几何动点下的面积分析问题；而考题2给出了函数的解析式和相关点的坐标，是函数图像中的几何问题，属于解析几何. 虽然两者的问题形式不同，但考虑到解析几何是函数与几何的综合，因此实质上都是对几何的拓展研究. 上述解题策略在思想方法和构建思路上存在一些相同之处，具体如下.

对于思想方法，考题所涉及的四边形均为不规则四边形，利用已有的图形面积求解方法无法直接完成，因此基于构造思想采用面积的割补法是最为有效的方式. 该解题思想方法在考题1、考题2中均有充分的体现，它们均是通过添加辅助线的方式，将四边形分割成几部分，构造出几个常见的基本图形，利用其面积公式来求解. 需要注意的是，不同的分割方式所构造的基本图形不相同，面积求解的难易程度也有差异，最为简洁的方式是根据题目所给条件进行图形构造，如考题1的纯几何问题直接利用已知的线段长，考题2则尽量将已知点作为所构图形的顶点，这是构造思想的具体使用细节，合理构造可以简化求解.

对于思路构建，利用面积割补法是构建求解几何模型的总体思想，而如何建立已知条件与目标问题的关系是求解的具体思路. 考题1基于三角形的面积公式，利用几何性质来探究面积求解的关键线段长，采用的是“公式→线段→几何性质”的思路探寻模式，这是由所给条件——几何性质所决定的；考题2同样基于图形面积公式，进行了所需线段长度的思路构建，采用的是“公式→线段→函数性质”的思路探寻模式，都是由问题目标展开的思路构建. 考虑到点坐标与线段之间的联系，及几何与代数之间的不可分割联系，问题的构建思路均是以定理、公式为出发点，建立必要条件与性质之间的联系，这是两道考题构建思路的同源所在.

考题求解的学习思考

1. 重视考题解法，透析问题结构

上述考题属于不同知识领域的“形异法同”的关联题，虽然问题的形式、题干信息条件有较大的差异，但由于均是对不规则面积的求解，因此在解题策略上存在同源性. 对考题进行总结归纳，不能只局限于同类型的考题，也应重视对相同解题策略的考题整理，尤其是具有相同思想方法的考题. 深入探析解法上的“同”与“不同”，不仅可以丰富解题方法，在解法归纳的过程中还可以拓展解题思路，促进思维的活跃性. 另外，关注同源考题的命题结构，反思问题求解时的转化策略，充分理解命题人由条件构建问题的基本框架，真正理解解法一致性的根源，是解题的核心.

2. 提炼问题条件，总结重点知识

解后反思是对问题求解进行信息提炼，包括问题的条件、出题形式、求解涉及的基础知识，如上述考题1给出图形的基本性质来求解图形的面积，涉及菱形、三角形的性质，求解时利用了面积公式、勾股定理、分割方法等. 对问题信息进行总结，有助于后续知识的学习，结合考题，可以深入理解涉及的知识内容，积累知识运用的经验，达到融会贯通的效果. 同时，在知识整理的过程中，可以进一步把握知识之间的联系，构建知识的解题框架，这样有助于解题策略的形成. 解后反思实际上是知识的内化过程，是知识与能力强化、提升的过程.

寫在最后

解法同源是较为特殊的一类关联考题，解题过程中用到的思想方法、构建思路具有潜在的研究价值，尤其是在命题形式多样化的中考中，局限于表象问题是难以提升解题能力的. 深刻挖掘解题思路的构建策略、思想方法，有助于摆脱考题的束缚，真正理解问题的精髓，获得思想层面的能力提升.