三角形内角和定理教学设计的新视角

孟莹 张昆

人教版数学四年级下册“三角形的内角和”的教学内容，教科书通过引导学生动手操作、观察猜想等一系列活动，进而得出“三角形的内角和是180°”的结论。在此类教学设计中，教师利用辅助线能帮助学生更好地理解“三角形内角和是180°”。但由于学生可以从图形中直接看到辅助线，因此这个过程中只锻炼了学生的观察能力，没有锻炼他们发现辅助线的探究能力与逻辑思维能力。学生只有经由这两种能力的锻炼，才能准确把握该知识点的本质内涵。因此，教科书上的这种教学方式如果教师把握得不好，就会演变成现象上的教学，而不是思维上的教学，更不是本质上的教学。

《义务教育数学课程标准（  011年版）》指出，教师应该摒弃灌输式的教学模式，运用启发式教学方法，才能达到用教材教而不是教教材的目的，也才能够帮助学生更好地理解教科书上的相关知识点，引导学生透过现象看到问题的本质。在长期的教学实践中，教师有时不知如何从现象教学过渡到思维品质教学。笔者以“三角形内角和定理”教学为例，详细阐述如何培养学生的逻辑思维能力和探究能力。

关于“三角形內角和定理”内容，在人教版四年级和八年级的数学教科书中都有所涉及。对于四年级学生而言，他们的心智和技能还不够成熟，主要以具体形象思维为主，所以教科书采用度量和剪拼的方法，得出“三角形的内角和等于180°”这个概念。但是通过度量和剪拼，采用操作、观察与实验的方式，得到的结论只是近似的。因为在测量和剪拼中都极有可能出现误差，而且这种方法只是一种验证，不是精确的数学证明。所以，学生只从现象上发生认识，并不能让人信服。然而这种教学方式对于四年级学生来说，却是极易理解的。

八年级教科书再一次提及了“三角形的内角和定理”这一内容。由于八年级学生已经掌握了平行线的性质与判定定理等平面几何知识，对于公理化的推理论证在感性上也有一定的认识与认同，并且初具抽象逻辑思维，就可以通过推理、探究的方式证明三角形的内角和是180°。八年级教科书给出了两种证明方法。

第一种方法如图1所示，过点A作BC的平行线l，使l∥BC，根据“两直线平行，内错角相等”得出三角形的内角和等于180°;第二种方法如图  所示，延长BC，过点C作AB的平行线l，使AB，根据“两直线平行，内错角相等”和“两直线平行，同位角相等”得出三角形的内角和等于180°。

这两种教学方式都存有弊端。从表面上看，这是两种不同的证明方法，但是从本质上来说，都是“无中生有”地画出一条辅助线，是通过操作与观察将这条辅助线轻松地告知学生，而不是学生探究发现的结果，这就极大地损伤了它的教学价值。这种教学方法从整体上来说是合乎逻辑的，但会导致学生只“知其然而不知其所以然”，即只知道这条辅助线对证明三角形内角和定理很有用，却不能理解这条辅助线的真正含义。这就走了“灌输式教学”的老路子。这种“灌输式教学”的影响是消极的。当学生再次面对这种类型的题目时，由于他们对此类题目已经有了一定的认识，可能很快可以解决。可是如果将题目进行变式，那么这时由于学生的思维已经受到了限制，他们便无法解决变式的题目。

综上所述，作为一名教师，如果无法合理运用教科书所提供的教学设计来进行教学，学生就只能一味地进行接受学习，这在一定程度上束缚了学生的手脚，限制了学生的思维空间，学生可能就会感受不到学习数学的乐趣。

笔者按照教科书的指引，对于证明“三角形内角和是180°”所用到的这条辅助线产生了思考，从特殊的直角三角形入手，设计了如下教学设计。

师：直角三角尺分有30°和45°两种（如图3和图4所示），那么有哪位同学可以告诉老师，直角三角尺三个内角的和是多少度呢？

生1：图3中三个内角的度数和为∠A+∠B+∠C=180°;同样的，图4中三个内角的度数和也为∠A+∠B+∠C=180°。

师：很好！那么我们来思考一下，如图5所示，任意直角三角形的内角和也是180°吗？

师：生7的这种方法将本节课的创新部分和教科书上的证明方法紧密结合，顺理成章地证明了一般三角形的内角和也是180°。但是需要说明的是，图11虽然是一个一般三角形，但是由于我们将△ABC的边AB做了一次特殊的平移，也就意味着这个一般三角形也被我们特殊化了。

师：根据以上从特殊的直角三角形到一般三角形的分析，我们证明了任意三角形的内角和都等于180°。

师：同学们的这些想法都间接地说明了我们的教学过程是如何从现象过渡到思维品质的。当然，我们最初还是需要从现象入手，通过观察比较，逐步深入到本质。

现象是进入本质的向导。正是思维的作用，现象与本质的联系才更为明显地表现出来。如果思维在教学过程中不起任何作用，那么现象还是现象，我们也就无法挖掘一个知识点的本质与内涵。

对于以上教学设计，教师首先从直角三角尺出发，一步步引导学生对“三角形的内角和是否等于180°”的问题产生兴趣，鼓励学生从兴趣入手。然后教师再稍加引导，通过画辅助线的方法求出任意直角三角形的内角和都等于180°。同时，这条辅助线也为后续证明一般三角形的内角和也是180°奠定了基础。学生通过这条辅助线，自然而然地想到：要想证明三角形的内角和是180°，可以在三角形的内部或者外部作一条垂线，构造出直角三角形，那么所有问题都可以迎刃而解了。这种教学设计和教科书中的教學设计相比，优点在于教师是从思维上进行教学，而不是从观察上进行教学。这样不仅培养了学生的逻辑思维能力和探究能力，还践行了奥苏贝尔所提出的先行组织者概念。如果我们将以上教学设计分为几个小节，那么每个小节都成为下一个小节的引导性材料，这样学生的思维才具有连贯性，同时也便于下一小节教学设计的开展。

弗赖登塔尔说，数学在其发展过程中，走过漫长而曲折的道路，它不断修正自己的进程，避开过弯路，绕过死胡同，重新明确前进的方向[1]。本文所阐述的教学设计也是如此。如果学生没有思路证明一般三角形的内角和是否为180°，教师可以尝试引导学生从特殊直角三角形入手，开辟一条从特殊到一般，再从一般到特殊的道路，学生就会运用先前学习或者证明过的知识作为基础，主动构建已获得的知识和即将掌握的知识之间的桥梁，牢牢地将这些知识捆绑在一起。这样不仅有利于学生巩固先前的知识，更有利于他们掌握未知的知识。

教学不能仅仅只满足于教师教一个知识点，学生会一个知识点，更重要的是教师要向学生传授解决这种题型的方法。“授之以鱼不如授之以渔”，学生一旦掌握了这种解题方法，以后遇到这一类型的题目便可以一通百通了。这不仅体现了学生在学习中的主体地位，而且还发挥了教师作为学习的组织者、引导者和合作者的作用。

这种教学设计的特点是运用化归的思想方法解决问题。化归不仅是一种重要的解题方法，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式。运用化归的思想方法解决问题，我们可以化繁为简、化难为易。具体来说，当我们对一道题目无从下手时，可以将这个问题划分为几个部分，每个部分都设一个中途点作为联系上下部分的纽带。学生在思考问题时，如果无法想到下一步该如何进行，教师就可以引导学生向中途点进行靠拢，稍加提示，鼓励学生自己发现问题的答案，而不是一味地将答案捧给学生。

以本课的教学来说，在上课开始之前教师抛出“直角三角尺的三个内角和是多少度”的问题，这时学生就可以根据已经获得的经验得出直角三角尺的三个内角和等于180°。这个结论可以作为第一个中途点，紧接着就可以引出后续的一系列问题了。

教师在教学设计时，这种精准把握数学知识结构与学生发生数学知识结构认识不是一件容易的事，这就形成了数学教学设计中的最近发展区策略。笔者认为，这种思想方法也应该广泛应用于高考解题方法教学中。大多数学生对高考数学压轴题（试卷中最后一个大题）都有胆怯心理，甚至不敢尝试去做。对于这种压轴题，教师可以鼓励学生运用化归的思想方法，将题目分成几个小部分，化整为零，从而一步步地接近答案。“千里马常有，而伯乐不常有”，作为一名新时代的教师，我们要牢牢把握最近发展区策略的关键点，坚信每个学生都有自我发展的可能，及时给学生提供自主探究、自我思考的机会，激发学生在数学学科中的潜能。

张乃达在其著作《数学思维教育学》一书中曾提出，特殊化可以帮助我们寻求一般问题的解法。在数学发现活动中，特殊化起着揭示信息的作用。我们可以通过对特例的考查，进行归纳，提出猜想，再利用特例来验证或否定猜想，进而证明或修正结论。这是数学发现活动中常见的程序。这说明，特殊化是数学中的实验手段，它在数学中起着类似实验在物理、化学等学科中的作用。一般化过程是发散的思维过程，一般化的途径与结果都是不确定的。所有这些都使一般化方法具有创造性，同时又成为进行创造性思维训练的重要手段。华罗庚教授也说过，这是一般的研究方法，先足够的退到我们容易看清问题的地方去，看透了，钻深了，然后再上去[3]。在经历了从特殊到一般，再从一般到特殊的教学过程之后，学生就理解了三角形内角和定理这一概念性教学的本质。这样教师和学生都能更好地吃透教材，在充分理解教材向我们传达的思想之后，又能更进一步拓展这个知识的内涵，相当于对教材进行了二次开发。

参考文献：

[1]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平，唐瑞芬，译.上海：上海教育出版社，1995.

[  ] 张昆，张雨晴.运用最近发展区策略示例——透过数学教学设计的视点[J].中学数学教学，  018（3）：4-8.

[3]张乃达.数学思维教育学[M].南京：江苏教育出版社，1990.