设而不求思想的拓展应用

黎平

摘要：设而不求是解析几何的基本思想，本文将设而不求思想的应用范畴从非对称型拓展到对称型，从双交点型拓展到单交点型，从线参数型拓展到点参数型，并通过三拓展深刻揭示了设而不求的“思想架构”.

关键词：设而不求;整体方式;消元方式;形式变换法;联立消元法; 表示代入法;构造代入法;点参数;线参数

设而不求是解析几何的基本思想，在直线与圆锥曲线相交条件下求解的解析几何问题可以称为直线与圆锥曲线相交问题，在这类问题中，我们可设出交点坐标，用交点坐标表示几何条件、几何结论和几何量，但并不求出交点坐标，而通过整体代入等方式简化运算，这就是设而不求思想。

在直线与圆锥曲线相交问题中，交点坐标表示几何条件、几何结论和几何量得到的式子可称为坐标式，当坐标式是对称式时，我们不难应用设而不求思想进行求解，这是我们所熟悉的设而不求思想的应用范畴，其实这一应用范畴可以得到很大的拓展，本文正是论述了设而不求思想在三个方向上的重要拓展。

一、由对称型到非对称型

在直线与圆锥曲线相交问题中，当坐标式是对称式时，我们称为“对称型”，在对称型问题中不难实现设而不求.当坐标式是非对称式时，我们称为“非对称型”，在非对称型问题中如何实现设而不求呢？这有两种方法，其一是“形式变换法”，其二是“联立消元法”。

1.用形式变换法实现设而不求

这个问题中的坐标式是非对称式，解法一利用韦达定理对坐标式进行了形式变换，再整体约分，而解法二则是利用椭圆方程对坐标式进行形式变换，将其变换为对称式后用韦达定理.

由以上解法可见当坐标式是非对称式时，可利用韦达定理或圆锥曲线方程对坐标式进行形式变换，再通过整体代入、整体约分或整体消去实现设而不求，这种方法就是形式变换法.

在形式变换法中，我们通过形式变换达到整体代入、整体约分或整体消去的目的，从而实现设而不求.

2.用联立消元法实现设而不求

在联立消元法中，我们设出了交点坐标，但并不求出交点坐标，而通过消元简化运算，这就实现了设而不求.但当坐标式比较复杂时，将坐标式与韦达定理两式联立后，消去坐标并不容易，所以联立消元法更适用于坐标式比较简单的问题.

二、由双交点型到单交点型

在直线与圆锥曲线相交问题中，几何条件、几何结论和几何量一般都涉及两个交点，这就是所谓的”双交点型”，但有时也只会涉及一个交点，这是所谓的“单交点型”.对单交点型问题能否实现设而不求呢？单交点型问题如果涉及交点分线段所成比值 ，可采用“ 表示代入法”实现设而不求.

在以上问题中参数是椭圆的基本量a、b、c，要求 范围，应将 用a、b、c表示，再进而用离心率e表示，那么如何用a、b、c表示 呢？在以上解法中，我们先设出交点坐标，利用向量建立交点坐标与 的关系式，然后用 表示交点坐标，再将表示式代入椭圆方程消去交点坐标，建立起 与a、b、c的关系式，这就是 表示代入法. 表示代入法主要適用于单交点型问题中涉及交点分线段所成比值 的问题.

在 表示代入法中，由于 的特殊“向量性”（即 满足向量数乘关系），我们可将交点坐标用 表示，从而通过代入椭圆方程消去交点坐标，这其实是通过消元方式实现了设而不求，这一点正如联立消元法.

三、由线参数型到点参数型

1.点参数型中的“设而不求”

在点参数型的直线与圆锥曲线相交问题中，我们常设出交点坐标作为参数，交点的横、纵坐标和不同交点的坐标之间都有一定的约束关系，所以交点的横、纵坐标可以用其它坐标进行表示.如果只是设出交点坐标作为参数但不进行这样的表示，而通过整体约分等方式简化运算，这就是点参数型问题中的”设而不求”.点参数和线参数型问题中的设而不求形有异，但质相同，这正是殊途同归.

如何在点参数型问题中如何实现设而不求呢？这有两种方法，其一是”形式变换法”，其二是 “构造代入法”，这里重点介绍后者.

2.构造代入法与点参数型

为了简化运算，在以上解法中我们根据 这两个条件通过方程相乘和相加的方式构造出了 这两个式子，再利用圆的方程得出 ，通过整体代入就消去了这些参数，这种方法的关键是构造出 这两个式子，我们可以称其为构造代入法.

数学中的思想方法是深刻的，所以我们对数学思想方法的认识是一个不断深入的过程，对于那些熟悉的思想方法，在”蓦然回首”之时，我们或许会有新的认识和感悟.在中学数学的教学和解题中，我们应该以新问题和新方法为契机和原动力，对于那些我们所熟悉的思想方法进行再认识和再思考，这一定可以让我们有全新的发现。

参考文献：

[1]直线与圆锥曲线综合问题的求解策略[J].中学教研（数学），2013（2）：17-20.