特设专栏：HPM课例研究（之十一）HPM视角下的贾宪三角探究

李莹 韩嘉业 沈中宇

【摘要】沪教版高三数学上册第16章“排列组合和二项式定理”中的二项式系数表，即贾宪三角，是该章节教学的难点之一。文章从HPM的视角，以拓展课的形式设计和实施贾宪三角的教学，通过附加式、复制式和顺应式的史料运用方式，让学生了解其发展历程，感悟其与二项式定理的联系，从中发掘数学文化的多样性，提升学生逻辑推理的核心素养。

【关键词】HPM;贾宪三角;教学设计

【作者简介】李莹，中学高级教师，主要从事高中数学课堂教学研究;韩嘉业，华东师范大学教师教育学院硕士研究生，主要从事数学史与数学教育研究;沈中宇，华东师范大学数学科学学院博士研究生，主要从事数学史与数学教育研究。

【基金项目】上海高校“立德树人”人文社会科学重点研究基地之数学教育教学研究基地研究项目“数学课程与教学中落实立德树人根本任务的研究”

一、引言

沪教版高三数学上册第16章“排列组合和二项式定理”中有一张二项式系数表，即贾宪三角。《普通高中数学课程标准（2017年版）》要求，教师在课堂教学时对二项式系数表进行探究学习活动，发现并掌握组合数的性质，培养学生观察、分析、归纳的能力，结合这一题材对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感[1]。教材归纳了二项式系数表通过观察可得的部分规律，同时在单元后的阅读材料中简单说明了该数表就是贾宪三角，但并未对二项式系数表的来龙去脉进行详细介绍。

在现有教学中，教师一般会在课堂上简单介绍二项式系数表，即贾宪三角，但通常不会对贾宪三角的历史背景做进一步说明，并且在课堂上主要以教师讲授为主，学生对贾宪三角探究的机会较少[2-4]。上完课大部分学生对贾宪三角还是一知半解，具体表现为学生不了解它的发展历程，不知道它与二项式定理的联系;学生缺乏对数学文化多样性的了解。

为了使学生真正认识贾宪三角，教师可以从HPM的视角，以拓展课的形式设计和实施教学。教学设计立足教材，通过选择相关历史资料进行拓展，渗透数学史的内容，引导学生关注贾宪三角的历史发展过程，理解贾宪三角产生的历史背景和意义。教师通过恰当的问题设计，引导学生在已有知识基础上探寻贾宪三角中的数学规律，并正确表述这些规律，体会贾宪三角与二项式定理之间的联系。在课堂教学中设置探究环节，教师鼓励学生使用不同于教材的方法证明规律，体会从特殊到一般的数学思想，培养学生的逻辑推理能力。古今对照，让学生感受古人对数学发展的贡献，提升文化自信，感受数学的多元文化。为此，笔者拟订了本节课的教学目标。

（1）理解贾宪三角产生的历史背景及意义，了解贾宪三角所蕴含的丰富规律，了解二项式定理的发展过程，理解贾宪三角与二项式定理之间的联系。

（2）经历贾宪三角中数学规律的探究过程，加深对组合数性质及二项式定理的理解，体会从特殊到一般的数学思想，培养学生观察、分析、归纳及逻辑推理的能力。

（3）引导学生在探究过程中感受祖国数学文化的丰富，感受世界数学文化的多元化和趣味性，激发学生的探究乐趣和学习热情，树立学生的文化自信，提升學生的科学素养和人文素养。

二、历史材料及其运用

从贾宪三角到二项式定理经历了6个世纪的发展历程。本节课根据贾宪三角的发展脉络，利用重构的方式将相关的历史素材融入教学之中。

（一）开方作法本原图

由于三次以上开方的需要，11世纪中叶，中国数学家贾宪给出了一到六次幂的二项式系数表[5]（如图1）。其中，第i层的数字即为（a+b）i-1展开式的系数。贾宪称整张二项式系数表为开方作法本原图，今称贾宪三角。但贾宪并未给出二项式系数的一般公式，因而未能建立一般正整数次幂的二项式定理。

图1

（二）贾宪三角

13世纪，杨辉在其《详解九章算法》中引用了图1，并注明了该图出自贾宪的《释锁算书》[6]。贾宪的著作已经失传，而杨辉的著作流传至今，所以今日很多人称此图为杨辉三角，但这并不准确。

14世纪初，朱世杰在其《四元玉鉴》中复载此图，并增加了两层，添上了两组平行的斜线，命名为古法七乘方图[7]（如图2）。由此可推知，朱世杰已总结出贾宪三角中相邻两层的关系。

图2

（三）帕斯卡三角

在欧洲，13世纪德国数学家约丹努斯在一本未出版的算术书中给出一张二项式系数表，形状与贾宪三角一样，但有11层。

1544年，德国数学家斯蒂菲尔在其《整数算术》中给出一到十六次的二项式系数表，并引入“二项式系数”这一术语。

1654年，法国数学家帕斯卡在《论算术三角形》一文中，详细论述算术三角形的性质、二项式系数的性质和应用。帕斯卡还研究了二项式系数在自然数幂和、组合理论及概率计算等方面的应用。由于他在数学史上具有突出贡献，因此算术三角形至今仍以他的名字命名，即帕斯卡三角形（如图3）。

图3

（四）二项式定理的形成

1654年，法国数学家帕斯卡最早建立了一般正整数次幂的二项式定理[8]。1665年，英国数学家牛顿将二项式定理推广到有理指数的情形[9]。18世纪，瑞士数学家欧拉和意大利数学家卡斯蒂隆分别采用待定系数法和“先异后同”的方法证明了实指数情形的二项式定理[10]。

三、教学过程与实施

（一）结合教材，引入课题

师：我们已经完成“排列组合和二项式定理”的学习，同学们是否知道课本中的二项式系数表又叫什么？

生（齐答）：贾宪三角。

师：你们最早知道贾宪三角大约是几年级？

生1：六年级。

生2：四年级。

师：同学们好厉害。因为这张表是数学家贾宪原创的，所以我们称之为贾宪三角。大家是否很好奇历史上的贾宪三角是什么样子的，它是怎么产生的。教材把这节内容安排在二项式定理，那么它与二项式定理又有什么联系呢？今天就让我们一起探究贾宪三角。

为了让大家能在较短时间内了解贾宪三角和二项式定理的历史背景及发展历程，教师将相关历史资料整理并制作了一个3分钟的微视频，并请学生带着问题先看微视频《贾宪三角及二项式定理的发展历程》。（微视频内容主要参考上文的史料，此处不赘述。）

【设计意图】教师立足教材内容，从二项式系数表引入贾宪三角，体现了贾宪三角与二项式定理之间的联系，自然而然地呈现本课课题。通过微视频，学生在最短的时间内了解了贾宪三角产生的历史背景以及它与二项式定理的内在联系，相关历史展示了数学发展中的多元文化。

（二）回顾历史，了解贾宪三角

师：看了微视频，我们知道最初这张二项式系数表叫做开方作法本原图，那贾宪老师当年做这张二项式系数表是要做什么？大家猜猜看。

生1：我猜测他是想把一个式子不同的开方系数列出来做计算用。

师：做什么计算？

生2：做开方计算。

师：没错，当年贾宪老师做这张二项式系数表确实是为了解决开方的问题。让我们在课堂中初步感受一下贾宪老师是怎么解决这个问题的。

易知33在1和2之间，不妨设33=1+x，

∴（1+x）3=3，依据贾宪三角中第四层的数字可得1+3x+3x2+x3=3。

舍去1次以上的项，可得1+3x≈3，即x≈23，∴33≈1+23=53。

为了提高精确度，可以再次迭代，

设33=53+x，∴53+x3=3，∴533+3×532x+3×53x2+x3=3。

舍去1次以上的项，可得12527+253x≈3，即x≈-44225，

∴33≈53-44225≈1.47。

【设计意图】教师通过介绍开方作法本原图的作用，让学生了解中国古代数学家很早就利用这张二项式系数表解决开方的问题，激发学生的民族自豪感。

（三） 探寻规律，证明命题

师：通过微视频我们发现，不同时期的数学家都研究过这张二项式系数表。这张二项式系数表很神奇，因为它有很多规律。根据我们已经学过的知识，你知道多少关于这张二项式系数表的规律，请写在任务单上。

（以下命题基于教材上提供的二项式系数表，首行为“1 1”。）

1.发现规律，表达规律

学生积极思考后，在任务单上写出了他们发现的规律。

（1）二项式系数表关于中间的轴对称。

（2）每行第一个数和最后一个数都是1。

（3）第n行有n+1项。

（4）一行中相邻两个数相加等于它们下面中间的数。

（5）每行数字先增大，再减小，中间的数为最大值。

（6）从第一行起，每行的第二个数字就是行数。

（7）每一行的数字之和为2n。

2.证明规律

师：大家完成得非常好！如果我们有足够的时间，相信大家一定會发现更多的规律。

关于“每一行的数字之和为2n”这个结论，我们以前学过，是怎么证明的？

生1：通过组合数的方式，从C0n一直加到Cnn，其之和为2n。

师：请你说一下大致的思路。

生1：在二项展开式中只要令a和b都为1，则左边为2n，右边就是从C0n一直加到Cnn。

师：同学们，如果我们穿越回到14世纪，那时还没有建立二项式定理，那么我们能不能用不同于教材的方法来证明“每一行的数字之和为2n”？

师：我们先把命题用数学语言表达出来。为了方便表达，我们把二项式系数表中第i行第j列的数记为T ji，那么这个命题怎么表达？

（学生通过讨论，得出数学命题：T1n+T2n+…+T n+1n=2n。教师巡视学生课堂证明情况，发现有学生采用数学归纳法进行证明。）

师：我很欣喜地看到同学们都有比较明确的思路，我想请生2告诉我，你是怎么想的，你打算用什么方法证明呢？

生2：我打算用数学归纳法证明。

师：你为什么用数学归纳法证明？

生2：因为我看到第一行已经列出来了，符合这个命题。所以可以设当n=k时符合这个命题，然后证明当n=k+1时也符合这个命题。

师：很好。同学们，你们认同这种做法吗？（全体学生点头同意），既然大家都同意用数学归纳法进行证明，请大家把自己的证明过程写在任务单上。

（教师观察学生的证明情况，适时回答学生的问题，并请学生在黑板上演示证明过程。）

师：通过努力，我们用数学归纳法完成了证明。教材上利用二项式定理证明，我们用数学归纳法证明。同学们能体会这两种不同的证明方法中所蕴含的数学思想吗？（停顿，让学生思考）

师：我们是先算第1项和第k项，这叫什么？属于什么情况？

生3：特殊情况。

师：最后证明的是什么情况？

生4：一般情况。

师：这种数学思想我们称为什么？

生5：从特殊到一般。

师：我们用二项式定理证明时，只要在二项展开式中取特定值，令a=b=1就可以了，这是从什么到什么？

生6：从一般到特殊。

师：所以数学归纳法体现的是从特殊到一般的数学思想，而二项式定理本身就是一个高度概括的结论，体现的恰恰是从一般到特殊的数学思想。

【设计意图】数学归纳法是高中重要的数学方法之一。对同一个命题采用不同于教材的证明方法可以帮助学生开阔思路，提高他们解决问题的能力。同时，这个命题的两种证明方法非常巧妙、和谐地体现了数学的两种证明思路：一是从特殊到一般，二是从一般到特殊。教师在引导学生证明的过程中，有效培养了学生的逻辑推理能力和辩证思维能力。

（四）课堂小结，总结收获

师：同学们，这节课即将结束。老师在课前提出的三个问题，大家是否已经知道答案了呢？（学生纷纷点头表示知道答案。）

师：哪位同学说一下？

生1：贾宪三角最早由贾宪提出，原名是开方作法本原图。

师：第三个问题，贾宪三角与二项式定理有什么联系？（停顿，让学生思考）

师：贾宪三角其实就是二项式定理，是二项式系数表形式的二项式定理。11世纪，人们还不会用字母表示数，发现规律后只能一行行写下来。到了17世纪，有了字母表示数，人们就把二项式系数表形式的二项式定理用一个代数式高度概括了。所以，贾宪三角的本质就是二项式系数表形式的二项式定理。从数表形式到代数式形式，二项式定理的发展经历了6个世纪。

师：大家觉得贾宪三角在表达形式上有什么优势？

生2：直观。

师：那二项式定理在表达形式上的优势又是什么？

生3：简洁。

师：大家说得非常好。

【设计意图】课堂小结与课题引入形成前后呼應。通过课堂小结，教师引导学生思考贾宪三角与二项式定理的联系，让学生明白知识的得来并非一蹴而成，而是在前人不断地尝试与努力下才得到的。

四、学生反馈

为了解本节课的教学效果，笔者对全班41名学生进行了课前测试和课后测试。分别从贾宪三角的历史、贾宪三角的应用、贾宪三角的性质和贾宪三角与其他知识的联系进行检测。

在课前测试中，“对于贾宪三角，你有什么想要了解的知识？”的问题，48.8的学生想了解贾宪三角的历史，14.6的学生想知道它有哪些应用，7.2的学生想知道它有哪些性质，7.2的学生想知道它和数列、二项式定理等知识的联系，其余学生未给出有效回答。

（一）有关贾宪三角的历史

在课前测试中，对于问题“数学学习需要结合数学史的内容”，有85.4的学生同意这一观点;在课后测试中，对于类似的问题，有94.7的学生同意这一观点。在课前测试中，对于问题“贾宪三角的内容很有趣”，有73.2的学生同意这一观点;在课后测试中，对于类似的问题，有89.5的学生同意这一观点。

（二）有关贾宪三角的应用

在课前测试中，对于问题“你觉得人们为什么要研究贾宪三角？”，学生的回答多种多样，例如有“解决乘法问题”“研究二项式定理”“找规律”“探究数学原理”“古老、历史悠久”“解决实际生活中的问题”等。而在课后测试中，对于类似的问题，学生的回答主要是“进行开方的运算”“解决开方问题”等。

（三）有关贾宪三角的性质

在课前测试中，对于问题“组合恒等式C m-1n+Cmn=Cmn+1为什么是正确的？”，70.7的学生用组合数性质验证，12.2的学生用贾宪三角验证，其余学生未给出有效回答。而在课后测试中，对于类似的问题，61.1的学生用贾宪三角验证，27.8的学生用组合数性质验证，还有11.1的学生用数学归纳法验证。

（四）有关贾宪三角与其他知识的联系

在课前测试中，对于问题“当你看到贾宪三角时，你会想到什么？”，其中39.9的学生回答与贾宪三角的规律有关，15.7的学生回答与贾宪三角的来历和历史有关，12.1的学生回答与贾宪三角的几何形状相关，8.1的学生回答联系了二项式定理，4.1的学生回答想知道贾宪三角有何实际应用，其余回答与贾宪三角和二项式定理无直接联系。而在课后测试中，对于类似的问题，45.5的学生回答与贾宪三角的规律有关，18.2的学生回答与贾宪三角的历史有关，15.5的学生回答联系了二项式定理，4.8的学生联想到了开方问题，其余回答与贾宪三角、二项式定理和开方问题无直接联系。

在课后测试中，有关“这节课你印象最深的是什么？”问题，学生的典型回答主要有：

古代开方的运算方法，因为它体现了古人的智慧，告诉了我数学发展的探索过程;

用数学归纳法证明贾宪三角，因为它让我从一个新的角度理解了二项式定理;

数学研究历程充满趣味性;

古人思考问题的方式与现代人应用贾宪三角、二项式定理、开方作法本原图来解决问题很神奇;

贾宪三角发展史，让我对数学发展史有了新的认识。

五、结语

（一）史料运用灵活，呈现方式多样

本节课中，数学史的运用方式有附加式、复制式和顺应式。用附加式的方法制作微视频，展示贾宪三角的历史起源和二项式定理的发展历程;用复制式的方法再现贾宪通过开方作法本原图求方根的问题;用顺应式的方法利用数学归纳法证明贾宪三角中的数学规律。

（二）课堂教学有效，教育价值丰富

本节课中，数学史的教育价值主要体现在如下几方面。（1）知识之谐：教学中教师从学生的已有认识出发，引导学生思考贾宪三角与二项式定理的联系，通过展示二项式定理产生的历史过程，让学生明白从贾宪三角到二项式定理并非一蹴而成;（2）探究之乐：课堂上教师引导学生用不同的方法证明命题，在活动过程中不断激发学生的探究兴趣，让学生体会用知识解决问题的乐趣;（3）能力之助：基于史料的探究活动，让学生体会从特殊到一般的数学思想，充分培养学生逻辑推理的核心素养;（4）文化之魅：通过介绍历史上不同时期、不同国家的数学家对贾宪三角的贡献，让学生认识数学知识发展的趋同性，感悟数学文化的多元性;（5）德育之效：通过微视频追溯贾宪三角的历史起源，让学生感受中国古代数学家的卓越智慧，激发学生的民族自豪感，增强学生的文化自信。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]安凤吉.指导学生研究贾宪三角的实践及其教育价值[J].数学教学，2002（2）：27-30.

[3]黄敏华.二项式定理中原理教学与学生探究能力的培养[J].数学教学，2007（4）：2-4.

[4]黄培华.文化数学 魅力课堂[J].福建中学数学，2015（5）：24-27.

[5]汪晓勤，韩祥临.中学数学中的数学史[M].北京：科学出版社，2002.

[6]杨辉.增补《详解九章算法》释注[M]. 吕变庭，释注.北京：科学出版社，2014.

[7]朱世杰.四园玉鉴校正 [M]. 李兆华，校正.北京：科学出版社，2007.

[8]SMITH D E.A source book in mathematics[M].New York：McGraw-Hill Book Co.，1927.

[9]STURIK D J. A source book in mathematics，1200-1800[M].Massachusetts：Harvard University press，1969.

[10]方倩.“二项式定理”：在历史中探源、求法、寻魅[J].教育研究与评论（中学教育教学），2016（9）：37-41.