初高中衔接教学中数学抽象的案例研究

【摘要】初高中衔接教学，不单单是学习习惯的改变、数学知识增多等，更是渐进式发展学生数学核心素养的重要阶段。数学抽象是“六大”核心素养之首，是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应用的过程中。函数的单调性，是函数的一个重要性质，也是函数中一个重要的概念。在函数单调性概念的形成中，经历由具体到抽象、由图形语言和自然语言到符号语言表达的过程，是发展学生的数学抽象素养一个很好的载体。本文尝试以函数单调性教学中3个教学片断解析数学抽象的三个水平层次，探讨“数学抽象”核心素养的课堂教学。

【关键词】数学抽象；单调性；核心素养

初高中衔接教学，不单单是学习习惯的改变、数学知识增多等，更是渐进式发展提升学生数学核心素养的重要阶段。数学抽象是“六大”核心素养之首，是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应用的过程中。下面以函数单调性的教学中三个教学片断为例，探讨“数学抽象”核心素养的课堂教学。

一、教学片断1：（定义的抽象）

师：同学们，我们都上过坡吧！请大家在纸上用笔画出坡的形状。

学生纷纷动笔，约一分钟后。

师：请同学们把你们所画的相互间交流一下，等下请你们把画得不同的、具有代表性的交上来，将它们投影出来。

约2分钟后，学生交上所画的。我挑出四份将它们投影如下：

师：还有其他的形状吗？

生1：这样也是的吗？

生1将所画的交上来，我将它投影如下：

师：请同学们讨论一下，图2能否表示上坡的形状？

同学们纷纷议论，交流各自不同的看法。约一分钟后，笔者请一位代表回答。

生2：这也是上坡的形状，因为它表示的是人随着时间推移在上升，断开的地方可以当作台阶。

师：现在我们将这些曲线放在平面直角坐标系中，请同学们观察它们有什么共同特点？

生3：曲线上的y值随x的增大而增大。

师：我们能否用通过曲线上的点的坐标表达这些曲线的特点呢？几个点比较合适呢？

问题提出后，有的同学显得有点茫然，有的同学呈苦苦思索状。

生4：这个有点难，难就难在曲线上有无数个点，要是点是有限的就好办了，最好是两个。

师：那你能写出图4中五点的坐标满足的关系吗？

生4：

师：若图4中的点A与点B它们在曲线可以任意运动，你能说出它们的坐标关系吗？

生5：若则有。

师：这样的A、B两点能否代表图4中曲線上所有点的坐标所满足的关系吗？请同学们思考一下，我们可以用什么语言来描述图1中上升曲线？

同学们经过了相互交流，得到如下的表述：

对于一个给定区间上任意两个，若则有。

师：这就是我们今天学习的函数单调性中单调递增函数的定义。

设计意图：笔者以上坡来引入单调性，相比教材观察函数的图像导入，更为直观具体，更贴近学生的生活，有利于学生抽象出单调性概念，并能用数学符号表达。函数的单调性是函数性质一个非常重要的性质，也是今后学习导数与斜率的基础。我们需用图形、文字、符号三种语言来诠释它，学生才能深刻理解函数的单调性。从上坡作为引入情境，让学生抽象其曲线形状，然后引入平面直角坐标系，转化为研究曲线上点的坐标的关系，最后简化为研究曲线上任意两点的坐标关系来研究函数的单调性。这其中包含了三个抽象过程：一是从上坡抽象为曲线形状；二是从曲线形状抽象为用若干点坐标来描述其上升趋势；三是从若干点坐标简化为任意两点坐标来描述其上升趋势，这里对“任意”量词的理解是学生学习的一个难点，最终抽象为严格化的定义。

二、教学片断2：（定义的应用）

1.如图，是定义在闭区间[-7，8]上的函数y=f（x）的图象，根据图象说出y=f（x）的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f（x）是增函数还是减函数。

2.根据图像说出函数，，的单调区间。

3.证明：函数在（1，+∞）上是增函数.

4.判断函数在R上是增函数还是减函数？并证明你的结论？

（让学生独立自主完成上述练习题，教师讲解后，要留一定的时间给学生反思回顾）

设计意图：本例设置4个小题：第1小题从图像判断函数单调性；第2小题是由函解析式联想到图像，再由图像判断函数单调性，这三个函数分别是正比例函数、二次函数及反比例函数，学生在初中已经学习过；第3小题是直接用定义证明，对学生数学运算要求比较高；第4小题含参一次函数单调性的判断。

首先是学生可以通过对前2个小题的观察、比较、分析等，对函数单调性的图形语言更明了，而函数单调性符号语言与初中对函数图像变化描述的自然语言对比，从而能主动建构为形成三种语言表述的严谨概念系统；其次，后2个小题为学生及时提供应用概念进行推理、论证的机会，在应用中强化概念，以防止由于没有经历概念形成的原始过程而出现的概念加工不充分、理解不深刻的情况，而其中的数学运算及分类讨论，也渗透了数学核心素养。学生独立自主完成有关练习题，我们教师对练习题加以点评分析后，要留一定的时间给学生去反思回顾，这样可以使学生经历一次新的抽象概括过程，能够在新的情境中选择和运用数学方法解决问题。从而深化概念的理解，使概念掌握得牢固，并能用来解决新的问题。

三、教学片断3（定义的拓展）

1.函数f（x）的定义域为D，若对，有.试判断函数f（x）在定义域为D上的单调性。

2.已知函数f（x）是R上单调递增函数，且f（1）=0，若，求x的取值范围。

3.已知函数，试求a的取值范围。

设计意图：第1小题，由，当 即有或

有即有，故函数 f（x）在定义域为D上是减函数。这是函数单调性定义的变式，这种等价的形式化与斜率、导数定义形式一致。通过形式化理解单调性的抽象结构，能够理解数学表达一般性，有助于学生能够感悟高度概括、有序多级的数学知识体系。第2小题，从函数单调性定义得出，有有或依此作出函数草图，易得出结论c>2或x<1，有助于学生从符号语言与图形语言两个方面理解函数单调性，可以在综合的情境中抽象出数学问题，并用恰当的数学语言予以表达。第3题，分段函数的单调性，对应片断1中图3最后一种情形，注意x=1处应满足f -（0）≥f +（0）即a≤4，这是一种不连续的分段函数的单调性，需把握分段函数的图形特征，将函数单调性的定义运用在特定的点，并用准确的数学语言予以表达，从而感悟函数单调性中x1、x2的任意性，理解单调性定义的一般性。

四、案例反思

《普通高中数学课程标准》（2017年版）附录1（数学学科核心素养的水平划分），对六大数学核心素养均划分为三个水平层次。笔者试图以三个教学片断对应数学抽象的三个水平层次作比较初浅的解析。

教学片断1：学生能从具体情境抽象出数学单调性概念，并能用数学符号表示；教学片断2：学生理解函数单调性的三种语言的表述，并能用之判断证明；教学片断3：学生能在综合情境中恰当应用函数单调性数学语言，理解单调性不同的形式表达。

对于上述三个教学片断中，笔者认为教学片斷1才是我们单调性教学的难点，也应该是教学亮点。数学概念的教学，应根植于学生的生活土壤，我们呈现给学生的知识应该是火热的教育形态，而非冰冷的学术形态，将知识发生发展的过程原生态地呈现给学生，我们教师做的只适当的引导。这是数学家的思维，也是创新思维。教学片断2、3更多的是知识演绎，而教学片断1体现的是数学抽象对创新思维的价值，知识的演绎可以通过训练达成，而思维的突破需要更多的呵护与鼓励！

史宁中教授认为，抽象有两个层次，一个是直观描述，另一个是符号表达。史教授建议教师在教学中必须先知道第一次抽象，即物理背景，具体的背景，不要遨游于一大堆抽象的符号之间，先要为学生提供感性认识，有了直观，才能判断。第二次抽象，引导帮助学生形成符号语言，即让学生会用符号语言描述。学生身边的事物是最鲜活的也是最直观的情境，同时也是学生最感兴趣的。我们数学教师应该思考如何将学生在生活中的所见、所闻、所感融入数学课堂，从生活化实例中抽象出数学概念与规则，让学生学会用数学的眼光观察现实世界，打开数学抽象之门。

[本文系广东教育学会教育科研规划小课题研究项目立项课题“广州市增城区第一中学数学初高中衔接教学的实践与研究”结题成果，课题编号：GDXKT14649）]

参考文献：

[1]罗志高.让生活走进数学课堂的实践与思考[J].增城教育，2012（2）.

[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].人民教育出版社.

[3]郭志坚.基于数学抽象核心素养提升的案例研究[J].学苑教育，2017（11）.

[4]史宁中.数学的基本思想[J].数学通报，2011（01）.