应用型石油类院校高等数学定积分教学案例

于静 杨立敏 王晶晶

摘 要：为提高学生学习高等数学的兴趣，加深对定积分定义的理解，文章为应用型石油类高等学校的学生设计了一个教学案例。此案例将高数与专业课有机的结合在一起，提高了学生的学习动力。

关键词：应用型；高等数学；教学案例；定积分概念

中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2019）01-0091-03

Abstract： In order to enhance students' interest in learning advanced mathematics and deepen their understanding of the definition of definite integral， the article designed a teaching case for students of applied petroleum colleges. This case organically combines higher mathematics with specialized courses to improve their learning motivation.

Keywords： applied； higher mathematics； teaching case； definition of definite integral

一、概述

高等数学作为一门公共必修基础课程在理工科类专业的教育中占有重要的地位。它不仅是学生学习专业课的重要工具，而且对于培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力、分析问题以及解决问题的能力都有不容忽视的作用[1]。可是由于其具有高度抽象、推理严密的特点，一直被非数学类专业的学生认为是一门枯燥乏味、难以理解、学起来很吃力的一门课程。目前高等数学教学大都采用“概念定理讲解—例题讲解—课后练习—习题讲解”这一传统的数学教学模式。这一模式对于理解定义，提高计算能力有着不容忽视的作用。但是一般的高等数学教材上的例题都比较古老（例如，导数定义例子是变速直线运动，定积分例子还是变速直线运动）缺乏新意，与学生所学专业联系不紧密，很难提高学生学习高等数学的興趣。如何寻找一系列跟学生专业、生活相关实例，让学生直观的意识到高等数学的作用，提高学生学习高等数学的兴趣迫在眉睫。

二、“定积分”概念的教学案例

定积分是高等数学积分部分的基础概念，它除了向学生介绍何为定积分更重要的是要向学生传授积分重要的思想方法“元素法”，即“分割、近似代替、求和、取极限”[2]。学生如果将定积分的概念理解透彻了，在后续的二重积分、三重积分以及线面积分的理解上会达到事半功倍的效果。但是在一般的教材中，为简单清晰描述这一思想方法，采用的例子均是“变速直线运动求路程”以及“曲边梯形求面积”。由于例子陈旧不新颖且没有专业背景，学生学习起来会感觉到乏味，体会不到定积分在专业学习中的重要作用。因此，在学生理解了以上两个经典案例的基础上，寻找一个具有学生所学专业背景相关的应用实例，既可以加深学生对概念的理解又可以提高学生分析问题解决问题的能力，更能让学生切身体会到“高等数学不是空洞的理论推导”，而是可以令他们专业学习更上一层楼的工具。因此，针对石油类院校的学生，笔者总结了一个具有石油勘探开发背景的实例——“上覆地层压力的求取”。

（一）背景介绍

一般来讲石油存在于地下岩石的孔隙中，这些孔隙有时是各自为营、不连通的，此时要获得工业油流，需要对地层进行人为干预改造，让不连通的孔隙连通起来，即对地层进行压裂人为造缝。地层压裂的方式和效果与地层的破裂压力密切相关，所以在确定压裂方式之前必须进行破裂压力分析。

迄今为止，计算地层的破裂压力的主流方法都是根据上覆岩层压力、地层孔隙压力以及利用它们之间的关系计算得出的。这里主要讲的就是上覆岩层压力的计算。

上覆岩层压力（overburden pressure）[3]，又称积土压力或地静压力，是指覆盖在该地层以上的岩石骨架及其岩石的孔隙中流体的总重量造成的压力，方向竖直向下。用P表示（实际上是压强的概念）表示。具体的说就是，地下某一深处的上覆岩层压力就是指该点以上至地面地层的重力施加于该点的压力。若地层是均质的、密度为？籽，则深度为H的点处上覆岩层压力P的计算公式[4]为：

P=？籽×H×g （1）

其中g是重力加速度；H上覆岩层的垂直深度，单位 m；？籽是深度为H的点以上的地层的平均密度，单位为kg/m3。

实际上，我们知道深度不同构成地层的岩石以及岩石孔隙里的流体也是不同的，即便是同一深度相隔一段距离的地层，其密度也是不同的，此时如何求上覆地层的压力呢？

（二）解决问题

考虑到如果所求深度点上覆岩层的密度是均匀，那么此时上覆岩层压力可以直接利用公式（1）计算。但是，若的地层密度为？籽（h）（h是深度单位米，？籽（h）可以通过测井仪器得到准确值），那么求地层中某距地面深度为H的点的上覆岩层压力P的难度就在于地层的密度不是均匀的，是变化的、非均匀的，甚至有的地方是突变的。假如，地层的密度变化是连续的此时受定积分定义的启发，自然就可以考虑微元法。

具体步骤如下：

1. 分割

将所求的地层任意分成 n层，其中第i层厚度为？驻hi（i=1，2，3，…，n），上覆地层的压力可以分解成n份，则P= ？驻Pi（其中第i份为？驻Pi）。

2. 近似代替

3. 求和

4. 取极限

其中？籽（h）在石油勘探中可以通过测井技术测得，如图1中第三道曲线DEN即为？籽（h）。

上述分析中，我们假设地层密度变化总是连续的，可是如果地层中密度发生了突变，如图2所示，密度在大约4282米处突然降低到1.95g/cm3以下，此时又怎么求上覆岩层压力呢？

考虑到定积分的性质区间可加性，即在发生突变的深度段拆分即可。

（三）实际应用

油田现场应用中，由于成本及技术原因，地表下几百米，即表层部分一般不进行测井，由于其厚度薄，对地层压力贡献小一般是直接利用？籽平均gh0（计算，h0是表层的厚度，？籽平均是表层的平均密度。

事实上，我们看到的图1中的密度曲线是由深度间隔为0.125m的点用插值方法画出的插值曲线，密度的实际测量数据如表1。

所以，在实际计算中可直接利用？驻x=0.125，这样一个对深度区间均分的情况下的积分和进行定积分的近似计算。

例如，某井区近地表地层厚度约600m，平均密度1.9g/cm3，测井密度从514m开始至3000m测井测量的密度数据（部分数据）见表1，求深度3000m处，上覆岩层的压力是多少？答案： 62.63762MP。

三、案例的教学反思

定积分的概念是整个积分学的基础概念，学生需要透彻的理解并熟练的掌握这一概念，需要深刻的理解元素法。只有这样，才能学会用元素法的思想将一个量表达成定积分的分析方法，才能为后续的二重积分三重积分甚至线面积分的概念打牢基础。因此，学生不能仅仅被动的接受教材与老师的讲解，要在理解教材及老师的讲解的基础上，紧密结合专业课，用所学的知识现场解决专业问题，将数学课程与专业课程紧密的联系到一起，这样既能加深概念的理解还能提高学生学习积极性，打破有些学生的认为“只有需要考研深造的人才需要学好数学，其他的人只要及格就完事大吉”的思想误区，让绝大多数同学重视数学，喜欢数学，发现学习数学的乐趣。

需要注意的是，课堂上选择的专业或生活实例不能过于复杂要简单直观，否则会适得其反。

参考文献：

[1]刘庚.经管类高等数学课堂教学的优化[J].高教学刊，2017，6：96-99.

[2]同济大学数学系.高等数学（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014：274.

[3]陈碧珏.油矿地质学[M].北京：石油工业出版社，1987：277.

[4]纪友亮，张立强.油气田地下地质学[M].同济大学出版社，2007：204.