“研究型教学”指导下的“导数的概念”教学设计

王野

摘要：灵活使用“高中数学研究型教学”的ADE设计模型和“五环十步”教学模式指导“导数的概念”的教学设计。前期分析准备包括知识产生的背景与固着点、知识生长的过程与阶段、知识建构的策略与方法、知识间的联系与结构、知识的要点与本质、知识的学科意义与教学价值等学习内容的分析，以及学生认知基础、学生认知障碍、克服障碍的措施等学生认知的分析。教学过程包括“呈现背景，提出问题”“联想激活，寻求方法”“提出猜想，验证猜想”“归纳抽象，建立概念”“运用巩固，内化迁移”“回顾反思，拓展深化”等环节。

关键词：研究型教学ADE设计模型“五环十步”教学模式导数的概念

李昌官老师提出的“高中数学研究型教学”，给出了ADE设计模型和“五环十步”教学模式。ADE设计模型把教学设计分为前期分析准备、中期开发设计和后期评估修正三个阶段。它提醒我们，既应加强学习内容和学生认知的分析，使教学设计建立在“知己知彼”的基础上，也应对初步形成的教学设计进行反复论证与修正，使之不断完善。其中，7张各环节的思维导图更是为教学设计提供了可资借鉴的技术路径，使教师能够思考一些自己平时想不到的问题，完成一些自己独立做不好的事情。而“五环十步”教学模式则为教学过程设计提供了基本框架和思路，极大地提高了教师“为数学学科核心素养而教”的技术水平。笔者灵活使用它们指导了“导数的概念”的教学设计。

一、前期分析准备

（一）学习内容分析

1.知识产生的背景与固着点分析。

导数概念产生的背景有两个：一个是物理背景，即随着16世纪大航海时代的到来，实际生产生活的需求对数学家提出了两类问题——已知物体运动的位移关于时间的函数时如何求物体的速度与加速度，如何求曲线的切线;另一个则是数学背景，即如何精确地刻画函数单调递增或递减的快慢程度。因此，函数单调性、平均变化率、瞬时速度是导数概念产生的固着点，导数的概念正是通过对瞬时速度的提炼、抽象、概括与推广得到的。

2.知识生长的过程与阶段分析。

导数概念的形成经历了以下几个阶段：（1）认识到精确地刻画函数在某一点处变化快慢的必要性;（2）通过直觉获得求瞬时速度的基本思想，即无限逼近;（3）从几何直观上得到无限逼近的具体方法，即以直代曲;（4）通过数值计算、数值分析、形式化运算求得瞬时速度，在与物理学中求匀加速运动瞬时速度的对比验证中认识导数方法的正确性、科学性与应用的广泛性;（5）通过不断地抽象与符号化提炼导数的定义;（6）根据导数的概念及导数与平均变化率的关系理解导数的几何意义。

3.知識建构的策略与方法分析。

导数概念建构的主要策略与方法有三个：一是以直代曲，因为导数是一种特殊的极限，因此构建导数概念的基本策略是无限逼近，而逼近的具体方法是以直代曲;二是数学抽象，因为导数概念是从瞬时速度、瞬时加速度、瞬时反应速率等具体概念中抽象出来并通过形式化获得的理想结果，这是一个不断地从特殊到一般、归纳概括的过程;三是数形结合，因为无论导数概念的建立还是其几何意义的获得，都离不开几何图形提供的直观感知。

4.知识间的联系与结构分析。

导数与平均变化率、极限的关系：导数是平均变化率的极限，求平均变化率、取极限是求导的两个步骤。导数与单调性的关系：单调性是对函数变化趋势的定性刻画，导数是对函数在某一点处或某一个小范围内变化快慢的定量刻画，单调性是导数产生的萌芽。导数与切线的关系：导数是函数图像切线斜率的代数表征，函数图像切线斜率是导数的几何表现。导数与瞬时速度的关系：瞬时速度是一种特殊的导数，是导数的一种具体表现，而导数则是瞬时速度的抽象化和一般化。

5.知识的要点与本质分析。

一方面，导数是函数的瞬时变化率，是精确地刻画函数在某一点处或某一个小范围内变化快慢的数量。另一方面，导数是一种特殊的极限运算，是求函数的瞬时变化率，即求函数在任意一点或一个小范围内变化快慢情况的算法，是求曲线切线斜率的一般性数学方法。

6.知识的学科意义与教学价值分析。

微积分的创立标志着数学研究从常量关系进入变量关系，而导数是微积分的核心概念之一。导数概念的构建过程中蕴含的直觉感知与想象、数形结合、无限逼近（以直代曲）、数学建模、数据分析、形式化运算、数学抽象（从特殊到一般）等数学思想方法是发展学生数学核心素养的思维沃土，是提升学生数学思维品质的重要材料。特别是无限逼近思想，它是微积分中的核心思想方法，蕴含着运动变化的观点，能更好地促进学生个性品质的发展。

（二）学生认知分析

1.学生认知基础分析。

学生已有的知识和能力包括：知道平均速度和瞬时速度的概念，会求平均速度和一些特殊运动（如匀加速运动）的瞬时速度;理解单调性的概念，掌握几个具体函数模型的增减快慢情况，会根据图像的倾斜程度判断函数的增减快慢情况;有用逐步逼近的方法求高次和超越函数零点的近似值，以及用无限逼近（实际上就是以直代曲）的方法探究圆的面积的经验。

2.学生认知障碍分析。

学生很容易通过直觉和几何直观感受到无限逼近思想，但很难根据这个思想建立数学模型，构造算法。具体的困难表现在以下两个方面：（1）不知道如何将“逼近”这个动态过程用数学运算的定量方式来表示;（2）不理解不同“逼近”方向之间的关系以及如何选择。逼近的方向有三种情况：左侧逼近、右侧逼近、左右两侧同时逼近。从实际教学情况来看，选择三种逼近方向的学生都有，但大部分学生都只选择了一种逼近方向。这说明，学生潜意识里认为不管根据哪种逼近方向都能求得瞬时速度，但没认识到根据三种逼近方向获得的瞬时速度是一样的（高中数学中只考虑连续可导的情况），即只考虑到瞬时速度的存在性问题，却没认识到它的唯一性问题。这个认知障碍是由学生思维的严谨程度不足导致的。另外，从左侧或右侧逼近，可以比较容易地归纳出导数的定义;而从左右两侧同时逼近时，所列的式子和导数的定义在形式上存在差异。

学生的另一个认知障碍是对极限表达式limΔt→0f（t0+Δt）-f（t0）Δt的理解，原因在于极限表达式的高度抽象性。因此，要引导学生将其看成一种特殊的数学运算。当然，这个教学过程是对之前的数值分析和形式化运算分析的再次提炼和抽象。

3.克服障碍的措施分析。

针对学生不会将无限逼近用数学运算的形式表达，通过取不同的Δt值，求对应的平均速度，再求平均速度的一般表達式，使学生经历用数学运算无限逼近的过程，从而获得相关的数学活动体验，积累相关的数学活动经验。

针对学生思维的严谨性弱，先让学生认识到从左侧和右侧逼近时平均速度会趋向于同一个值，再引导学生证明从左右两侧同时逼近时仍会趋向于同一个值，从而认识到极限存在的唯一性。这里，将从左右两侧同时逼近的情况后置，可以避免对概括极限概念的干扰。

针对学生对极限表达式理解的困难，一是让学生经历极限表达式从文字语言到半符号化语言，再到符号语言的抽象过程，二是让学生经历无限逼近从几何直观到数值分析，再到表达式分析的过程，从而认识到：Δt不是一个定量，而是一个可以任意变小的量，即Δt→0表示一个变化趋势，Δt与0的差要多小有多小，但始终不等于0，而limΔt→0f（t0+Δt）-f（t0）Δt=v0表示在该变化过程中，f（t0+Δt）-f（t0）Δt与v0的差要多小有多小。

二、教学目标设计

1.了解导数概念引入的背景及必要性。

2.理解导数的代数表达形式与几何意义，以及导数的本质是精确地刻画函数在某一点处变化快慢的数学模型。

3.通过跳水运动的案例分析，经历从平均速度到瞬时速度的过程，并在运用以直代曲方法的过程中，感受无限逼近思想、数形结合思想、运动变化观点。

三、教学过程设计

（一）呈现背景，提出问题

背景很多时候，我们都假定变化是均匀的。事实上，并非如此。航天飞船和空间站在太空中飞行时，速度都是急剧变化的。为了使它们能够成功对接，就必须准确掌握它们每时每刻的飞行速度。我们把物体在某一时刻的速度叫作瞬时速度。

[设计说明：直接从函数的变化快慢入手，对学生来说太过抽象。而速度是位移关于时间变化快慢的物理量，从速度开始学习，对学生来说更熟悉，也易于接受和理解。]

问题1我们知道世界是变化的。凡是变化的地方，就有变化的快慢问题。你能说明函数y=x和y=x3增大的快慢情况吗？进一步地，你能用两个数量表示这两个函数增大的快慢程度吗？

[设计说明：学生可以通过图像发现y=x是均匀增大的，y=x3从-∞到0增大得越来越慢，从0到+∞增大得越来越快。由此，引导学生发现单调性只能刻画函数的变化趋势，却无法定量刻画变化的快慢程度。]

问题2在实际生活中，我们也有必要了解瞬时速度，如奥运会上百米赛跑运动员到达终点那一时刻的瞬时速度。假设某个运动员百米赛跑的成绩是10秒，则他撞线的瞬时速度应该比平均速度还要快，那我们能否知道他撞线时的速度？

[设计说明：提出核心问题——如何求瞬时速度？]

（二）联想激活，寻求方法

方法1无限逼近，以直代曲。由于瞬时速度存在但不可测，因此，只能用可测的平均速度近似地代替。相应的时间段越短，瞬时速度就越精确;当Δt无限趋近于0时，平均速度就成了瞬时速度。

方法2以退为进，迂回前行，从一般到特殊，再从特殊到一般。一开始就讨论求瞬时速度的具体方法是比较困难的，不妨先研究我们熟悉的具体函数，从求具体函数的某个特殊时间点的瞬时速度入手。将具体函数的特殊时间点的瞬时速度研究清楚，再推广到特殊函数的一般点，最后是一般函数的一般点。

[设计说明：方法1从直觉上提出了可行的方法，方法2提供了操作性较强的探究路径。]

（三）提出猜想，验证猜想

问题3在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）=-4.9 t2+6.5t +10。如何求t=2时的瞬时速度？能否借助几何图形说明方法的合理性？

[设计说明：（1）将逼近思想进一步具体化，即在t=2附近用平均速度代替瞬时速度，然后不断缩小时间间隔，用平均速度逼近瞬时速度;（2）放大h（t）在t=2附近的图像，发现随着曲线段长度的不断缩小，曲线段越来越直，从几何直观上感受“以直代曲”的合理性，为后续切线斜率的引入做铺垫。]

问题4刚才，我们从直觉和几何直观两个层面讨论了用平均速度逼近瞬时速度的可行性。接下来，你能不能根据平均速度的定义设计一个用平均速度逼近瞬时速度的方案？根据方案的执行结果，你能发现什么规律？

[设计说明：将具体化后的逼近思想可操作化，即取|Δt|=0.1，0.01，0.001，0.0001，…，考察h（t）在区间[2+Δt，2]（Δt<0）和[2，2+Δt]（Δt>0）上平均速度的大小及其变化趋势。通过列表（见表1）使学生亲身经历逐步逼近的过程。]

问题5当Δt按0.2，0.02，0.002，…的取值规律趋向于0时，是否仍有这样的规律？当Δt按0.2，-0.02，0.002、-0.0002，…的取值规律趋向于0时，是否仍有这样的规律？当Δt以任意方式趋向于0时，是否都有这样的变化趋势？如何证明？

[设计说明：通过平均变化率的表达式，先分析当Δt从2的一侧逼近0时，平均变化率会趋向于-13.1;再分析当Δt从2的两侧同时逼近0时，平均变化率仍会趋向于-13.1，即证明当Δt1、Δt2同时逼近0时，v-=h（2+Δt1）-h（2+Δt2）（2+Δt1）-（2+Δt2）=-4.9（Δt1+Δt2）-13.1→-13.1。目的是让学生认识到这个结果和逼近方式（即逼近的速度和方向）无关，只和函数h（t）本身以及2这个具体的点有关，最终使学生经历完整的无限逼近过程。]

（四）归纳抽象，建立概念

问题6对t=2时的瞬时速度如何理解？能否用数学符号表示“当t=2，Δt趋近于0时，平均速度趋近于确定值-13.1”？

[设计说明：使学生认识到当Δt无限趋近于0时，平均速度v-=h（2+Δt）-h（2）Δt无限趋近于确定的值-13.1，我们就称-13.1是t=2时的瞬时速度。然后，先将文字语言表述的无限逼近过程半符号化，即当Δt→0时，h（2+Δt）-h（2）（2+Δt）-2→-13.1;再引入极限运算表达式limΔt→0=h（2+Δt）-h（2）（2+Δt）-2=-13.1，将半符号化的无限逼近过程完全符号化。一方面使学生经历从文字语言到符号语言的数学抽象过程，另一方面也通过彻底的符号化，将这个无限逼近过程抽象为一种数学运算。]表1

Δt的取值h（t）在[2+Δt，2]上的

平均速度（Δt<0）h（t）在[2，2+Δt]上的

平均速度（Δt>0）当|Δt|=0.1时-12.61-13.59当|Δt|=0.01时-13.051-13.149当|Δt|=0.001时-13.0951-13.1049当|Δt|=0.0001时-13.09951-13.10049当|Δt|=0.00001时-13.099951-13.100049当|Δt|=0.000001时-13.0999951-13.1000049………………当Δt→0时v-=h（2）-h（2+Δt）2-（2+Δt）

=-4.9Δt-13.1v-=h（2+Δt）-h（2）（2+Δt）-2

=-4.9Δt-13.1问题7运动员在t =1时的瞬时速度怎样表示？更一般地，在t0时刻的瞬时速度怎样表示？你会求t0时刻的瞬时速度吗？结合所学的物理知识，你觉得这样所求的瞬时速度正确吗？

[设计说明：先将从特殊点得到的方法推广到一般点，理解并会应用极限表达式limΔt→0h（1+Δt）-h（1）Δt和limΔt→0h（t0+Δt）-h（t0）Δt，认识到这个方法对函数上的所有点都适用。再与物理学中求匀加速运动的瞬时速度进行比较，发现两者所求的结果是一致的，说明新方法和原有知识体系并不矛盾，体会到新方法的正确性、科学性以及应用的广泛性。]

问题8能否再举一些表示变化快慢的量？这些量的共同特征是什么？通过归纳、概括、抽象，能否表示函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率？

[设计说明：通过举例，回忆加速度、化学反应速率等概念，概括出它们与瞬时速度的共同特征，抽象出函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率，即导数的概念。]

（五）运用巩固，内化迁移

问题9将原油精炼为汽油、柴油、沥青等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果时间（单位：h）为x时，原油的温度（单位：℃）为f（x） =x2-7x+15（0≤x≤8）。计算2 h和6 h时原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。

[设计说明：解决新的问题，进一步了解导数在实际情境中的物理意义，更深入地理解导数的概念。]

（六）回顾反思，拓展深化

问题10为什么要求瞬时变化率？如何求瞬时变化率？导数概念的建立经历了哪些过程？其中渗透了哪些数学思想，运用了哪些數学方法？导数还能应用在哪些方面？

问题11平均变化率是函数图像割线的斜率，结合函数图像的割线与无限逼近的过程，能否猜测导数的几何意义？

[设计说明：在回顾反思的基础，拓展视野，借助几何画板，将Δx→0的过程中割线的变化趋势展现出来，在几何直观的基础上明确导数的几何意义是切线的斜率。]

参考文献：

[1] 李昌官.高中数学研究型教学[M].上海：华东师范大学出版社，2019.

[2] 李昌官.“五管齐下”育数学素养实践探索——以“导数概念”研究型单元教学为例[J].中学数学教学参考，2019（16）.