作图活动驱动学程，关联问题走向深处

刘东升 涂春华

摘要：人教版初中数学九年级上册第二十四章《圆》的第1节《圆的有关性质》、第2节《点和圆、直线和圆的位置关系》内容的关联性比较强，可以放在一个课时中复习。对于这节课，可以选择特殊三角形，通过作外接圆、内切圆等作图活动驱动学程;在作图的基础上，打磨关联问题串，促进学生想深、悟透;在解题的过程中，预设结构化板书，用思维导图梳理知识;同时，关注经典例题、习题，让中考真题融入学程。

关键词：《圆》复习课作图活动关联问题结构化板书

章末复习课没有现成的教材，如何进行知识点的复习？如何精选或精编问题作为例题、习题？这些都是章末复习教学设计与实施的重点与难点所在。

人教版初中数学九年级上册第二十四章《圆》的内容较多，章末复习通常要花2—3个课时。其中，第1节《圆的有关性质》、第2节《点和圆、直线和圆的位置关系》内容的关联性比较强，可以放在一个课时中复习。对于这节课，我们设计以作图活动驱动复习进程，并在学生作图的基础上渐次生成一些数学问题，然后通过对这些问题的求解达到复习圆的相关知识点的目的。实践下来，取得了较好的效果。本文整理该课的教学流程，并跟进阐释教学立意，供分享与研讨。

一、教学流程

（一）作三角形的外接圆

活动1（尺规作图）分别作出直角三角形ABC和等边三角形A′B′C′的外接圆。

教学组织：安排学生用圆规和直尺作出两个特殊三角形的外接圆。预设以下问题：

问题1下页图1中，设三角形ABC的边长分别为3、4、5，该三角形的外接圆O的半径是多少？过点C作AB的垂线，交⊙O于点D，则弦CD的长为多少？

教学组织：求解时，运用垂径定理，复习圆的轴对称性质。

图1图2

问题2图2中，边长为4的等边三角形A′B′C′的外接圆O′的半径是多少？如何证明∠A′O′B′=∠B′O′C′=∠A′O′C′？

教学组织：求解时，运用了圆的旋转对称性，复习弧、弦、圆心角之间的关系。

（二）找圆的内接四边形

活动2（补全图形）将直角三角形ABC绕斜边AB中点顺时针旋转180°，将等边三角形A′B′C′绕边A′C′中点顺时针旋转180°。

教学组织：将直角三角形绕斜边中点顺时针旋转180°，得到矩形ACBD;将等边三角形绕一边中点顺时针旋转180°，得到菱形A′B′C′D′。预设以下问题：

问题3图3中，矩形ABCD的四个顶点都在同一个圆上吗？为什么？连接CD，弦CD的长是多少？作∠ACB的平分线，交圆于点P，求弦CP的长。

教学组织：追问矩形的四个顶点是否都在同一个圆上，可以引导学生再次复习圆的定义、圆的内接四边形的性质（对角互补）;而求弦CP的长，则需要构造出等腰直角三角形进行分析，是一道比较经典的习题（在图3中，有AC+BC=2PC）。

图3图4

问题4图4中，菱形A′B′C′D′的四个顶点都在同一个圆上吗？为什么？在C′D′、A′D′上分别取点E′、F′，使C′E′=D′F′，连接A′E′、C′F′，设它们交于点G′。有人说A′、B′、C′、G′四点共圆。你觉得有道理吗？能否求出B′G′的最大值？

教学组织：学生可以利用全等求出∠A′G′C′=120°。通过这道题让学生从正、反两个角度理解圆的内接四边形的性质（对角互补）。学生如果基础较好，可以跟进“求出B′G′的最大值”。事实上，此时B′G′的最大值恰为该圆的直径。此外，还可以结合学情，链接以下这道南京中考题：

△ABC中，∠A=60°，BC=4，∠ABC<∠ACB，指出边AB的取值范围。

（三）作三角形的内切圆

活动3（尺规作图）分别作出直角三角形ABC和等边三角形A′B′C′的内切圆。

教学组织：安排学生作出两个特殊三角形的内切圆。预设以下问题：

问题5图5中，设三角形ABC的边长分别为3、4、5，该三角形的内切圆O与三边的切点分别为D、E、F，求⊙O的半徑以及AD、BD的长，并用不同的方法求△ABC的面积。

图5

教学组织：学生求三角形面积时，可能会求两条直角边乘积的一半，或者斜边与斜边上的高乘积的一半，或者内切圆半径与三角形周长乘积的一半。在此基础上，引导学生对比AD·BD与△ABC的面积是否相等，并对问题作“一般化”思考：设AD=3，BD=4，对比AD·BD与△ABC的面积是否相等。然后，安排学生课后继续挑战思考：证明直角三角形ABC的面积等于AD·BD。

问题6图6中，设等边三角形A′B′C′的内切圆O′与三边的切点分别为D′、E′、F′，求⊙O′的半径，并比较A′D′·C′D′与△ABC面积之间的关系。

图6

教学组织：等边三角形内切圆的半径容易求出，可以引导学生分析与前面的等边三角形外接圆半径之间的关系。在此基础上，对比问题5中提到过的A′D′·C′D′与△A′B′C′面积的关系（S△A′B′C′=3A′D′·C′D′）。

（四）课堂小结，布置作业

结合上述复习进程中的一些知识梳理，将本节课的内容完善成如图7所示的结构化板书。

课后作业，设计如下两道挑战问题：

1.直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4。在边AC上（不包括端点）取一点D，过点D作DE∥AB，交BC于点E，以点D为圆心、DE为半径作圆，当⊙D与边AB恰有一个公共点时，分析CD的取值范围。

2.三角形ABC中，∠A=60°，内切圆与边BC相切于点D，若BD=m，CD=n，求△ABC的面积。（用含m、n的式子表示）

二、教学立意

（一）选择特殊三角形，用作图活动驱动学程

本节课预设的前三个数学活动都从两个特殊的三角形（边长分别为3、4、5的直角三角形和等边三角形）出发，分别作它们的外接圆、内切圆，并将它们补成矩形和菱形（為复习圆的内接四边形服务）。这三个活动能有效复习《圆》这一章中几个重要知识点和操作技能，同时又为生成新的问题提供了图形背景，使得学生在思考相关问题时，不必再重新理解新的问题背景或“题干”条件，也使得各个教学环节之间平滑地过渡，达到较好的“转场”效果。图7

（二）打磨关联问题串，促进学生想深、悟透

本节课设计的一些问题都是精心打磨而成的，意图通过高质量的系列问题渐次展开，促进学生想深、悟透，达到“做一题、会一类、通一片”的学习效果。如，活动1针对两个特殊的三角形探求了它们外接圆的半径，并关联复习了垂径定理以及弧、弦、圆心角之间的关系;活动2安排了系列问题，有效复习了圆的内接四边形的性质，并逆向思考了“对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上”，还链接了一道较难的南京中考题，渗透了“定弦定角问题”的构图分析法;活动3安排学生在作出两个特殊三角形的内切圆后，分别求出它们内切圆的半径，并引导学生深入思考两个三角形面积的不同计算方法，结合学情相机追问，渗透从特殊到一般的研究方法;另外，在课堂小结后设计的课后挑战问题也是活动3中问题5、问题6的递进深入，学生研习之后可将这一类问题想深、悟透。

（三）预设结构化板书，用思维导图梳理知识

在复习课的知识梳理环节，可将复习的主要内容或知识点设计成结构化板书，在复习相关问题时将提到的内容或知识点书写在黑板上的相应位置，待课堂小结时完善结构化板书。本节课，我们借鉴了思维导图的构思，让学生从圆的定义、圆的基本性质、与圆有关的位置关系等方面理解圆的相关知识点。需要说明的是，我们设计的结构化板书是渐次呈现的，而且是伴随着学程的推进，对学生解题过程中提到的依据，由教师或学生即时写在黑板上的相应位置（教师要有黑板区域的规划，做到心中有数）的。这样，在最后小结时，适当修改、勾画、联结，就可以得出完善的结构化板书。

（四）关注经典例题、习题，让中考真题融入学程

毋庸讳言，九年级复习课还要关注学生的“眼前利益”，即精准备考。在这个方向上，目前的复习课有一个习题选取的误区，即从全国各地中考试题中找一些适合本节课复习内容的新题，然后投入大量精力在这些试题的训练、讲评上。其实，这样盲目地选练新颖考题的做法，挤占了关注教材例题、习题以及本地考题的深度学习的时间，是本末倒置。本节课中，我们选取的一些问题都是从教材典型例题、习题或南京（执教班级为南京一中实验学校的一个班）中考真题改编而来的，既引导学生回归课本，又对本地中考的命题方向保持关注，体现了精准备考的选题追求。事实上，这也启示我们章节复习的一种教学思路：教师深入研究教材典型问题，深度解析本地中考真题，并适当简化、变式或拓展，从而带领学生有效复习、精准备考。

本文系江苏省南通市教育科学“十三五”规划课题“基于‘三学’理念的初中数学课例研究”（编号：ZX2018007）的阶段性研究成果。

参考文献：

[1] 刘东升.践行“三学”，渐次生成“结构化板书”——以“分式单元起始课”教学为例[J].中学数学，2018（24）.

[2] 刘东升.从几何研究的基本方法出发——用“作图”驱动“点和圆的位置关系”教学[J].教育研究与评论（中学教育教学），2018（6）.

[3] 刘东升.“形散神聚”的主题，“浅入深出”的环节——中考二轮微专题复习课《无处不在的边角关系》教学流程与立意[J].教育研究与评论（中学教育教学），2018（4）.