多视角命题剖析，高考数列复习的思考

王秋曼

【摘要】  数列是高中数学的重要内容之一，也是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位，也是高考的必考内容及重点考查的范围，它始终处在知识的交汇点上，与函数、方程、不等式等紧密联系，在高考中占有突出的地位。往年一般的题型是两个小题（选择、填空题）或一个大题（解答题）。其近几年的高考试题中数列平均分值约占总分的13%～16%，事实上，数列已经成了数学高考的“晴雨表”，数学命题的“试验田”。

【关键词】  等差数列 等比数列 首项 公差 公比 通项公式 前n项和

【中图分类号】  G633.6               【文献标识码】  A   【文章编号】  1992-7711（2019）13-096-01

一、数列的教学目标历来在《课表》的要求都是：1、理解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列与函数之间的关系，理解数列的通项公式的意义，并会利用通项公式写出任意一项。2、理解等差、等比数列的概念;掌握等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，能运用公式解决一些简单问题。能在具体的问题情境中发现数列的等差或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。3、了解等差数列与一次函数的关系，了解等比数列与指数函数的关系等等。

二、近几年高考中数列热门考点展示：1、等差、等比数列的基本运算;2、等差、等比数列性质的应用;3、数列的证明和求数列通项公式;4、数列求和;5、数列与其他知识交汇考查等。

三、近几年高考中数列的题型归纳与分析：

高考中对等差（等比）数列的考查，主、客观题均有所体现，一般以等差、等比数列的定义或以通项公式、前n项和公式为基础考点，常结合数列递推公式进行命题，主要考查学生综合应用数学知识的能力以及计算能力等，中低档题占多数。

高考中对数列求和及其综合应用的考查题型，主、客观题均会出现，难度中等，数列主观题常与函数、不等式等知识点交会，综合考查函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想，考查内容主要是：以等差、等比数列为载体，考查数列的通项、求和;利用递推关系求数列的通项、前n项的和;根据题设信息，研究有关数列的性质，该部分的重点是等差、等比数列的基本公式和性质的理解和应用，该部分的难点是数列与其他知识点的交会问题，如：数列中的给定信息题、证明题、恒成立问题等。

四、基于上述数列的教学目标、热门考点及常考题型，下面先对2019年全国Ⅰ卷文科数学第18题数列进行剖析：

题目：记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=-a5.

（1）若a3=4，求{an}的通项公式;

（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围。

分析：（1）首项设出等差数列的首项和公差，根据题的条件，建立关于a1和d的方程组，求得a1和d的值，利用等差数列的通项公式求得结果;

（2）根据题意有a5=0，根据a1>0，可知d<0，根据Sn>an，得到关于n的不等式，从而求得结果。

解：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，

根据题意有9a1+■d=-（a1+4d）a1+2d=4，解得a1=8d=-2，

则an=8+（n-1）×（-2）=-2n+10，

所以等差数列{an}的通项公式为an=-2n+10;

（2）由条件S9=-a5，得9a5=-a5，即a5=0，

因为a1>0，所以d<0，并且有a5=a1+4d=0，所以有a1=-4d，

由Sn≥an得na1+■d≥a1+（n-1）d，整理得（n2-9n）d≥（2n-10）d，

因为d<0，所以有n2-9n≤2n-10，即n2-11n+10≤0，

解得1≤n≤10，

所以n的取值范围是：1≤n≤10（n∈N*）

1.考查核心：通项公式、前n项和公式列方程求解。该题第一小题是根据等差数列的通项公式列出基本元a1，d的方程，解出a1，d，从而求得通项公式an;第二小题是根据等差数列的通项公式和前n项和公式，列出基本元a1，d的方程，化简后整体代入不等式求解得n的范围。本题考查方程与转化思想，考查计算能力，属于简单题。

2.考题比较：对比近十年全国卷的数列考题，大多数是告诉某些数列的等差或等比，利用基本元解方程或者方程组求通项或者求和等。2019年1卷的数列题非常“中规中矩”，属于基礎简单题，相对之前的数列考题有较大的变化;从考查知识核心来看，延续了2018、2017年的考法，都有利用已知条件化简，再列方程求解，只是2019年更加直白浅显些。而数列考题在2018年1卷、2017年1卷和2014年2卷中出现过证明某些数列是等差或等比数列。

3.复习建议：紧抓“基本元”a1，d或a1，q这一核心考点，挖掘考题的潜在功能，真正发挥其备考效能，如一题多变、一题多解或多题归一，进行升华整理;再比如变换不同视角反思命题等，基于考题、研究考题、提炼考题，提高对考题的认知水平，进而大幅提高复习的有效性。通过近十年的高考数列题考法，考题越来越简单，注重知识基础，这些考题我们都能在教科书上找到它们的影子。启发我们在高考复习中首先要发挥课本的功能性作用，使考生对数列知识的复习能做到有的放矢，其次对基本的知识及基本的数列模型做适当的引申，所以要求考生应该透过现象看本质，从而驾轻就熟地解决问题。

[ 参  考  文  献 ]

[1]普通高中数学课程标准，（2017年版），人民教育出版社.

[2]汪秉彝，吕传汉.创新与中学数学教育[J].数学教育学报，2018.

[3]数学通讯2018年9月，主办华中师范大学，湖北省数学学会，武汉数学学会.

[4]王学贤.名师授课录，中学数学高中版，上海教育出版社.