基于数学抽象素养培养的高三数学习题课设计

陈旭

摘 要：本文以一道高三数列压轴题的解法为背景，以数学抽象素养三个水平要求为指导，以变式教学的形式展开教学设计。数学抽象素养的三个水平对应于教学的三种设计。水平一是简单模仿、了解解法，在教学中引导学生看懂通法，了解解法。水平二是提炼通法、明晰规律，在教学中要突破难点，寻找解法背后的原理，并能进行一般性的应用。

关键词：数学抽象素养;二个水平;数列放缩

数学抽象素养是形成理性思维的重要基础。如何更好的在高三复习中提高学生的数学抽象素养是高三数学复习的一个重要课题。数列是高中数学的重要内容，思维的抽象性高，学生难以理解，难以提炼通性通法。本文以数列为背景，以数学抽象素养的三个水平划分为依据进行数列习题课教学设计。习题课的教学设计离不开变式教学的理念：一题多解，多个角度理解问题，深挖题目本身;多题一解，提炼通性通法，拓展题目外延。本文结合变式教学的理解渗透数学抽象素养的培养。

1.水平一：简单模仿、了解解法

例1设数列满足

（1）求证：;

（2）求证：;

（3）设数列的前n项和为Sn，求证：

解：（1）略（2）解法一：证明n=1时，a1=3>2成立，假设n=k时，ak>2

则n=k+1时，∴综上an>2

又

分析：数学归纳法是解决数列证明问题的通法之一，学生能进行简单问题的模仿，并感悟方法的使用。属于数学抽象素养的第一层次能力体现。

解法二：迭代法

分析：学生在解答过程中试图从抽象的数据中归纳出一般性的规律，但对抽象规律的理解不到位，没有成功。此处需要对数学抽象素养有更高的训练。此种解答的数学抽象素养仍属于第一层次。

解法三：第二问的参考答案

∴an+1-2与an-2同号∴a1>2，an+1>2

（3）参考答案解法

三边同时求和可得

分析：学生能看懂答案，了解命题的条件和结论，但不能够理解的形成原因，不能够理解构造的原理，不能掌握数列内在的规律和联系，所以需要进一步深入培养学生数学抽象素养的第二层次水平。

2.水平二：提炼通法，明晰规律

2.1第二问解法2障碍的处理

为了解决第二问解法2中的障礙，利用数形结合将具体数字迭代法进行几何化，明晰内在规律。迭代法几何化的基本思路：构造函数f（x）与y=x。将代数的迭代转变为几何的迭代，从抽象变为直观，能更直观的提炼出数列内在的单调性和取值范围等规律。（如图1）

图1

分析：此处方法由学生探索得到，将具体的数据转变成直观的图形，从图形中抽象出数列内部单调性和取值的规律。学生在探索图1迭代法几何化

过程中培养了数学抽象素养。使数学抽象素养由第一层次向第二层次提升。

变式1：数列{an}满足a1=1，，求证为递减数列

解析：本题为2016浙江省调研卷最后一题第一问。构造函数为减函数，得到数列分为下标奇数、偶数的两个单调数列，一个递减逼近不动点横坐标，一个递增逼近不动点横坐标。

2.2第二问解法三的理解

总结规律，并用抽象的数学语言给出证明和表述。通过分析生给出了如下的原理解释：

证明{an}满足构造函数y=f（x），求解方程f（x）=x，解得x=x0必然成立。

分析：能够用恰当的数学语言解释抽象的数学概念和规则;理解数学命题的条件与结论;能够理解和构建相关数学知识之间的联系。能够理解用数学语言表达的概念、规则、推理和论证。属于数学抽象素养的第二层次能力。

2.3第三问构造的原理探索

分析：分析答案，进一步引起冲突，希望学生有所思考，希望学生能在数学抽象思维上有所提升。学生自主完成代数到几何的转换，强化数形结合分析问题的能力。不仅仅是等比型的构造，还是两点连线的斜率，可以利用导数的概念，求出斜率的取值范围，进而解决问题，这样就透过了问题，看懂了题目命制的原理。

3.结

在数学教学活动中，注重抽象能力的培养，有利于学生养成一般性思考问题的习惯，有利于学生更好的理解数学的概念、命题、结构和系统，有利于学生在其他学科的学习中化繁为简，理解该学科的知识结构和本质特征。高三数学复习课不仅仅是应试的一部分也必须是学生数学核心素养培养的舞台。希望学生能用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达世界。

参考文献

[1]俞海东.一阶非线性递推关系问题的结构分析—函数观点下的处理模式探讨[J].中学教研（数学），2017（12）：26-30.

[2]孙军波.用蛛网巧释浙江压轴题[J].中学教研（数学），2017（8）：48-50