高起点，深挖掘

陈云

摘要：当学生已经站得比教材设置的起点高时，我们可以引領学生向纵深的方向探究知识更本源的意义和更宽泛的运用，通过思考路径的立体呈现，使得学习不因“已然知道”而无趣，重新赋予数学知识应有的魅力。“乘法口诀”的教学，通过前测了解学生学情，确定教学内容和目标，以“乘法口诀从哪里来？”“乘法口诀能干什么？”“乘法口诀有什么规律？”三个问题推进，并通过“图解数学”展示学生的思考路径，引导学生深刻理解乘法口诀的内涵和意义。

关键词：学情前测问题驱动图解数学乘法口诀

当前良好的“学前”教育、家庭教育，让学生的认知水平普遍高于教材设置的起点。基于学生“已经知道了”的学情，教师的“教”更要有针对性，方能促进学生的“学”。

乘法口诀，我国古代早已有之，又因其特有的声韵特点，读来朗朗上口，如同好听的儿歌。所以，很多学龄儿童都早早地学会了背诵，至二年级上学期，多数学生已经耳熟能详。学生对乘法口诀已经熟练到什么程度？在学生对乘法口诀“似曾相识”的学情下，如何帮助学生放大认知背景，理解口诀的内涵？……基于这些思考，我们尝试通过前测了解学生对乘法口诀的掌握情况，并在教学中通过问题驱动和“图解数学”，引导学生发现乘法口诀纵向、横向的发展和联系，深刻理解乘法口诀的内涵和意义。

一、确定教学内容及目标

我们对全校二年级8个班的256名学生进行了前测，情况见下页表1。

从中可以看出：学生对乘法口诀已经有了很高的认知水平;虽然对于乘数较大的6、7、8、9的口诀略显陌生，也只是熟练程度的问题，并不是不会这些口诀。针对这样的学情，如果教学还是从“一一得一”开始，则很难调动学生的学习积极性，对学生思维发展的作用也十分有限。

于是，我们对苏教版小学数学教材教学内容的安排做了少许调整：将第一课时的教学内容从1—4的乘法口诀扩展至1—5的乘法口诀，因为通过前测发现，除1的口诀外，学生对5的口诀掌握得最熟练，加入5的口诀，不但不会增加学生的学习负担，反而令口诀的完整度更好;而6—9的口诀另开课时教学，避免学生把大量的精力用来记忆口诀，影响“理解口诀”这一重要教学目标的达成。

据此，我们把教学目标确定为：

1.结合具体的例子解释乘法口诀是怎么得来的，从乘法口诀纵向发展的角度理解其含义，掌握并逐步熟记1—5的乘法口诀;

2.结合具体的例子用“图解数学”的方式阐明乘法口诀能解决哪些生活中的问题，以横向铺开的方式拓展思维路径，积累数学活动经验;

3.初步感知乘法口诀中纵向、横向的排列规律，并运用规律展开合理猜想，培养概括、发现及运用简单规律的能力，增强自主学习的意识。

二、以问题推进教学

（一）乘法口诀从哪里来

知道不等于理解。学生能熟练背出1—5的乘法口诀并不代表他们已经对乘法口诀知根知底，我们不妨追问一句：“乘法口诀从哪里来？”通过追寻乘法口诀的来龙去脉，深层次解构数学知识。

教师首先提出问题：“乘法口诀是怎么来的？请你任意选择一句口诀，说清楚它是怎么编出来的。”有学生以“三四十二”为例进行解释：“因为3×4=12，所以就有了三四十二。”一个例子不足以说明问题，教师及时组织适合低年级学生的游戏“找朋友”——请三位分别手持写有口诀“一四得四”“四五二十”“三三得九”的卡片的学生站到台上，台下手握算式的学生如果认为某个口诀是由自己手中的算式得出来的，就到台上和相应的“口诀宝宝”汇合。全班学生通过观察、比较，有了以下收获：（1）交换了（不同）乘数位置的两道算式得出的是一句口诀，口诀中一般是把较小的乘数编在前面;（2）积是一位数时，为了口诀好读、好记，就在乘数和积之间加个“得”字，积是两位数时，分别读出乘数和积;（3）两个乘数一样时，一句口诀只对应一道算式。

通过观察、比较和归纳，学生对口诀的编制过程有了初步的感知，似乎已经解决了口诀的“来龙”问题，但仍有意犹未尽之感。教师继续提出问题：（1）为什么不是一道算式编一个口诀呢？如果把所有的乘法算式都编成口诀，会怎么样？（2）先有算式，后有口诀，那没有口诀的时候，你的乘法算式是怎么计算出来的？如果一直没有口诀，会怎么样？（3）我折了3串千纸鹤，每串4只，一共有几只千纸鹤？你能一步一步地编出口诀吗？根据学生的回答，教师逐步板书：3个4相加的数学问题→4+4+4=12→3×4=12→三四十二。至此，学生对乘法口诀的纵向发展脉络有了比较清晰的把握。

（二）乘法口诀能干什么

对于这个问题，学生很自信地回答：解决乘法问题。这样的回答很官方，是教师之前套路式教学的结果，并不代表学生头脑中对“解决问题”这一复杂概念有深刻的理解。

为了帮助学生将自身朴素的经验和感觉与数学知识的本质有效贯通，教师给出活动主题：以“三四十二”为例，它能解决生活中的哪些问题呢？画一画或写一写。学生用“图解数学”的方法展示各种问题：“4包糖，每包3颗，一共有几颗？”“4位小朋友，每人有3元钱，一共有几元钱？”等4个3相加的问题; “3堆小棒，每堆4根，一共有几根？”“3缸金鱼，每缸有4条，一共有几条？”等 3个4相加的问题。顺着学生的思路，教师进行了如图1所示的归纳。

这是数学建模的悄然发生。同时，每个学生都用不同的情境阐释了自己对这个问题的理解，把一句口诀所能解决的问题的外延尽可能扩展，甚至包括“12人的舞蹈小组正在排队，每队排了4人，排了几队？”这样的“准除法”问题。不得不说，乘法口诀于此时实现了价值最大化。

通过以上两个问题的驱动，学生深刻地感知到：乘法口诀来自现实问题的解决，又反过来更简便地解决现实问题。这正是数学发展的基本逻辑。

（三）乘法口诀有什么规律

数学学习不能只有“知识”这一明线，还应有“能力”这一暗线;“明线”“暗线”相互交融，才是更有效的学习。因此，教师设置了一个看似极为常见的“找规律”环节：提供一张口诀表（如图2），让学生进行补漏、纠错和猜想，对乘法口诀展开进一步的思辨，从而继续完善自身的认知结构。

一一得一一二得二二二得四一三得三三三得九一四得四二四得八四四十六一五得五二五一十三五十五四五十八五五二十五

教师同时为学生的思辨提供了支架：（1）空白的地方，你能补上吗？为什么要这样补上？（2）这里面有一句口诀错了，你能找到吗？你能修改吗？为什么要这样修改？（3）根据你发现的规律，猜一猜“二五一十”“四五二十”下面的一句口诀分别是什么？“三三得九”“四四十六”等口诀的后面会不会还有口诀？为什么？这三个问题的解决，学生既可以通过乘法口诀的意义进行解释，也可以从乘法口诀表中蕴含的规律（横向，前一个乘数依次加1，后一个乘数不变;纵向，前一个乘数不变，后一个乘数依次加1;不管哪个方向，积都是增加不变的那个乘数……）加以推理。这是对乘法口诀意义的又一次巩固，同时还培养了学生发现、概括和运用规律的能力。

三、教学反思

（一）问题驱动，理顺思维过程

“语言”是学生表达思维过程非常重要的媒介，尤其是在一、二年级的数学学习过程中。怎样促使学生有效地“说”？教师的“问”尤为重要。在上述教学过程中，教师充分发挥了“问”的作用。有“大问题”框架，即“乘法口诀从哪里来？”“乘法口诀能干什么？”“乘法口诀有什么规律？”，使得整个学习流程清晰、简练，目标聚焦、集中;又有直指核心知识的“子问题”的逐级递升，形成有层次性的问题脉络。如“乘法口诀从哪里来？”教学环节的3个问题呈现了乘法口诀的发展脉络，是递进发展的关系;“乘法口诀有什么规律？”教学环节的3个问题用不同的方式（补漏、纠错、猜想）发现和巩固乘法口诀中的规律，是平行发展的关系。这样的问题支架让学生的“说”有了方向和抓手，大大提高了课堂效益。

（二）“图解数学”，展示思考路径

如何让学生充分地展示活动成果，清晰地讲解思考路径？教师采用了“图解数学”的方式。学生相同的答案背后，思维过程往往并不一样。虽然同是“三四十二”这句口诀所要解决的问题，但是，有的学生画出了具体、生动的“故事”（见图3），这样的答案温暖、活泼，为今后解决生活中的数学问题提供了范例;有的学生画出了简单明了的图形（见图4），这样的答案形象、直观，是这一类问题模型建构的基础;有的学生写出了一些算式（见图5），这样的答案严谨、抽象，囊括了一句口诀所能解答的各种计算问题。可以看到，学习过程因“图”而丰富，使“解”更有趣，能帮助学生建立起不同思路之间的联系，有效拓展思维的宽度和深度。

當学生已经站得比教材设置的起点高时，我们可以引领学生向纵深的方向探究知识更本源的意义和更宽泛的运用，通过思考路径的立体呈现，使得学习不因“已然知道”而无趣，重新赋予数学知识应有的魅力。

本文系江苏省苏州市教育科学“十三五”规划重点课题 “运用思维可视化发展小学生数学思维的实践研究”（编号：191007059）的阶段性研究成果。