初等数学中待定系数法的应用

卢雨晴

摘 要：待定系数法是一种求未知数的基本的数学方法，而且也是初等数学重要的思想方法.本文从待定系数法的概念出发，结合初等数学教学中许多相关的具体实例，介绍了待定系数法在其中的一些基本应用，体现了待定系数法应用的广泛性以及重要性.

关键词：待定系数法;方程思想;待定系数法的应用

一、待定系数法在因式分解中的应用

对于因式分解的问题有我们有很多种解题方法，比如所熟悉的提公因式法、配方法、分组分解法、换元法等等，事实上，也可以利用待定系数法对多项式进行因式分解，尤其是对于高次多项式的分解更加简便. 采用待定系数法对因式进行分解，其最大的优越性在于能够清楚地确定，原式究竟可以具体分解成几个整式之间的乘积.

例1  将多项式2x2+5xy+3y2+3x+5y-2进行因式分解.

解  因为2x2+5xy+3y2=（x+y）（2x+3y）.由题意得此二次多项式可以表示成x+y+m和2x+3y+n的乘积的形式，故令

2x2+5xy+3y2+3x+5y-2=（x+y+m）（2x+3y+n），

因为（x+y+m）（2x+3y+n）=2x2+5xy+3y2+（2m+n）x+（3m+n）y+mn，根据多项式恒等原理，则有

解得m=2，n=-1，综上

2x2+5xy+3y2+3x+5y-2=（x+y+2）（2x+3y-1）.

二、待定系数法在数列问题中的应用

在解决数列的相关问题中，我们最为常见的数列就是等差数列和等比数列，而且在高中期间求它们的通项公式对于我们来说也非常容易的.但是，在初等数学研究中，我们也经常需要求解一个既非等差数列又非等比数列的通项公式，尤其是会在已知条件中，明确的给出数列相邻两项并成线性关系的时候，这往往就需要我们用待定系数的方法来解决此类问题.

例2  对于数列{an}，有，求此数列{an}的通项公式.

解 由题意设数列{an+k}是等比数列，k∈R.因为an+k=3（an-1+k），则an=3an-1+2k，可得k=2.

所以{an+2}是以1为首项，3为公比的等比数列.故有an+2=3n-1，

综上可得数列的通项公式为an=-2+3n-1（n∈N*）.

三、待定系数法在解析几何中的應用

待定系数法最为常见的应用就是于解析几何问题中的应用，例如在高中期间，我们学习了椭圆、双曲线以及抛物线的方程以及相关的性质.在解决这类问题时，待定系数法就得到了充分的应用.将待定系数法进行灵活的利用，有利于提高同学们的解题速度.

例3  抛物线的焦点F在x轴上，直线y=-3与抛物线交于点A，且|AF|=5，求满足此条件的抛物线的方程.

解  设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2=2px（p≠0），A（m，-3）.由抛物线的定义，得

.

又2pm=（-3）2，p=±1或p=±9.

综上所求的抛物线方程为y2=±2x或y2=±18x.

总结

本文阐述了待定系数法在解决初等数学问题中的应用以及论述了相关解题技巧. 在很多初等数学问题的解决过程中，直接对问题进行求解会显得很繁琐，甚至很多时候无法求出问题的答案，如果采用待定系数法就可以很容易的找到未知数与已知数之间的必要联系，然后通过列出某些待定系数所满足的方程组并求出其值，最后再根据已知条件解题就可以使问题化繁为简.总而言之，采用待定系数法使解题思路更加清晰，操作起来也更加方便.

参考文献

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[2]顾凤.待定系数法在数学问题中的应用[J].中学生数理化.学研版.2014（9）

[3]郑德琴.浅谈待定系数法在数学解题中的应用[J].希望月报.2007（6）

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