证明题在数学思维能力培养中的案例

张晓妍

有学生反映，特别是女生说数学证明题对她们来说就像老虎吃天，没处下爪，拿到题不知道已知有什么用，学到的定理等不知道用哪个，怎么用，怎么思考，结论又如何而来。下面我以八年级数学探索平行线的条件一节中，探索内错角相等，两直线平行为例说一下我是怎么培养学生数学思维能力的。

已知：如图，∠1和∠2是直线a，b 被直线c截出的内错角，且∠1=∠2.那么a与b的位置关系是什么？为什么？

师：请大家认真读题，结合图形，找出已知。

生：∠1和∠2是直线a，b 被直线 c 截出的内错角，且∠1=∠2.

师：未知什么？

生：a与b的位置关系。

师：同一平面内两条直线的位置关系有什么？

生：平行或相交。

师：结合图形和已知，你猜想a与b平行还是相交？

生：平行。

学生张：平行。因为从图形能直观看出来应该是平行。

学生陈：平行。因为我们今天探究的是平行的条件，我猜应该是平行。

（同学们不由得笑了，渴望的眼睛望向我）

师：同学们信服吗？

生：只猜测不行，我们还应该推理证明。

师：对！我们应该用理论验证一下这两位同学的猜测，在我们所学过的知识中，有什么理论依据可以说明两条直线平行？

学生王：平行于同一条直线的两直线平行。

师：正确。平行于同一条直线的两直线平行，但此题你看图，你觉得得这一理论用到这儿合适吗？

生：不合适。直线a和b与直线c都是相交，不是平行的关系，不能用这一理论。

师：不是所有证明平行的理论都能用，应适当选取判定两直线平行的方法进行。

师：那两直线平行的条件还有什么？

生：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

师：那只要在图中找出什么？

生：相等的一对同位角。

师：图中有同位角吗？

生：∠2和∠3是直线a，b 被直线 c 截出的同位角。

生：那只要∠2和∠3相等就能得到a平行于b。

师：现在目标明确，证∠2=∠3.它们相等吗？

生：已知中没有说相等。

师：怎样能推出∠2和∠3相等？看已知。

（学生思考）

生：∠1=∠2.

师：图中还能挖掘出条件吗？

生：∠1=∠3（对顶角相等）.

师：∠1=∠2. ∠1=∠3.又能得到什么？

生：∠1=∠2. ∠1=∠3，则∠2=∠3 （等量代换）.

师：∠2=∠3 它又是一对同位角，又能推出什么？

生：a∥b（同位角相等，两直线平行）.

师：请大家捋顺一下思路，从已知出发，推理证明出结论。

师：哪位同学说一下证明过程？注意推理过程的严谨。

（一学生说出，其余听）

证明：∵ ∠1=∠2（已知），

∠1=∠3（对顶角相等）.

∴∠3=∠2 （等量代换）.

∴ a∥b（同位角相等，两直线平行）.

师：哪位同学能用语言叙述一下这个结论？

（学生叙述）

定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。

简单说成：内错角相等，两直线平行。

在这个探究过程中，学生已经学习过平行于同一条直线的两直线平行和同位角相等，两直线平行这两个平行的条件，让学生在已有知识的基础上解决这一问题，经历“观察——猜想——证明”的过程，并学会这一数学思想方法。在探究中，充分发挥老师的主导作用和学生的主体作用，整个过程我设计成问题串的形式，老师问学生答，在老师循序渐进一步一步的设问下，引导学生找出已知、未知，知道题中的条件什么可以利用，探究的方向是什么，再结合图形猜想出结论，體会猜想的不缜密，对猜想再进行推理验证。推理中，学生尝试用平行于同一条直线的两直线平行这一依据，老师让学生把这一依据放在题中再判断合理不合理，启发学生思考，学生马上推翻这一依据。排除这一方法，后又另辟蹊径想用同位角相等，两直线平行这一依据，通过分析题意和尝试，培养学生的思维能力，能灵活地选用判定直线平行的方法进行说理。我就追问利用这一依据，关键找出什么，学生说一对相等的同位角，目标明确后，引导学生看图挖掘出一对对顶角相等，再看已知，结合已知根据等量代换得到同位角相等，再利用同位角相等，两直线平行这个判定两直线平行条件。整个过程在老师的提问启发下，学生一步一步推出，验证探索直线平行的条件的过程，经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展空间观念、逻辑推理能力和有条理的表达能力，理解并学会执因导果和执果索因的思考方法。在小组合作学习中，鼓励学生积极参与，交流互动，培养学生的合作意识和团队精神，并感受学习数学的乐趣，激发学习的积极性。

总之通过这一例题让学生学会在证明题中怎么审题，怎么看图挖掘条件，怎么对待已知未知，学会执因导果和执果索因的思维方法，学会怎么逻辑推理，真正提高学生的数学思维能力。