从一道题谈几何教学的几点思考

鹿建国

【摘要】数学的学习离不开解决问题，典型题目不仅能起到“做一个，通一类”的示范作用，而且还能从中发掘出更多拓展价值。每位教师都应该积极探索有助于提高学生能力的教学模式。从复杂的图形中抽离出基本图形、强化数学概念的教学，可以让数学教学的重心从单一的解题训练真正转移到对核心素养的培养中来。本文从重现题目、分析题目、思考题目三方面，以实际数学题目总结了几何教学的一些具体方法，希望能给各位教师带来启发。

【关键词】分解图形;几何教学;核心素养

一、重现题目

（广东省珠海市香洲区2016-2017学年第一学期初三数学期末考试第24题）如图1，菱形ABCO的顶点A、B、C在⊙O上，点E、F分别在AO、CO的延长线上，且EO=FO=2AO。连接EF，点G为EF中点，OF交⊙O于点M，点H在BC延长线上。CD平分∠GCH交⊙O于点D，OD交CM于点N，CG交AF于点K，交OD于点T。

二、分析题目

此题目的综合性很强，考查了特殊四边形的性质及判定、圆周角定理、垂径定理、切线的判定与性质、角平分线的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识。本题对学生阅读文字和图形的能力要求很高，推理思路容易走偏，推理过程比较烦琐，难度较大。

学生在答题时出现的常见问题有两点：（1）误以为点G在圆上，第二问只证明了OG⊥EF，就认为EF为⊙O的切线;（2）不知道如何运用题目所给的“CD平分∠GCH交⊙O于点D”这一条件，计算不出特殊角。

三、思考题目

1.庖丁解牛——分解图形

本题是典型的积木式题型，每个小问题都可以看成是图形的叠加，可以拆分出许多简单图形。由于题目中已知四边形ABCO为菱形，且已经与圆构成了唯一、特殊的位置关系，所以第一小问在图2的图形上就可解答;在第一问的基础上，只需要增加条件EO=FO=2AO，固定了点E、点F的位置，就能固定了线段EF的位置。第二小问在如图3的图形上就可解答，而点G为EF中点起到了降低难度的作用。这样，原本非常复杂的图形根据题干的描述和问题的需要就可以变成简单的图形。

在平面几何的教学过程中，教师要重视培养学生分解图形的能力，特别是对基本几何图形进行辨识、提取、变形、拓展的能力，引导学生学会从复杂图形中分离出所需的简单图形，能够根据图形的基本特征把陌生的几何图形转化为熟悉的几何图形。这种分解图形的能力不是与生俱来的，需要教师有针对性地开展训练，学生在经过了一定量的练习后才能实现。教师应使学生通过题目文字的叙述体会图形的生成过程，明白图形元素——点、线、面产生的先后顺序，也就是常说的“父子关系”，还要使学生能准确地分辨图形之间的制约关系，从而分解成仅含有必要条件和必要图形信息的简单图形，去掉多余条件和图形元素的干扰，这样更容易找到解决问题的途径。例如，在图2中，因为仅有菱形和圆，学生只需思考菱形的性质与圆的性质，把两者结合在一起，解决问题自然水到渠成了。

2.追本溯源——概念教学

《义务教育数学课程标准》关于圆的切线这部分内容是这样描述的：“了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念。”不难看出，《义务教育数学课程标准》要求学生掌握切线的概念，但问题就出在学生没有充分地理解圆的切线的概念，而是把重点放在了记忆证明切线的具体方法上。而且在题目的数量方面，“证垂直”的题目远远多过于“证半径”的题目，这导致学生只要见到证明切线的题目，就会不由自主地选择“证垂直”。当直线和圆有唯一的公共点时，叫直线和圆相切。这时，我们就要保证直线与圆有交点且唯一，圆心到直线的距离要等于圆的半径，其中，“距离”和“相等”两个条件缺一不可，缺少“距离”这一条件，则可能出现两个交点，如图4。缺少相等有可能两个交点或无交点，如图5、图6，二者缺一不可。

在日常教学中，教师容易产生这样的疑问：为什么讲过的题目学生没过多久就会忘了，同一个题目稍微变式就不会，归其源头在于学生对概念的掌握不深刻、不牢固，学生没有真正学会知识点，并将其内化到自己的知识体系中。对于数学概念的学习在任何学段都极其重要，它是所有定理、法则的逻辑基础，是知识本质的体现，是所有方法、技巧的原始依据。所以，无论是概念教学或是概念学习，我们都应该引起足够的重视。概念的教学要具有科学性，对于概念的引入要自然，要建立在学生原有的认知水平之上;概念的形成要系统，要重视新旧知识的联系，让新概念快速添加到学生的知识结构中;概念的辨析要明确，教师要对概念涉及的要素进行分解，对易混淆的内容进行分辨，使学生准确地掌握概念;概念的应用要典型，要通过有针对性的应用加深学生对概念的理解，使学生总结出更多灵活多变的技能与方法。

3.返璞归真——核心素养

通过观察图形和分析题目可以发现，本题主要考查的是等腰三角形的性质，圆仅仅是题目呈现的载体。利用圆半径相等可以得到几组线段相等，如果把圆去掉，直接给出线段相等的条件就会发现，这个图形实际上是由许多含有特殊角的等腰三角形（包括等边三角形）搭建组成的。第三小问实质上考查了三角形重心的性质——重心把中线分为2∶1的两条线段。如图1，由于△OCM是等边三角形，那么TN的长就是CK（三线合一）长度的三分之一，这样即可得到答案，剩下的思考只是通过角度的运算证明CG⊥OK。

数学核心素养包含数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六个方面，它的提出标志着数学教育目的从单一的解决题目彻底转变为提升学生的数学能力。这是数学教育的一个很大进步，使数学教育的能力要求更加明确，彰显了数学教育本质的具体要求。几何证明过程体现了学生的逻辑推理能力，需要学生用纯粹的数学语言描绘现象与规律;基本图形体现了学生的数学建模思想以及从复杂图形抽离出基本图形、用基本图形组合为熟悉图形的能力;图形变换也体现了学生直观想象、感知图形的运动与变化的能力等等。因此，教师在教学设计和教学过程中要给学生提供更多的探究机会，加强学生的动手实践能力，发展学生的创新思维。

总之，题目千千万，学生只有掌握了其内在联系，憑借平时的积累形成的图感、数感和题感，才能准确地找到思维的入口，化复杂于简单，化未知于已知。因此，教师要重视对概念的教学，立足课堂阵地，积极培养学生的数学核心素养。

【参考文献】

胡玉华.初中数学核心素养培养的思考与实践[J].数学学习与研究，2018（06）：34.

张进.以中考几何题为例浅谈解题教学核心素养[J].数理化学习，2018（10）：56-57.