利用COMSOL仿真进行二维光子晶体的教学

邱伟彬 林志立

摘  要：文章以COMSOL RF 模块为工具，进行半导体光电子学课程中的光子晶体的教学。文中以介质光子晶体和色散材料光子晶体为例，给学生介绍了如何利用商用软件计算特定结构的光子晶体的能带结构，并且实现二维光场结构的可视化输出，使学生既掌握光子晶体能带结构的特点，又掌握如何使用商用软件来获得此能带结构。

关键词：COMSOL;光波导;仿真;商用软件

中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2019）07-0084-03

Abstract： In this paper， we use COMSOL RF module as a tool to teach photonic crystals in semiconductor optoelectronics course. Taking dielectric photonic crystals and dispersive materials photonic crystals as examples， this paper introduces how to use commercial software to calculate the band structure of photonic crystals with specific structures， and realize the visual output of two-dimensional optical field structure， so that students can not only grasp the characteristics of band structure of photonic crystals， but also grasp how to use commercial software to get the band structure.

Keywords： COMSOL; optical waveguide; simulation; commercial software

一、概述

光子晶體是一直介电常数受到周期性调制的结构，类似于电子在晶体中的运动受到晶体中受到周期性势场限制而呈现的允带和禁带，光子在周期性介电常数分布的结构中传播时也出现允带和禁带，因此该晶体就被形象地称为光子晶体。同样类似于晶体，光子晶体也可以分为一维，二维和三维结构。光子晶体是半导体器件中的一个重要结构，以光子晶体为基础，可以构建包括光波导、半导体激光器、分束器等一系列重要集成器件。在《半导体光电子学》课程中是一个重要内容，是电子科学与技术专业本科和硕士教学中的一个重点。

传统的光子晶体教学方法是从解麦克斯韦方程出发，利用布洛赫定理，再采用平面波近似或紧束缚近似的方法获得光子晶体能带结构。这个方法基本上与第一性原理计算固体能带的方法类似。其特点就是需要复杂的微分方程、电磁场理论、矢量分析等高深数学工具。在教学中往往需要冗长和晦涩的数学推导，同时，色散介质（介电常数随着光波长的变化而变化）光子晶体能带结构的计算则更加复杂难懂，导致学生望而生畏而失去兴趣。因此光子晶体部分的教学一直以来都是本科高年级和硕士生《半导体光电子学》的一个难点。因此部分教材干脆抛弃这部分内容，导致学生知识面缩窄。如何有效进行该部分的教学，引导学生的学习兴趣是摆在面前的一个重要课题。

本文根据工科本科生和硕士生的特点，避免冗长晦涩的数学推导，充分发挥商用软件的优势，简单生动地得到光子晶体的能带结构，利用软件自带的可视化输出功能，使学生快速掌握光子晶体概念获得能带结构和光场分布。结合利用迭代方法，获得色散介质的光子晶体的能带结构。通过教学实践，获得了良好的教学效果。

二、COMSOL RF模块的基本特点及优势

COMSOL是一个基于有限元方法求解各类偏微分方程的商用软件包，这个软件包包括了射频（RF）等20多个模块。RF模块被用于在一般电磁波领域内求解电磁问题，比如射频，微波，光学和光子学问题。该模块含有多个求解器包括本征值，边界模，频域传播等，可以轻松获得电磁波在介质和空间的传播或局域化等特性，进而获得传播常数，有效折射率，品质因子，损耗系数等参数。这个模块的优势是可以将人们从繁琐的编程中解放出来，无需编写程序求解麦克斯韦。只要画出所设计的光学结构，设定好材料参数，选用合适的求解器，软件即可给出合适的输出，人们可以根据软件输出研究电磁波（光波）的本征特性和传播特性。这个软件对于形象地理解半导体光电子器件的基本原理特别有效。尤其是数学基础较差的工科学生来说，可以避免繁杂的数学推导，直接获得器件中的电磁场分布和特征性质，是一个很有用的教学工具。

三、二维介质材料光子晶体的教学过程

我们首先以二维介质材料光子晶体为例，进行光子晶体能带结构的教学。首先我们考虑一个以硅柱为散射体的立方晶格的光子晶体。由于我们考虑的是光波长1微米在近红外区域，硅材料在这个区域范围内的折射率不随着波长的变化，同时其对光的吸收也可以忽略，因此可以将这个光子晶体结构考虑为纯介质光子晶体。根据固体物理和半导体物理的知识，要获得晶体的能带结构首先应该知道其K空间中的布里渊区。此时可以引导学生回忆复习固体物理和半导体物理的相关内容，对于跨专业的硕士生可引导他们自主学习该部分知识。

图1所示的就是所教学的硅材料光子晶体结构元胞示意图和简约布里渊区示意图。我们首先在COMSOL RF模块对话框打开参数对话框，输入所需要的参数，如硅折射率 3.4，硅柱半径 0.5um，正方晶格元胞的周期2um，即晶格常数等。整个晶体置于空气之中，即周围的折射率为1。设置K空间中的kx1=2Π/a， ky1=2Π/a。在材料对话框中设置硅材料折射率为3.4，空气折射率为1.0.接下来我们在方程的对话框中设定周期性边界条件，即kx=n*kx1，

ky=n*ky1， 对于kx，ky来说，根据所需要的K空间所需要计算的方向，n可以各自从0 到1取值。最后选取本征频率求解器。对模型进行n值的扫描，即可获得所需方向上的能带图形。作为一个例子，我们求解了K空间中从（0，0）到（0，kx1），再到（kx1，ky1）最终回到（0，0）这个路径的能带图。图2所示的即为该路径的能带图。图中可以明显看出，能带之间明显存在着带隙。以该模型为出发点，让学生掌握如何计算光子晶体中的缺陷模式的本征频率，品质因子和光场分布。最终讓学生掌握介质光子晶体的概念、特点、优势和其他拓展知识。

四、二维色散材料光子晶体能带的计算

对于二维色散材料光子晶体来说，其折射率随着频率的变化而变化，因此模型中不能直接求解本征频率，而是要利用迭代的方法来计算。模型的构建和各种参数的输入与介质材料光子晶体一样。不同的是，我们首先输入一个猜想的本征频率f0， 根据模型计算输出频率f1，由于色散材料的原因，一般情况f0不等于f1，这时我们将f2=（f0+f1）/2代替f0作为猜想频率输入，得到输出频率，比较输入频率和输出频率的差值，当这个差值小于一定的范围时，即可认为这个结果就是本征频率，再改变其他参数，直至获得整个能带结构。

我们以石墨烯材料为例，构建二维色散材料光子晶体，图3（a）所示的是光子晶体原胞示意图，大面积部分石墨烯的化学势uc1=0.7eV，而纳米盘的石墨烯化学势uc2=0.4eV， 晶格常数为50nm， 纳米盘直径为20nm。图3（b）所示的就是向对应的能带图，图中也可以明显看出两个允带之间存在着一个禁带。同样地以此模型为出发，让学生掌握石墨烯光子晶体中地缺陷态模式，计算其缺陷态模式的频率，电磁场分布和品质因子等重要参数。

五、结束语

本文以COMSOL RF模块为工具，在本科高年级和硕士生半导体光电子学中的光子晶体的教学过程中，绕开了冗长繁琐的数学推导，以二维介质光子晶体和色散介质光子晶体能带结构为例，数值化给出了光子晶体能带结构，同时进行可视化输出。并以此为基础，让学生掌握缺陷模式的计算与仿真，收到了良好的教学效果。

参考文献：

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