函数单调性的判定与应用

陈星星

摘 要：本文主要以函数单调性的判定与应用为重点进行阐述，结合当下高中函数的学习现状，从定义法、原型法、整体法、导数法这几个方面深入说明并探讨函数单调性的判定与有效应用措施，旨意在为相关研究提供参考资料。

关键词：高中数学;函数单调性;判定;应用

数学为一门具有较强逻辑性与思维性的学科，对培养学生创新能力具有促进作用。对于高中学生接触的函数而言，单调性为其中一项重要内容，并且被广泛的应用在函数大小比较与函数最值的求解问题中，所以函数的单调性判定与应用的学习尤为重要。以下为笔者对函数单调性的判定与应用给予的相关分析与建议。

1.定义法

函数单调性的定义，不仅是函数具有的性质，还是单调性的判定依据，为函数单调性的本质。定义法是判定函数单调性的基础，所以教师应引导学生全面分析函数单调性的定义，加强学生对函数单调性基础知识的理解与掌握，科学地判定函数单调性，理解定义的另一种表现形式，提高学生思维的运用能力[1]。定义法判定函数单调性分为四个步骤：作差、变换形式、确定符号、总结，可以结合变形的相关要求选取有效方式对原式进行作差，其中变形方式包括分解、配方等。

例如：存在一个函数g（x）=x3-3x2+6x-6，并且存在g（m）=1，g（n）=-5，求m+n的值。

分析：函数可以变形为g（x）=（x-1）3+3（x-1）-2，将已知条件代入之后，得到（m-1）3+3（m-1）=3与（n-1）3+3（n-1）=-3，进而构造出全新函数G（y）=y3+y，结合函数单调性的基本定义与奇函数的特征可以发现G（y）为定义在实数R区间上的单调递增函数，因此G（-y）=-G（y），m-1=1-n，得出正确结果m+n=2。

2.原型法

抽象函数为函数的一种表现形式，判定函数单调性时可以采用原型想象的方式。抽象函数是在函数的基础上衍生出的一种函数，主要存在于没有给出具体函数表达式与函数图像的问题中，因这类问题具有较强的思维特征，所以在学习期间会存在一定难度[2]。学生只能结合函数自身具有的性质进行猜想与合理想象，进而确定原型函数，将抽象化的数学问题具体化，解决函数单调性问题。

例如：在实数R区间内，存在一个函数g（x），且g（a+b）=g（a）+g（b），当x大于0时，g（x）小于0，求证：g（x）=0;g（x）是定义域上的奇函数。

证明：g（0+0）=g（0）+g（0），进而得出g（0）=0;

g（x-x）=g（x）+g（-x）=g（0），y也就是g（-x）=-g（x），得出g（x）是定义域上的奇函数。

解析，诸多函数够存有原型，学生的解决抽象函数问题过程中，如果能够结合函数性质与相关结构找到与函数相类似的原型，再依据原型具有的单调性特点假设未知函数的单调性，便可以为判定证明打下坚实基础。

3.整体法

整体法主要适用于分段函数，因为在判断常见函数构成的分段函数的单调性时，需要符合单调性的定义。简单来讲，就是指从整体入手，注重整体单调和各段单调，教师应引导学生了解整体法的含义与价值，帮助学生找到函数解题的技巧，增强学生学习自信心。

例如：已知f（x）=x2+（4a-3）+3a，x<0，且f（x）=Loga（x+1）+1，x≥0，该函数在R上单调递减，求a的范围。

解析：由于f（x）在R上处于单调递减，所以得出0

点评：因为该函数f（x）=g（x），x>x0，且f（x）=h（x），x≤x0，在R上单调，该问题属于求参数问题，在解题时需要注重分界点，即指f（x）在R上单调递减或者是递增，需要有h（x0）≤g（x0），或者是h（x0）≥g（x0），进而准确的得出答案[3]。

4.导数法

导函数为探究函数单调性中应用几率最大的工具，学生需要有效结合函数的单调性，条理清晰的理解问题的含义，计算简单，并且不容易出现错误。

例如：函数h（x）在定义区间内（m，n）可导，在h，（x）大于0时，h（x）在定义域内（m，n）单调递增;在h，（x）小于0恒成立时，h（x）在区间内（m，n）单调递减。

分析：首先h，（x）大于等于0且h，（x）等于0为有限个零点，那么h（x）在区间内（m，n）为单调递增函数或者单调递减函数。其次，导函数存有的零点问题往往是导函数中含有符号的分界点，也是单调性函数的关键点[4]。所以，高中数学教师应注重导函数零点的相关判定与证明问题，如果h，（x）的零点不容易被求出，可以采取二次求导或者分离函数的方式，将疑难问题转变为简单问题，清晰的分析出零点存在的情况，同时依据导函数大小在区间内与0之间的比较，判定出函数在对应区间内具有的单调性。此外，如果遇到含参类型的函数问题，可以采用分类探究法或者数形结合法进行深入分析与解决。

结束语：综上所述，开展函数单调性的判定与应用研究课题具有十分重要的意义与价值，高中学生通过学习函数单调性的判定与应用，可以有效激发自身学习潜能，促使思维的灵活转变，有利于学生自身自主学习能力的提高。基于此，高中数学教师在教授函数单调性时，需要充分考虑到函数的基本性质与单调性的判定方法，基于学生身心发展需求，巧妙的引导学生学习并掌握函数单调性的相关知识与技能，不断开发出学生自身的创造潜力，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的学习习惯，推动高中数学课堂的高效进行。

参考文献

[1]王梅英.函数单调性的一个判别法[J].南京审计学院学报，2015，2（1）：74-75.

[2]刘海武.高中数学函数单调性在解题中的巧妙应用[J].数理化解题研究，2016（8）：33-33.

[3]李鹏.对“函数单調性”教学设计的构想——以“概念同化”的方式为例[J].数学通讯，2017（13）：6-9.

[4]黄丽.高中函数单调性的概念教学研究[D].四川师范大学，2014（10）：58-59.