聚焦统计概念理解 培养数据分析观念

林玉兰 郑晓萍 李区婷 唐剑岚

【摘 要】“平均数”是小学数学的重点统计知识。在传统教学中，有的教师着重于平均数的算术教学，淡化了平均数的概念理解与统计意义;抑或过度关注平均数的概念理解，却忽视平均数的统计意义，使得学生知其然而不知其所以然。作者尝试基于课标理念分析，融入Hawgent动态数学技术，助力平均数的概念理解，聚焦平均数的统计意义，致力于培养学生的数据分析观念，以期实现“平均数”这一统计概念的教学价值。

【关键词】平均数;统计意义;数据分析观念;动态数学技术

【作者简介】林玉兰，广西师范大学数学与统计学院，课程与教学论在读硕士研究生;郑晓萍，桂林市七星区卓然小学数学教师;李区婷，广西师范大学数学与统计学院硕士研究生;唐剑岚（通讯作者），博士，广西师范大学数学与统计学院教授、硕士研究生导师，主要研究方向为数学课程与教学论、数学教育技术。

【基金项目】小学数学重难点知识可视化设计与应用的研究（桂林市B类课题2016B30）;动态数学技术的创新研究与应用项目（GXSDHX201706）

一、创课背景与问题

人教版数学四年级下册的“平均数”是小学数学学习的一个重点统计概念，是培养学生数据分析观念的重要载体。对于“平均数”教学，它的概念理解（平均数的本质及其特征）和统计意义同样重要。虽然从运算形式看，算术意义上的平均数与统计意义上的平均数是一致的，但前者是描述，后者是推断，最大的区别是统计意义上的平均数考虑了数据的随机性、规律性。在传统教学中，有的教师只注重平均数的算术教学，淡化了平均数的概念理解及统计意义;抑或过度关注平均数的概念理解，却忽视平均数的统计意义。如此教学，忽视了平均数的统计特性与意义理解，使得学生知其然而不知其所以然，易使“平均数”这一统计概念的教学价值难以实现，不利于培养学生的统计意识及数据分析观念。

学生在学习“平均数”之前已经学过“条形统计图”，对统计问题并不陌生，但区别于条形统计图，平均数是学生学习的第一个统计量。在教学中，教师应引导学生理解统计意义上的平均数，因为它是从随机的样本中得到的，能帮助学生利用历史数据对将要发生的事情进行推断。因此，平均数的教学重点是概念理解，而难点则在于统计意义的理解。如何在突破教学重难点的同时培养学生的数据分析观念，本文基于《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“《课标》”）相关理念进行分析，融入Hawgent动态数学技术，助力平均数的概念理解，聚焦平均数的统计意义，促使学生在统计分析的过程中，养成数据分析观念，获得数据分析的思维方法以及相关的数学思想方法。

二、创课设计与实录

《课标》说明了“数据分析观念”的内涵：一是了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴含的信息;二是了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法;三是通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事件每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律[1]。基于理念分析和现实诉求，将教学目标定位于培养学生的数据分析观念，对“平均数”进行创课思考。

本次创课设计主要分为三个环节：第一，解决“平均数的产生需要”问题。创设“选拔校级篮球队新队员”为情境开端，在给出候选队员投篮进球个数的数据后，引导学生对数据进行分析，从学生给出的不同分析方法中引出能代表一组数据整体水平的平均数。第二，解决“平均数的概念理解”问题。在引出平均数后，教师运用Hawgent动态数学技术动态地展示“移多补少”的过程，让学生直观感知平均数;接着创设“个别落选学生提出质疑后再次进行投篮”为情境高潮，聚焦一组变化的数据，结合动态数学积件的操作与演示，解析平均数的本质及其特征。第三，解决“平均数的统计意义”问题。创设“如何选拔篮球队新任队长”为情境结尾，让学生历经“设计方案、收集数据、分析数据、得出结论”的统计过程，在统计问题中懂得运用平均数分析数据并解决问题，从中体悟到平均数的统计意义。

根据上述创课思路，以下是“平均数”教学片段的创课实录。

师：同学们，近段时间校篮球队在四年级的男生中选拔新队员，在连续五天的时间里，每天进行一轮投篮测试，每轮的投篮进球次数共计10次，根据备选同学的进球情况来决定最终的正式队员。在这里，老师给出黄教练记录的备选同学五轮投篮进球次数。根据这些数据，请同学们思考：应该选出哪两名同学成为新队员？哪位同学分享一下自己的想法？

（教师在Hawgent动态数学积件中呈现表格数据，见表1。）

生1：可以将他们五轮进球的个数加起来，看誰进球的总数多就选谁。

师：不错，同学1提出了看总数的方法，其他同学觉得怎么样？

生2：老师，为什么李峰第四轮的进球个数是空白的？

师：噢，对，忘了跟同学们解释一下，在第四轮测试时，李峰同学因家里有事无法到场，所以他没有第四轮的数据。

生2：那看总数岂不是对李峰不公平？他另外四轮投篮的情况还是不错的。

生3：那就看他们的最好成绩，看最多能进几个球。

生1：可是有三个人都进过9个球，而且王阳后面有几次才进5个球，估计实力不太行吧。

生4：要不退一步，看他们进8个球的有几轮，看谁能进8个球的轮数比较多？

……

师：好，我们暂停一下，看来同学们很有想法，分析数据的点子也比较多。解决选队员的问题，其实就是看哪两名同学的投篮实力最强就选谁，对吗？

生（齐答）：对！

师：可是我们不能看着数据凭感觉来判断他们的实力，所以我们希望能从数据中找到一个合理的数来代表他们的投篮实力，然后再进行对比，这个数其实就是我们今天要学习的平均数。那什么是平均数呢？

师：平均数是能代表一组数据整体水平的数。我们逐一看看这五名同学的投篮数据，找出能代表他们整体投篮实力的平均数，首先来看林清同学的数据，我们用学过的条形统计图来分析一下。

（教师在Hawgent动态数学软件中呈现条形统计图，如图1。）

图1

师：大家可以从图1中更为直观地看到林清五轮测试的进球个数情况，请同学们估计一下，林清同学的投篮实力大概是每轮进球多少个呢？

生5：可能是7个吧，因为他有三轮都投进了7个。

师：其实林清同学这五轮进球个数的平均数就正好为7，这是为什么呢？可以看到，当我们把第二轮的8个移出1个，补到第五轮的6个时，同学们观察到什么呢？

（教师运用Hawgent软件动态呈现“移多补少”的过程。）

生（齐答）：这五轮的进球个数都变成7了。

师：没错，这就是找出平均数的第一种方法——“移多补少”。从直观上看“移多补少”就是将林清五轮进球的个数匀成同样的数，这个时候我们就可以说林清的整体投篮水平为7个。接着我们再一起来分析王阳的投篮数据。

（教师在积件中单击标题，切换姓名，并在弹出的对话框中依次输入王阳同学五轮的进球个数，输入完毕后，条形统计图发生相应变化。）

师：大家说说看应该怎么找出王阳这组数据的平均数呢？

生（齐答）：移多补少。

师：同学们学得很快，那移哪里，又补哪里呢？

生（齐答）：把那个长长的“9”移一些补到那几个“5”那里。

师：那问题来了，“移一些”是移多少呢？怎样“移多补少”才能使得这五轮的数据变得一样，从而得到这组数据的平均数？

生6：从最多的“9”中移3个出来，再平均分为3份补到3个“5”那里，最后都变成“6”了，平均数是6。

（教师同时在Hawgent软件中操作王阳数据“移多补少”的过程，如图2。）

图2

师：没错，王阳这组数据的平均数正好是6。同学6用“移多补少”的方法得到了能代表王阳投篮进球整体水平的平均数，还有别的同学有不同的方法吗？

生7：可以先把数据加起来再除以5。

师：很好，这正是我们求一组数据平均数的第二种方法——“先求和后平均分”。例如王阳这组投篮数据的平均数就等于9+5+6+5+5的和再除以五轮比赛的5，算出平均个数是6个，这跟“移多补少”的结果是一样的（如图2）。“先求和后平均分”也是我们求一组数据平均数常用的方法。

师：接下来请同学们用刚学过的方法求出剩下三名同学的投篮进球平均个数，看看他们的实力怎么样。

（在计算李峰的四轮投篮进球平均个数时，教师结合积件操作引导学生用方法二计算时应该除以4，而不是除以5。师生共同对所求得的平均数进行汇总排序，最后选出的两名新队员为张晓晨和李峰。）

师：这时落选的王阳同学心里不服气，他请求黄教练再给他一次证明自己的机会，也就是进行第六轮投篮。之前我们已经求出王阳的投篮平均个数为6个，那大家觉得这次王阳同学可能会投进几个球呢？

生8：应该是6个。

生9：可能比6个多。

生10：也可能比6个少。

……

师：好，既然平均数能代表一组数据的整体水平，也就是说从目前的数据来看，王阳整体的投篮水平是6个，但这并不表示他在第六轮的时候就一定会投进6个，0到10个都有可能发生。接下来我们对王阳的投篮数据进行探究，看看王阳第六轮进球个数对他的整体投篮水平有什么影响。

（教师打开Hawgent积件的下一页，单击“第六轮的进球个数”，在弹出的对话框中输入“6”。）

师：这时我们可以看到，假如王阳同学在第六轮投篮中投进6个，他的平均投篮个数没有发生变化，平均数依旧是6。如果第六轮投进不是6个，同学们觉得这时平均数会发生变化吗？

生（大部分）：好像会吧。

师：有些同学不太肯定哦，那我们就改变第六轮的进球个数，假如是8个，大家注意观察统计图中的变化。

（教师操作积件，改变“第六轮进球个数”的数值为8。）

师：发生了什么变化呢？

生（齐答）：平均数变了，变成6.33。

师：同学们观察得很仔细，当我们改变第六轮的进球个数，平均数的大小随即发生了改变。于是我们可以推出平均数的第一个特征：一组数据里的每个数据都能影响平均数的大小。也就是说当一组数据里的某个数据或者某些数据发生变化的时候，這组数据的平均数也会随之发生变化。

师：接下来我们继续改变第六轮的进球个数，探究平均数还存在什么特征。

（教师继续操作积件改变第六轮的进球个数，如图3，在5到9之间多次更改数值，引导学生观察平均数的变化范围。）

图3

师：大家注意到平均数的变化范围是怎样的呢？

生11：平均数好像是6左右。

师：同学11观察得真仔细，再将范围扩大一些来看，平均数总是在这组数据中的哪两个数之间呢？

生11：5和9吗？

师：没错，正是这组数据中的最大值9和最小值5之间，所以我们可以得到平均数的第二个特征：平均数介于最大值和最小值之间。

师：还需注意的是，平均数其实是我们从这组数据中算出来的数，但不排除有时它会等于这组数据里的某一个数。比如当第六轮投进6个时，平均数也是6，可是当第六轮投进8个的时候，平均数就是6.33了，这是因为平均数并不是一组数据中实际存在的数，它主要用来表示这组数据的整体水平，是一个“虚拟”的数。

（教师在讲解时继续操作积件，更改第六轮的进球个数。）

师：通过以上的探究，相信同学们已经感受到平均数其实主要是帮助我们解决一些数据分析问题。实际上，平均数的本质是表示一组数据集中趋势的量数，比如刚才提到的王阳同学，他落选之后没有放弃，反而自己继续努力练习，私下找教练再进行多次测试（见表2）。如图4，王阳的平均投篮个数虽然提高了，但他每轮进球的个数总是在平均数的上下波动，所以我们说平均数能够反映这组数据的集中趋势。

图4

（教师可以操作积件更改第七轮至第十二轮的进球个数，以此动态呈现数据的上下波动情形。）

师：通过以上分析，我们知道平均数有以下四个主要特征：

（1）每一个数据都能影响平均数的大小。

（2）平均数介于最大值和最小值之间。

（3）平均数是一个“虚拟”的数。

（4）所有数据均在平均数的上下波动。另外，由于篮球队面临新旧队员交替，教练正在为选拔新队长而苦恼，如果直接安排，担心其他队员会不服气，应该用什么方式选拔新队长才比较合适呢？同学们能帮教练想想办法吗？

生12：老师，我觉得可以先进行自由报名，看看有谁想当队长，然后再看看他们的能力。

师：这个提议好。毕竟作为队长除了要有实力，还要勇于担当。现在篮球队中五年级的蓝枫、叶浩然和陆聪聪三名同学都想当队长，大家觉得用什么方法可以衡量他们的实力？

生13：可以看看他们打篮球的技能，比如运球，投球等，或者还是测试他们投篮？

师：同学13从选拔新队员的方式联想到了用同样的方式来检测备选队长的实力，其他同学觉得这个方式怎么样？哪位同学有什么想法补充吗？

生14：老师，我觉得选队长可以测试他们投3分球！

师：这个方法蛮不错的，3分球还是挺有难度的，假设还是测试五轮，每轮投10次。方案定下来后，我们需要做什么？

生（大部分）：记录一下他们能进几个球。

师：也就是说我们需要统计他们每轮进球的个数，对不对？

生（齐答）：对！

师：其实教练在平时的训练中也测试过他们投3分球的水平，所以就不需要再花时间重新测试了，现在教练提供了这三名同学近五周测试投3分球的进球情况（见表3），请同学们分析看看，最后是谁来担任新队长呢？

师：可以用什么方法来分析他们的数据？

生（齐答）：平均数。

师：大家都能学以致用了真不错！那么为什么可以用平均数来分析呢？

生15：因为平均数可以表示他们投3分球的水平怎么样。

师：回答得真好！大家分析出他们每个人投3分球的水平是怎么样的吗？哪位同学有结果了？

生16：应该选叶浩然当队长，我算出来他平均能投进6个。

师：其他同学跟他的结果一样吗？

生（齐答）：一样。

师：那么蓝枫和陆聪聪的平均进球个数又分别是多少呢？

生：蓝枫5个，陆聪聪4个。

（教师同时板书计算过程。）

师：结果正确。看来现在同学们对平均数的算法已经大体上掌握了，也应该能感受到平均数帮助分析数据的魅力，接下来我们从拓展题中继续感受平均数在实际生活中的运用价值。

三、创课评析与反思

笔者曾随机调查五、六年级部分学生对“平均数”的理解，80以上的回答局限于算术意义上的平均数，鲜有学生能提及平均数的统计意义。显然，学生对“平均数”并不陌生，但由于教学存在着许多误区，导致学生对平均数知其然而不知其所以然。关于统计概念的教学内容（教什么）和教学方法（怎样教），应围绕统计概念的教学价值进行思考。“平均数”作为统计概念，它的教学价值主要体现在引导学生能运用平均数对数据进行分析和推断，培养学生的数据分析观念。因此，本文尝试基于“数据分析观念”的理解，将技术融入教学，授人以鱼的同时授人以渔和欲[2]，力求学生在对“平均数”学懂弄通的基础上形成自身的数据分析观念。本次创课关于“平均数”教学的思考，有两个值得借鉴的方面。

1.动态技术多元表征，注重动手操作，突出数学本质的理解

小学四年级学生的思维特征以具体形象思维为主，逐步向抽象逻辑思维过渡[3]。而“平均数”这一统计概念，其本质与特征对学生而言具有一定的抽象性。数形结合可以“化抽象为具体”，而依托技术的数形结合更是能“化抽象为生动”，丰富了学生理解平均数的途径。文中首先利用Hawgent动态数学技术动态呈现“移多补少”的过程，让学生在“将各个数据变为相等”中初步感知平均数;接着通过操作一组可变化的数据，让平均数跟随着数据变化“动起来”，以此引导学生探究平均数的特征，进一步理解平均数;最后在动态软件中展示扩充数据后的统计图，动态呈现数据围绕平均数上下波动的情形，以揭示平均数的本质。技术深度融入“平均数的概念理解”教学过程，不仅是“化抽象为直观”的一种手段，也是帮助学生理解平均数的一个支点。技术与教学内容的有效整合，在顺应学生思维的同时，也营造了合适的环境，在“技术”中培养学生观察、对比、归纳、概括的数学能力并学懂平均数。

2.问题情境层层递进，注重数据分析，突出统计意义的理解

“平均数”的教学，教师应围绕其概念理解与统计意义的“双中心”进行教学活动设计，发展学生数学思维的同时培养学生的数据分析观念。文中以“篮球队的那些事儿”为统计活动背景，创设了具有故事推进式的“三单元”情境，让“平均数”从数据分析中来，到数据分析中去，并渗透数据分析观念的内涵。在“选新队员”中，引导学生运用不同的方法对数据进行分析，同时也让学生感受到同样的数据也会存在着许多不同的分析方法，在学生的交流、质疑中自然引出对“平均数”的需要。在下一个情境单元中，虽然重点在于解析平均数的本质与特征，但在技术操作中也间接体现了数据分析的特点：一是“可变化的第六轮进球个数”，说明平均数并不代表下一次进球的个数，收集到的数据是随机变化的;二是“增加多轮投篮数据的统计图”，侧面说明当数据足够多时，可以更好地帮助发现规律。如此设计旨在帮促学生理解平均数，同时也让学生从数据分析中体验到随机性。而在最后的“选新队长”中，基于学生先前的经验积累，教师引导学生运用平均数经历“设计方案、收集数据、分析数据、得出结论”的数据分析过程，让学生在解决实际问题中进一步体会数据中蕴含的信息，感悟平均数的统计意义，从而理解平均数的内涵。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]唐剑岚.“鱼渔欲”三位一體优化数学教学的理念与策略：以“三角形的内角”课例片段分析为例[J].基础教育研究，2015（9）：5-10.

[3]徐斌.为理解而教：以“平均数”的教学为例[J].小学教学（数学版），2015（7/8）：100-101.